120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 1)

Với 120 Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 1) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 1).

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 1: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f'(x). Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là:

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Ta thấy đồ thị hàm số f'(x) có 4 điểm chung với trục hoành x₁, 0, x₂, x₃ nhưng dấu của f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua hai điểm 0 và x₃.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x² - 3)

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Ta có g'(x) = 2x. f'(x² – 3)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn B.

Chú ý: Dấu của g’(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; +∞)

• x ∈ (2; +∞) → x > 0 (1)

• x ∈ (2; +∞) ⇒ x² > 4 ⇒ x² - 3 > 1 -^{theo do thi f'(x)}→ f'(x² - 3) (2)

Từ (1) và (2) suy ra g'(x) = 2x.f'(x² – 3) > 0 trên khoảng (2; +∞) nên g'(x) mang dấu “+”.

Nhận thấy các nghiệm x = 1 hoặc x = -1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g'(x) qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm x = 2 hoặc x = -2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x) như sau

Hỏi hàm số g(x) = f(x² - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1      B. 2

C.3      D. 4

Lời giải:

Ta có g'(x) = (2x - 2). f'(x² – 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn A.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0) < 0 đồng thời đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f²(x) là

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

Dựa vào đồ thị, ta có:

Bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x⁴ + 2mx² = 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

y' = 4x³ + 4mx; y' = 0 ⇔ 4x³ + 4mx = 0

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ -m > 0 hay m < 0. (loại đáp án C và D)

Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là: A(0; 1), B(-√(-m), 1 - m²), C(√(-m), 1 - m²)

Ta có AB→ = (-√(-m), -m²); AC→ = (√(-m), -m²)

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên :

AB→. AC→ = 0 ⇔ -√(m²) + m².m² = 0

⇔ -|m| + m⁴ = 0 ⇔ m + m⁴ = 0

Nên m = -1 (vì m < 0)

Vậy với m = -1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x - 2017) - 2018x + 2019 là

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

Ta có: g'(x)= f'(x - 2017) – 2018

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x - 2017) = 2018

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra phương trình f'(x - 2017) = 2018 có 1 nghiệm đơn duy nhất.

Suy ra hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2mx² có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m > 0      B. m < 1

C. 0 < m < ³√4     D. 0 < m < 1

Lời giải:

Ta có: y' = 4x³ – 4mx = 4m(x² – m) (*)

+ Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 .

+ Xét y' = 0

Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng m². (như hình minh họa)

Ta được S_ΔABC = 1/2. AC.BD = √m.m²

Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì: √m.m² < 1 ⇔ m⁵ < 1 ⇔ 0 < m < 1

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số g(x) = f(x) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

A. x = 0      B. x = 1

C. x = 2      D. Không có điểm cực tiểu.

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) + 1

Do đó g'(x)= 0 ⇔ f'(x) = -1

+ Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra:

Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x³ – 3mx² + 4m³ có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x² – 6mx

Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A(0, 4m³) và B(2m, 0)

S_ΔABC = 1/2.OA.OB = 4 ⇔ 1/2. |4m³.2m| = 4 ⇔ 4m⁴ = 4 ⇔ m = 1 hoặc m = -1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 10: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Hàm số g(x) = f(x) - x³/3 + x² - x + 2 đạt cực đại tại

A. x = -1      B. x = 0

C. x = 1      D. x = 2

Lời giải:

Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) – x² + 2x - 1

Xét g'(x)= 0 ⇔ f'(x) – x² + 2x - 1 = 0

⇔ f'(x) = x² – 2x + 1 = (x - 1)²

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và parapol (P): y = (x - 1)²

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = 2f(x) + x² đạt cực tiểu tại điểm

A. x = -1      B. x = 0

C. x = 1      D. x = 2

Lời giải:

Ta có g'(x) = 2f'(x) + 2x.

Xét phương trình g'(x)=0 hay f'(x) = - x

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = - x

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 0 .

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x⁸ + (m - 2)x⁵ – (m² – 4).x⁴ + 1 đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 3      B. 5

C. 4      D. Vô số.

Lời giải:

Ta xét các trường hợp sau

* Nếu m² - 4 = 0 ⇒ m = 2 hoặc m = -2

• Khi m= 2 thì y' = 8x⁷. Suy ra: y' = 0 khi x = 0 là điểm cực tiểu.

• Khi m = - 2 thì y'= x³(8x⁴ – 20).

Suy ra: y' = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 ( loại)

* Nếu m² - 4 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2 hoặc m ≠ -2. Khi đó ta có:

y'= 8x⁷ + 5(m - 2).x⁴ – 4(m² – 4).x³

y' = x²[8x⁵ + 5(m - 2)x² - 4(m² - 4)x]

Số cực trị của hàm y = x⁸ + (m - 2)x⁵ - (m² - 4)x⁴ + 1 bằng số cực trị của hàm g’(x) với:

Nếu x = 0 là điểm cực tiểu thì g''(0) > 0. Khi đó

-4(m² - 4) > 0 ⇔ m² - 4 < 0 ⇒ -2 < m < 2 ⇒ m = {-1; 0; 1}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m là {-1; 0; 1; 2}.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 13: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?

A. 2      B. 3

C. 4      D. 7

Lời giải:

Ta có đạo hàm g'(x)= f'(x) + 3

Xét phương trình g'(x) = 0 hay f'(x)= - 3

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -3.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Ta thấy x = -1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số

g(x) = f(x) + 3x có 3 điểm cực trị tại các điểm x = -1, x = 0 và x = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 14: Cho hàm số sau. Tìm giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x₁, x₂ và thỏa mãn: x₁ + 2x₂ = 1.

