Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số chọn lọc

Trang trước Trang sau

Phần Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán lớp 12 sẽ tổng hợp Lý thuyết, các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 1000 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số tương ứng.

Các dạng bài tập

Cách xét tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x_o sao cho f'(x_o) = 0 hoặc f'(x_o) không xác định.

Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x³ - 6x² + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x² - 12x + 9

y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x²)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Cách tìm cực trị của hàm số

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x₀∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x₀ ) với mọi x ∈ (x₀ - h;x₀ + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f_(x) đạt cực đại tại x₀.

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x₀ ) với mọi x ∈ (x₀ - h;x₀ + h) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f_(x) đạt cực tiểu tại x₀.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x₀ - h;x₀ + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x₀}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x₀ - h;x₀) và f'(x) <0 trên (x₀;x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h;x₀) và f'(x) >0 trên (x₀;x₀+ h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CÑ (f_CT), còn điểm M(x₀;f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệux_i (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f''(x) và f''(x_i ) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(x_i )suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x³ - 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x² - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x² - 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x⁴ - 2x² + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x³ - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x³ - 4x = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải .

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2}. Tính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kí hiệu: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Kí hiệu: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm x_i ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α_i ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3.Tính f(a), f(b), f(x_i), f(α_i).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm x_i ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α_i ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ - 3x² - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn

Ta có: y' = 3x² - 6x - 9 = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Mà y(-2) = 0; y(2) = -20; y(-1) = 7.

Suy ra Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn

Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Khi đó y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Có y(√2) = 2√2, y(2) = 2 ,y(-2) = -2.

Vậy Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin⁡2x trên đoạn [π/2; π]

Hướng dẫn

Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.

Xét x ∈[(-π)/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.

f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 - √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2.

Suy ra Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Bài 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x² – 2x – 3.

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ là f'(x) = x²(x – 1). Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Bài 4. Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hỏi hàm số y = f(5 – 2x) đồng biến trên khoảng nào?

Bài 5. Vẽ đồ thị hàm số và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x³ – 3x².

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học