Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12 (Chuyên đề dạy thêm Toán 12)

Tài liệu Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12 trong Chuyên đề dạy thêm Toán 12 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 12.

Xem thử

Chỉ từ 400k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 12 (sách mới) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. Kiến thức cần nhớ

1. Tính đơn điệu

a) Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K.

• Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂ thì f (x₁) < f (x₂).

• Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x₁, x₂ thuộc K mà x₁ < x₂ thì f (x₁) > f (x₂).

o Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a).

o Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1b).

⮚ Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào xét dấu đạo hàm

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.

• Nếu f '(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K.

• Nếu f '(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K.

Chú ý:

⮚ Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó.

⮚ Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K.

⮚ Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K.

c) Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x):

o Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

o Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x₁; x₂; ...; x_n thuộc D mà tại đó đạo hàm f '(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

o Bước 3. Sắp xếp các điểm x₁; x₂; ...; x_n theo thứ tự tăng dần, xét dấu f '(x) và lập bảng biến thiên.

o Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Cực trị của hàm số

a) Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D và x_o∈D

▪ Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x_o và (a;b)⊂D sao cho f(x) < f(x_o) với mọi x∈(a;b)\{x_o} thì x_o được gọi là một điểm cực đại, f(x_o) được gọi là giá trị cực đại của hàm số y=f(x), kí hiệu y_CĐ.

▪ Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x_o và (a;b)⊂D sao cho f(x) > f(x_o) với mọi x∈(a;b)\{x_o} thì x_o được gọi là một điểm cực tiểu, f(x_o) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y=f(x), kí hiệu y_CT.

a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.

b) Nếu x_o là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f (x) thì ta cũng nói hàm số y = f (x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x_o.

c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D.

d) Nếu x_o là điểm cực trị của hàm số y = f (x) thì điểm M(x_o ; f (x_o)) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x).

b) Tìm cực trị của hàm số bằng cách xét dấu đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x_o) và (x_o; b). Khi đó:

• Nếu f '(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x_o) và f '(x) > 0 với mọi x ∈ (x_o; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x_o;

• Nếu f '(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x_o) và f '(x) < 0 với mọi x ∈ (x_o; b) thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x_o.

c) Các bước tìm cực trị của hàm số y = f (x):

o Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

o Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x₁; x₂; …; x_n thuộc D mà tại đó đạo hàm f '(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

o Bước 3. Xét dấu f '(x). Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x_i (i = 1, 2,…) thì hàm số đạt cực tiểu tại x_i. Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x_i (i = 1, 2,…) thì hàm số đạt cực đại tại x_i.

Chú ý:

a) Nếu f '(x) = 0 nhưng không đổi dấu khi x qua điểm x_i (i = 1, 2, …) thì hàm số không có cực trị tại x_i.

b) Nếu f '(x) không đổi dấu trên khoảng K thì f (x) không có cực trị trên khoảng đó.

B. Các dạng bài tập & phương pháp giải

Dạng 1. Đọc đồ thị cho trước để tìm khoảng đơn điệu, cực trị

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình vẽ bên dưới.

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình vẽ bên dưới.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f (x) = x² có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

a) Từ đồ thị của hàm số y = f (x), hãy chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).

Ví dụ 4. Quan sát đồ thị của hàm số y = f (x) = x³ – 3x² + 1 trong Hình vẽ.

a) Tìm các khoảng đơn điệu của đồ thị ở hình vẽ trên.

b) Tìm cực trị của hàm số có đồ thị như hình vẽ trên.

Ví dụ 5. Tìm cực trị của hàm số y = f (x) có đồ thị được cho ở Hình vẽ.

Ví dụ 6. Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f (x) có đồ thị cho ở Hình vẽ.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 12 các chủ đề hay khác:

• Chuyên đề Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

• Chuyên đề Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

• Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân

• Chuyên đề Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

• Chuyên đề Xác suất có điều kiện

---