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y'= mx² – 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán tương đương y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁ + 2x₂ = 1

Câu 15: Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên.

Số điểm cực đại của hàm số là:

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

Ta có:

Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số có 1 điểm cực đại.

Chú ý: Cách xét dấu “-” hay “+” của g'(x) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x₀ thuộc khoảng đang xét rồi thay vào g'(x).

Chẳng hạn với khoảng (-1; -1 + √2) ta chọn

Vì dựa vào đồ thị ta thấy f'(√2) < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 16: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = e^2f(x)+1 + 5^f(x) là

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Lời giải:

+ Ta thấy đồ thị của hàm số f'(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra hàm số f(x) có 3 điểm cực trị.

+ Ta có: g'(x) = 2f'(x).e^2f(x)+1 + f'(x).5^f(x).ln5 = f'(x).(2e^2f(x)+1 + 5^f(x).ln5)

+ Vì 2e^2f(x)+1 + 5^f(x).ln5 > 0 với mọi x nên g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0.

Suy ra số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của hàm số f(x).

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 17: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (-∞; -3,4) ∪ (9; +∞). Đặt g(x) = f(x) - mx + 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) có đúng hai điểm cực trị ?

A. 4      B. 7

C. 8      D. 9

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x) - m.

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x) – m= 0 ⇔ f'(x) = m

Để hàm số g(x) có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn ( hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt)

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x⁴ – 2mx² + 1 có ba điểm cực trị A(0,1), B, C thỏa mãn BC = 4?

A. m = 4 hoặc m = -4.      B. m = √2.

C. m = 4.      D. m = √2 hoặc m = -√2.

Lời giải:

Cách 1:

+ Ta có: y' = 4x³ - 4mx = 4x(x² - m);

+ Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0

+ Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;1), B(√m; 1 - m²) và C(-√m; 1 - m²)

Để BC = 4 ⇔ 2√m = 4 ⇔ √m = 2 ⇔ m = 4 (thỏa mãn).

Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị là ab < 0 ⇔ m > 0

Để độ dài BC = m₀ khi và chỉ khi:

am₀² + 2b = 0 ⇔ 1.4² + 2.(-2m) = 0 ⇔ m = 4

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 19: Cho hàm số y = x⁴ – 2(m + 1)x² + m² với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

A. m = -1      B. m = 0

C. m = 1      D. m = 2

Lời giải:

Cách 1.

* Ta có đạo hàm: y'= 4x³ – 4(m + 1)x = 4x(x² - m - 1)

* Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt:

⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1.

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; m²), B(√(m + 1); -2m - 1) và C(-√(m + 1); -2m - 1)

Khi đó AB− = (√(m + 1); -2m - 1 - m²) và AC− = (-√(m + 1); -2m - 1 - m²)

Để tam giác ABC vuông: AB−.AC− = 0

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m > -1

Để tam giác ABC vuông điều kiện là: 8a + b³ = 0

⇔ 8.1 + [-2(m + 1)]³ = 0 ⇔ m = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x⁴ + 2mx² + 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Lời giải:

Ta có:

* Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ -m > 0 hay m < 0

* Khi đó toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;1), B(√(-m); -m² + 1), C(-√(-m); -m² + 1)

Ta có: AB = AC nên tam giác ABC cân tại A nên điều kiện để tam giác ABC vuông cân là:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 21: Cho hàm số y = 3x⁴ + 2(m - 2018).x² + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120^o.

A. m = - 2018      B. m = -2017

C. m = 2017      D. m = 2018

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = 12x³ + 4(m - 2018)x;

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2018 - m > 0 ⇔ m < 2018.

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 2017)

Do tam giác ABC cân tại A: AB = AC nên ∠BAC = 120^o. Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA = AB² + AB² – 2.AB.AB.cos120^o

⇔ BC² = 3AB²

⇔ (m - 2018)³ = -1 ⇔ m = 2017 (thỏa mãn)

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị: ab < 0 hay m < 2018

Áp dụng công thức giải nhanh:

(với α = ∠BAC, A là điểm cực trị thuộc Oy)

Ta được:

⇔ 3[2(m - 2018)]³ = -8.3 ⇔ m = 2017 thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 22: Cho hàm số y = 1/4.x⁴ - (3m + 1)x² + 2(m + 1) với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.

A. m = -2/3.      B. m = 2/3.

C. m = -2/3.      D. m = 1/3.

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = x³ - 2(3m + 1)x = x[x² - 2(3m + 1)]

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2(3m + 1) > 0 ⇔ m > -1/3.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A(0; 2(m + 1))

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là :

Để G ≡ O ⇔ 2(m + 1) + 2(-9m² - 4m + 1) = 0

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 ⇔ m > -1/3.

Yêu cầu bài toán: G ≡ O ⇔ b² - 6ac = 0 ⇔ (3m + 1)² - 6.1/4.2(m + 1) = 0

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 23: Cho hàm số y = 9/8.x⁴ + 3(m - 3)x² + 4m + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.

A. m = -2      B. m = 2

C. m = 3      D. m = 2017

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = 9/2.x³ + 6(m - 3)x;

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

⇔ 4(m - 3) > 0 ⇔ m < 3

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 4m + 2017)

Do tam giác ABC cân tại A nên để tam giác ABC đều thì AB = BC hay AB² = BC²

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m < 3

Để tam giác tạo bởi điểm cực trị là tam giác đều khi và chỉ khi:

b³ = -24a hay 27(m - 3)³ = -27 ⇔ m = 2