Cách tìm cực trị của hàm số (cực hay)
Bài viết Cách tìm cực trị của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm cực trị của hàm số.
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên
K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0.
Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) >0 trên (x0;x0+ h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Minh họa bằng bảng biến thiến
Chú ý.
Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.
Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.
Hướng dẫn
Tập xác định D = R.
Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =
Hướng dẫn
Tập xác định D = R\{2}. Tính
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x2 - 4
Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y'= -3x2 + 6x.
Cho y'= 0⇔-3x2 + 6x = 0⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.
Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x3 + 3x3 - 3x + 2
Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y' = -3x2 + 6x-3.
Cho y'= 0 ⇔ -3x2+ 6x-3 = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.
Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y' = 6x2 - 6x - 12.
Cho y'= 0 ⇔
Bảng biến thiên
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19).
Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.
Bài 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C). Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.
Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y'= 3x2-6x.
Cho y'= 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19). Khi đó AB =
Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x4/4 - x2 + 2
Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y'= 2x3-2x.
Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 3/2 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.
Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x4 + 4x2 - 5
Lời giải:
Tập xác định D = R.
Tính y'= -4x3 + 8x.
Cho y'= 0 ⇔ -4x3 + 8x = 0⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y = -5 và hàm số đạt cực đại tại x = ±√2, y = -1.
Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y =
Lời giải:
Tập xác định D = R\{-1}.
Tính y' =
Cho y' = 0⇔ x2 + 2x - 3 = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -3, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = 1.
Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x - 5 + 1/x
Lời giải:
Tập xác định D = R\{0}.
Tính
Cho y' = 0⇔x2 - 1 = 0 ⇔
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = -3.
Bài 1. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = ?
Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f′(x) = x2(x − 1)(x − 4)2. Tìm số cực trị của hàm số y = f(x2).
Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f ′(x) = (x + 1)(x −1)2 (x −2) + 1. Hỏi hàm số g(x) = f(x) − x có bao nhiêu điểm cực trị?
Bài 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f′(x). Đồ thị của hàm số y = f′(x) như hình vẽ:
Hỏi đồ thị của hàm số y = f(x) + 3x có bao nhiêu điểm cực trị?
Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f′(x). Đồ thị của hàm số y = f′(x) như hình vẽ
Hỏi điểm cực tiểu của hàm số y = 2f(x) + x2 là?
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm số
- Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
- Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
- Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số
- Trắc nghiệm Biện luận theo m số cực trị của hàm số
- Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số
- Trắc nghiệm về cực trị hàm số
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12