Cách xét tính đơn điệu của hàm số mũ (cực hay, có lời giải)

Bài viết Cách xét tính đơn điệu của hàm số mũ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét tính đơn điệu của hàm số mũ.

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

- Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:

Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 2: Hàm số y = e^{(x2 - 4x + 4)} nghịch biến trên những khoảng nào sau đây?

A. R

B. (-∞;2)∪(2;+∞)

C. (-∞;2)

D. (-∞;2) và (2;+∞)

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số y = e^{(x2 - 4x + 4)}

TXĐ: D = R

y' = (2x - 4)e^{x2 - 4x + 4}; y' = 0 ⇔ (2x - 4)e^{x2 - 4x + 4} = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2

Bảng biến thiên

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;2)

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y = (a² - 3a + 3)^x đồng biến trên R

Lời giải

Chọn D

Hàm số đồng biến trên R ⇔ 1 < a² - 3a + 3

Bài 1: Cho hàm số . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên R

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng R

D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất 1 điểm

Lời giải:

Chọn A

Do nghịch biến trên R

Bài 2: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

Lời giải:

Chọn C

Bài 3: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

Lời giải:

Chọn A

Do 0 < 0,5 < 1 nên hàm số y = (0,5)^x nghịch biến trên R

Bài 4: Trong các hàm số sau,hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

Lời giải:

Chọn A

Xét hàm số y = (2016)²x xác định trên R

y = (2016²)^x, do 2016²>1 ⇒ hàm số đồng biến trên R

Bài 5: Hàm số y = x².e^^-x đồng biến trên khoảng nào?

Lời giải:

Chọn A

Xét hàm số y = x².e^-x

TXĐ: D = R

Ta có y' = 2x.e^-x-x².e^-x = (2x - x²).e^-x

y' > 0 ⇔ (2x - x²).e^-x>0 ⇔ 2x-x²>0 ⇔ 0 < x < 2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

Bài 6: Cho hàm số y = (x² - 3)e^x. Chọn khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;3)

Lời giải:

Chọn B

Bài 7: Với điều kiện nào của a thì hàm số y = (a² - a + 1)^x đồng biến trên R

A. a ∈ (0;1)

B. a ∈ (-∞;0)∪(1+∞)

C. a ≠ 0;a ≠ 1

D. a ∈ R

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định trên R

Hàm số đồng biến trên

Bài 8: Biết tập các giá trị thực của a để hàm số y = (a² + a + 1)^x nghịch biến trên tập xác định là khoảng (m;n). Tính S = 2m + n.

A. S = -2

B. S = 0

C. S = 1

D. S = 2

Lời giải:

Chọn A

Hàm số y = (a² + a + 1)^xxác định trên R

Hàm số nghịch biến trên R ⇔ 0 < a² + a + 1 < 1 ⇔ a² + a < 0 ⇔ -1 < a < 0

Nên m = -1; n = 0 ⇒ S = 2m + n = -2.

Bài 9: Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1;3) là:

A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. Vô số.

Lời giải:

Chọn B

Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (1;3) khi và chỉ khi

y' ≥ 0 ∀ x ∈ (1;3) ⇔ 3x² - 12x + m ≤ 0 ∀ x ∈ (1;3).

⇔ m ≤ -3x² + 12x; ∀ x ∈ (1;3).

Xét hàm số f(x) = -3x² + 12x trên (1;3)

Có f'(x) = -6x + 12; f'(x) = 0 ⇔ x = 2

Bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán ⇔ m ≤ 9. Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn đề bài.

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

Lời giải:

Chọn C

Do hàm t=e^x đồng biến trên R nên hàm số đã cho đồng biến trên

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách xét tính đơn điệu của hàm số mũ (cực hay, có lời giải)
• Cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức (cực hay, có lời giải)
• Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải)
• Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (cực hay, có lời giải)
• Cách tìm cực trị của hàm trùng phương (cực hay, có lời giải)
• Cách tìm cực trị của hàm bậc ba (cực hay, có lời giải)