Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 chọn lọc, có lời giải

Trang trước Trang sau

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Tài liệu tổng hợp trên 100 dạng bài tập Toán lớp 12 phần Giải tích được các Giáo viên nhiều năm kinh nghiệm biên soạn với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và trên 5000 bài tập trắc nghiệm chọn lọc từ cơ bản đến nâng cao có lời giải sẽ giúp học sinh ôn luyện, biết cách làm các dạng toán lớp 12 Giải tích từ đó đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán lớp 12.

Cách xét tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Bài 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = y= -x3 + 6x2 - 9x + 4

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D=R.

Tính y' = -3x2 + 12x - 9. Cho y' = 0 ⇔ -3x2 + 12x - 9 = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Dựa vào bảng biến thiên,hàm số đồng biến trên (1;3).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞)

Bài 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3 - 2x)/(x + 7)

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D = R\{-7}.

Tính y' = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) > 0,∀x ∈ D = R\{-7}.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: (-∞; -7)và(-7; +∞).

Bài 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = x4 + 4x + 6

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

Tính: y' = 4x3 + 4. Cho y' = 0 ⇔ 4x3 + 4 = 0 ⇔ x = -1.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1)

Bài 4: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định khi: x2 - x + 3 > 0 đúng ∀x ∈ R.

Hàm số đã cho xác định trên D = R

Ta có: y' = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Cho y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) = 0 ⇔-5x + 8 = 0 ⇔ x = 8/5.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đồng biến trên(-∞; 8/5).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (8/5; +∞)

Bài 5: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên: D = R\{-2}.

Ta có: y' = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) ,∀x ∈ D.

Cho y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) = 0 ⇔ -x2 - 4x + 5 = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên: (-∞; -5) và (1; +∞)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-5; -2) và (-2; 1)

....................................

....................................

....................................

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

1. Hàm đa thức bậc ba: y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)

⇒ f'(x)=3ax2+2bx+c

    Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

   Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khiCác dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

2. Hàm phân thức bậc nhất: Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

    Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0

   Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0

Ví dụ 1: Cho hàm số Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Ta có: y'=x2+2(m+1)x-(m+1)

      + Δ'=(m+1)2+4(m+1)=m2+6m+5

      + Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

   Vậy giá trị của tham số cần tìm là -5≤m≤-1

Ví dụ 2: Cho hàm số Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải). Tìm giá trị của m để hàm số luôn đồng biến trên R.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R

      + Đạo hàm y'≠(m2-m) x2+4mx+3

      + Hàm số luôn đồng biến trên R Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) y'≥0 ∀ x∈R

    Xét m2-m=0 ⇒ Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

   Với m=0 phương trình trở thành y=3x-1;y'=3>0 ∀x∈R

⇒ m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m=1 phương trình trở thành y=2x2+3x-1;y'=4x+3

    Khi đó y'>0Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) 4x+3>0Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) x<-3/4

⇒ m=1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Xét m2-m≠0 Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

   Khi đó Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

   Từ hai trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm là -3≤m<0

Ví dụ 3: Cho hàm số Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải). Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn

      + Tập xác định: D=R\{m}

      + Đạo hàm Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) . Dấu của y' là dấu của biểu thức -m2-7m+8

      + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) y'>0 ∀x∈D

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) -m2-7m+8>0 Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) -8

    Vậy giá trị m cần tìm là -8

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 2 đồng biến trên R.

Lời giải:

+ Ta có: y '= 3x2 + 6x + m

      + Để hàm số đã cho đồng biến trên R thì y' ≥ 0,∀x ∈R

      + Yêu cầu bài toán trở thành tìm điều kiện của m để y' ≥ 0,∀x ∈R

Ta có y' = 3x2 + 6x + m, ta có: a = 3>0,Δ = 36 - 12m

Để y' ≥ 0,∀x ∈ R khi Δ ≤ 0 ⇔ 36 - 12m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m ≥ 3

Câu 2: Tìm tập hợp tất cả các tham số thực của m để hàm số y = x3 - (m + 1) x2+3x+1 đồng biến trên khoảng (-∞;+∞).

Lời giải:

+ Tập xác định D = R.

      + Ta có y' = 3x2 - 2(m + 1)x + 3.

      + Hàm số y = x3 - (m + 1) x2 + 3x + 1 đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

   ⇔ y' ≥ 0,∀x∈R

    ⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ (m + 1)2 - 9 ≤ 0 ⇔ m2 + 2m - 8 ≤ 0 ⇔ -4 ≤ m ≤2.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -4 ≤ m ≤ 2

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Ta có: Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Theo yêu cầu bài toán, để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

y'>0,∀ x ∈D ⇔ -m2 + 6 > 0 ⇔ -√6

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -√6 < m < √6

Câu 4: Cho hàm số y=Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải). Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Lời giải:

TXĐ: D = R\{1}

      + Trường hợp 1: Khi m = -1, hàm số trở thànhCác dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) với mọix∈D

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

⇒ m = -1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

      + Trường hợp 2: Khi m ≠ -1, ta có Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Đặt g(x) = (m + 1) x2 - 2(m + 1)x - 4m và ta có y' cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định

    ⇔ ∀ x ∈ D,y' ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈D,g(x)≥0

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Kết hợp cả 2 trường hợp, vậy tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Câu 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (mx + 5)/(x + 1)đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải:

Ta có:y'= Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải) . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m > 5

Câu 6: Tìm giá trị của m để hàm số y = sin⁡x - mx nghịch biến trên R

Lời giải:

Ta có y' = cos⁡x - m.

Để hàm số nghịch biến trên R thì

y' ≤ 0 ∀ x ∈R ⇔ cosx - m ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ cosx ≤ m ∀x∈R

Vì -1 ≤ cos⁡ x ≤ 1 nên để cosx ≤ m ∀x∈R thì m ≥ 1.

....................................

....................................

....................................

Cách tìm cực trị của hàm số

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

   Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .

   Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải).

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2}. Tính Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y'= -3x2 + 6x.

Cho y'= 0⇔-3x2 + 6x = 0⇔Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.

Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + 2

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y' = -3x2 + 6x-3.

Cho y'= 0 ⇔ -3x2+ 6x-3 = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x2 - 6x - 12.

Cho y'= 0 ⇔Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19).

Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.

Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C). Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y'= 3x2-6x.

Cho y'= 0 ⇔Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19). Khi đó AB =Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 - x2 + 2

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y'= 2x3-2x.

Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán 12 ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 3/2 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

....................................

....................................

....................................

Trang trước Trang sau
Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học