120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)

Với 120 Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 2) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 2).

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 31: Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = x.(x - 1)².(x - 2)³.(x - 3)⁵. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4      B. 3

C. 2      D. 1

Lời giải:

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 32: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -1.

B. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

C. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = -2.

D. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = -2.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có các nhận xét sau:

• f'(x) đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

• f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 33: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x + m|) có 5 điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5      D. Vô số.

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)

Suy ra: f(x) có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị ( gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0).

Suy ra: f(|x + m|) có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).

Chú ý: Đồ thị hàm số f(|x + m|) có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f(|x| + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 34: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. Vô số.

Lời giải:

Từ đồ thị f'(x) ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f(x)

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f(x + m) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f(|x| + m) có đúng 5 điểm cực trị).

Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra f(x + m) luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f(x) (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -^{m ∈ Z}→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 35: Với giá trị nào của thì hàm số y = x⁴ – 2mx² + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất?

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y' = 4x² - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

Gọi A(0;4), B(-√m; -m⁴ + 4), C(-√m; -m⁴ + 4)

S_ABC = 1/2.d(A;BC).BC = 1/2.|y_B - y_A|.|x_C - x_B| = 1/2.m².2√m

+ Ta có: ; BC = 2√m

và nên:

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 36: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1).(x - 1)².(x - 2) + 1 với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x) - x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x) – x nên:

g'(x) = f'(x) – 1 = (x + 1).(x - 1)².(x - 2).

g' = 0 ⇔ (x + 1).(x - 1)².(x - 2) = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x² - 1).(4 - x) với mọi x∈ R. Hàm số g(x) = f(3 - x) có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 0      B. 1

C. 2      D.3

Lời giải:

Ta có: g'(x) = -f'(3 - x) = [(3 - x)² - 1][4 - (3 - x)] = (2 - x)(4 - x)(x + 1);

g'(x) = 0 ⇔ (2 - x)(4 - x)(x + 1) = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 38: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x².(x - 1).(x - 4)² với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x²) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2     B. 3

C. 4     D. 5

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x²) nên g'(x) = 2xf'(x²) = 2x⁵(x² - 1)(x² - 4)²

g'(x) = 0 ⇔ 2x⁵(x² - 1)(x² - 4)² = 0

Ta thấy x = 1, x = -1(là hai nghiệm đơn) và x = 0 (là các nghiệm bội lẻ) nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g(x) = f(x²) có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 39: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x² - 2x với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = f(x² – 8x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5     D. 6

Lời giải:

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x² - 8x) = 2(x - 4)[(x² - 8x)² - 2(x² - 8x)];

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4)[(x² - 8x)² - 2(x² - 8x)] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 40: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R và thỏa mãn f(x).f'''(x) = x(x - 1)²(x + 4)³ với mọi x ∈ R. Hàm số g(x) = [f'(x)]² - 2f(x).f''(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1      B. 2

C. 3      D. 6

Lời giải:

Ta có: g'(x) = 2f''(x).f'(x) - 2f'(x).f''(x) - 2f(x).f'''(x) = -2f(x).f'''(x);

g'(x) = 0 ⇔ f(x).f'''(x) = 0 ⇔ x(x - 1)²(x + 4)³ = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 41: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thỏa mãn [f'(x)]² + f(x).f''(x) = 15x⁴ + 12x với mọi x. Hàm số g(x) = f(x).f'(x) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Lời giải:

Ta có: g'(x) = [f'(x)]² + f(x).f''(x) = 15x⁴ + 12x

g'(x) = 0 ⇔ 15x⁴ + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 42: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)⁴.(x - 2)⁵.(x + 3)³ với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 1     B. 3

C. 5     D. 7

Lời giải:

Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (x + 1)⁴(x - 2)⁵(x + 3)³ = 0

Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 43: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1).(x - 2)⁴.(x² – 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 1     B. 3

C. 5     D. 7

Lời giải:

* Ta có: f'(x) = 0 khi (x - 1).(x - 2)⁴.(x² - 4) = 0

* Do f'(x) đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị (cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|)).

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 44: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x.(x + 2)⁴.(x² + 4) với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(|x|) là

A. 0      B. 1

C. 3      D. 5

Lời giải:

Ta có f'(x) =0 khi và chỉ khi: x.(x + 2)⁴.(x² + 4) = 0

* Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f(x) có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f(|x|) có 1 điểm cực trị (cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 45: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x².(x + 1).(x² + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m > -10 để hàm số g(x) = f(|x|) có 5 điểm cực trị ?

A. 6     B. 7

C. 8     D. 9

Lời giải:

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f(|x|) nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f(x) có 2 điểm cực trị dương. (*)

Xét:

Do đó (*) xảy ra khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt :

-^{m > -10, m ∈ Z}→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 46: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)²(x² + m² - 3m - 4)³(x + 3)⁵ với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5     D.6

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

Để hàm số g(x) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, (1) có hai nghiệm trái dấu nên: m² - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-^{m ∈ Z}→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 47: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)⁴.(x - m)⁵.(x + 3)³ với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-5, 5] để hàm số g(x) = f(|x|) có 3 điểm cực trị ?

A. 3     B. 4

C. 5     D. 6

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị âm (x = -3, x = -1). Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f(x) không có cực trị. Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị thì hàm số f(x) phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -^{m ∈ Z, m ∈ [-5;5]}→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 48: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x².(x + 1).(x² + 2mx + 5) với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f(|x|) có đúng 1 điểm cực trị ?

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Xét f'(x) = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m² - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -^{m ∈ Z-}→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 49: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)².(x² – 2x) với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) = f(x² - 8x + m) có 5 điểm cực trị ?

A. 15     B. 16

C. 17     D. 18

Lời giải:

Xét f'(x) = 0 ⇔ (x - 1)²(x² - 2x) = 0

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x² - 8x + m);

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4).f'(x² - 8x + m) = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*)

Xét đồ thị (C) của hàm số y = x² – 8x và hai đường thẳng d₁: y = -m, d₂: y= -m + 2 (như hình vẽ).

Khi đó (*) xảy ra khi d₁, d₂ cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 50: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = f(x) - x đạt cực đại tại

A. x = - 1     B. x = 0

C. x = 1     D. x = 2

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x) - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 51: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g(x) = f(-x² + 3x) có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 3      B. 4

C. 5      D. 6

Lời giải:

Ta có g'(x) = (-2x + 3).f'(x² + 3x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 54: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số g(x) = [f(x)]² có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta có:

g'(x) = 2f'(x).f(x); g'(x) = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 55: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f[f(x)] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3      B. 4

C. 5      D. 6

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'(x) = f'(x).f'[f(x)];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2)

• Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a)

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 56: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = 2f(x) – 3f(x)

A. 2      B. 3

C. 4      D. 5

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x)[2^f(x).ln2 - 3^f(x).ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị).

• f(x) ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy hàm số g(x)= 2^f(x) – 3^f(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 57: Để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ?

A. (0; 2)      B. (-4; -2)

C. (-2; 0)      D. (2; 4)

Lời giải:

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'(2) = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 58: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h(x) = |2f(x)- 3| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4      B. 5

C. 7      D. 9

Lời giải:

Xét g(x) = 2f(x) + 3 nên g'(x) = 2.f'(x)

g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |2f(x) – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 59: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2      B. 3

C. 5      D. 7

Lời giải:

Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 60: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số g(x) = f(x² + 1) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 0      B. 1

C. 2      D. 3

Lời giải:

Ta có g(x) = f(x² + 1) nên g'(x) = 2x.f'(x² + 1)

Vậy g'(x) = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 1)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 2)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 3)
• 120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 4)

---