Chuyên đề Toán 12 năm 2023-2024

Định nghĩa

Cho hàm số $f$ xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K .

Hàm số $f$ gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu $\forall x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ .

Hàm số $f$ gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu $\forall x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Định lí thuận

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in K$ thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)<\mathrm{0,}\forall x\in K$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{0,}\forall x\in K$ thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Định lí đảo

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số $f$ đồng biến trên khoảng K thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in K$.

Nếu hàm số $f$ nghịch biến trên khoảng K thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in K$.

Lưu ý:

- Hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên K thì đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải.

- Hàm số $f\left(x\right)$ nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải.

Xét dấu tam thức bậc hai $g\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ $\left(a\ne 0\right)$

$g\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff \left(\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right)$;

$g\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff \left(\begin{array}{c}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right)$;

$g\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff \left(\begin{array}{c}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right)$;

$g\left(x\right)<\mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff \left(\begin{array}{c}a<0\\ \Delta <0\end{array}\right)$.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Dựa vào đồ thị ta thấy

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) .

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1) .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) . Ta có bảng xét dấu như sau:

Ta thấy

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right);\left(1;+\infty \right)$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$

Ví dụ 3: Cho hàm số $g\left(x\right)=2x^2-5x+6$.

Hàm số có $\left(\begin{array}{c}a=2>0\\ \Delta ={\left(-5\right)}^2-\mathrm{4.2.6}=-23<0\end{array}\right)$

$\Rightarrow g\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$.

Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”:

$f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ $\forall x\in K$ và dấu “=” tại hữu hạn điểm trên K thì hàm số nghịch biến trên K.

Hàm số nghịch biến

Định lí thuận

- Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)<\mathrm{0,}\forall x\in K$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Định lí đảo

- Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in K$.

Định lí thuận “mở rộng”

$f^{\text{'}}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in K$ và dấu bằng tại hữu hạn điểm trên thì hàm số đồng biến trên K.

Hàm số đồng biến

Định lí thuận

- Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in K$ thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Định lí đảo

- Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in K$.

Định lí thuận “mở rộng”

$f^{\text{'}}\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in K$ và dấu bằng tại hữu hạn điểm trên K thì hàm số nghịch biến trên K.

Đồ thị

- Đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải

Đồ thị

- Đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải

Định nghĩa

Hàm số $f$ được gọi là nghịch biến trên K nếu $\forall x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.

Định nghĩa

Hàm số $f$ được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.

Thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Bước 3. Tìm các giá trị x mà $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$ hoặc những giá trị làm cho $f^{\text{'}}\left(x\right)$ không xác định.

Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm.

Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số $y=f\left(x\right)$ (chọn đáp án).

Ví dụ: Hàm số $y=-\frac{x^3}{3}+3x^2-5x-2$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left(5;+\infty \right)$. B. $\left(-\infty ;1\right)$.

C. $\left(-2;3\right)$. D. (1;5).

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=ℝ$.

Ta có $y^{\text{'}}=-x^2+6x-5$

Ta có $y^{\text{'}}=0\iff -x^2+6x-5=0\iff \left(\begin{array}{c}x=1\\ x=5\end{array}\right)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1;5).

Chọn D.