100 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có lời giải (cơ bản)

Với 100 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số (cơ bản) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số (cơ bản).

Bài giảng: Cách giải bài toán Tương giao của hai đồ thị - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bài 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀ = 2 có phương trình là:

A. y = -2x - 2     B. y = -4x + 12

C. y = x -1     D. y = -2x + 2

Lời giải:

Đáp án: B

Tập xác định: D = R\ {1}.

Đạo hàm :

Suy ra: y’(2) = - 4 và y(2) = 4.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x₀ = 2 là:

y = -4(x – 2) + 4 hay y = - 4x+ 12

Bài 2. Cho hàm số y = x³ + x²- 6x+ 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(0; 1)

A. y = -2x+ 1     B. y = 2x+ 1

C. y = - 6x+ 1     D.y = 3x+ 1

Lời giải:

Đáp án: C

Hàm số đã cho liên tục và xác định trên R.

Đạo hàm: y’ = 3x² + 2x- 6

Ta có: y’(0) = - 6 nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm A(0; 1) là:

y = - 6(x- 0) + 1 hay y = - 6x + 1

Bài 3. Cho hàm số y = 2x² + 4x+ 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ -1 có phương trình là

A. y = x+ 1     B.y = x     C. y = 1     D. y = -1

Lời giải:

Đáp án: D

Hàm số đã cho liên tục và xác định trên R .

Đạo hàm: y’ = 4x+ 4.

Với y = -1 ta có: 2x² + 4x+ 1 = - 1 ⇔ x = -1. Bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(- 1; -1)

Ta có y’(-1) = 0. Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = 0 (x+1) – 1 hay y = - 1

Bài 4. Cho đồ thị (C) của hàm số y = x³ + 6x² – 12x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn.

A. y = - 24 x- 7     B. y = 10 x+ 2

C. y = 24 x + 1     D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: A

Hàm số đã cho liên tục và xác định trên R.

Ta có: y’ = 3x² + 12x – 12 và y” = 6x+ 12.

Xét phương trình: y” = 0 ⇔ x = - 2 ⇒ y (-2) = 41 và y’(-2) = - 24.

Do đó điểm uốn của đồ thị hàm số là I(- 2; 41). Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là :

y = - 24(x+ 2) + 41 hay y = -24x – 7

Bài 5. Cho đồ thị của hàm số (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1.

Lời giải:

Đáp án: A

+ Tập xác định: D = R\ { -2}.

Do đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ 1 là :

Bài 6. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là:

A. y = 1     B. y = 0

C. y = x+ 1     D. y = x - 1

Lời giải:

Đáp án: A

+ Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.

+ Đạo hàm y’ = x² - 4x + 3.

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3.

+ ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = 3.

Ta có: (3) = 1 và y’(3) = 0.

Do đó phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là :

y = 0. (x- 3) +1 hay y = 1.

Bài 7. Cho hàm số có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = - x + 1     B. y = - x+ 2

C. y = - 2x + 4     D. y = x - 2

Lời giải:

Đáp án: B

Trực hoành có phương trình là y = 0.

Phương trình giao điểm của (H) và trục hoành là:

⇒ y(2) = 0.

Vậy giao điểm của đồ thị hàm số (H) và trục hoành là I(2; 0)

Đạo hàm:

Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm I của ( H) và trục hoành là:

y = -1. (x- 2) + 0 hay y = - x + 2.

Bài 8. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thì hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung bằng.

A. -2     B. 2     C. 6     D. 3

Lời giải:

Đáp án: C

Tập xác định: D = R\ {- 1}.

Điểm A(x; y) là giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung thỏa mãn hệ phương trình:

Suy ra; hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là k = y’(0) = 6

Bài 9. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc k = 3 là

Lời giải:

Đáp án: B

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R.

Đạo hàm: y’ = x² – 2x+ 3

Xét phương trình: x² – 2x+ 3 = 3 (= k)

+ Với x = 0, y(0) = 1 và y’(0) = 3.

Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm (0; 1) là:

Y = 3(x- 0)+1 hay y = 3x+ 1

+ Với x = 2, y(2) = và y’(2) = 3.

Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm là:

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:

Bài 10. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀ = 1 bằng:

A. -2     B. 2     C. 0     D. Đáp số khác

Lời giải:

Đáp án: B

Đạo hàm y’ = x³ + x.

Ta có y(1) = 2 và y’(1) = 2.

Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 là:

k = y’(1) = 2

Bài 11. Có mấy tiếp tuyến của đồ thi hàm số có hệ số góc k = - 5?

A. 2     B. 1     C. 0     D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Đạo hàm: y’ = x² + 6x

Xét phương trình x² + 6x = -5

+ Với x = 1, y(1) = ; y’(1) = k = - 5.

Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là:

Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 5 là:

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn.

Bài 12. Cho đường cong (C): , tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x₀ = -1 có hệ số góc là:

A. k = 0     B. k = - 1     C. k = 1     D. k = 2

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có đạo hàm:

Suy ra, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ = - 1 là:

k = y’(-1) = 0.

Bài 13. Cho hàm số y = -x² - 4x+3 có đồ thị (P). Nếu tiếp tuyến tại điểm M(x; y) của (P) có hệ số góc bằng 8 thì x+ y bằng

A. 12     B. 10     C. -15     D. 15

Lời giải:

Đáp án: C

Đạo hàm: y’ = -2x – 4

Do tiếp tuyến tại điểm M của (P) có hệ số góc bằng 8 nên :

-2x - 4 = 8 ⇔ x = - 6

Mà điểm M thuộc đồ thị (P) nên y = - (-6)²- 4. (-6)+ 3 = - 9.

Vậy tọa độ điểm M(- 6; - 9) nên x+ y = - 15.

Bài 14. Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng y = x- 3.

A. y = - x - 3 và y = - x+ 1

B. y = x - 3 và y = - x+ 1

C. y = -x + 3 và y = - x+ 1

D. y = -x - 3 và y = x+ 1

Lời giải:

Đáp án: A

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng y = x- 3 là:

• Với x = 0 ta có y(0) = - 3 và y’(0) = -1

Nên phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 là:

y = -1(x – 0)+ (-3) hay y = - x- 3.

• Với x = 2 ta có y(2) = -1 và y’(2) = – 1

Nên phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y = - 1(x- 2) + (-1) hay y = - x+ 1

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là y = - x- 3 và y = - x+ 1.

Bài 15. Cho hàm số y = x³ – 3x² +1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 9x+ 5.

A. y = 9x + 1      B. y = 9x+ 6

C. y = 9x - 10     D. y = 9x - 2

Lời giải:

Đáp án: B

Đạo hàm: y’ = 3x² – 6x .

Đường thẳng d: y = 9x+ 5 có hệ số góc k_d = 9.

Do tiếp tuyến ∆⫽ d nên k∆ = k_d = 9.

Xét phương trịnh: 3x² – 6x = 9

+ Với x = 3 thì y(3) = 1 và y’(3) = 9. Nên phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x- 3) + 1 hay y = 9x – 26.

+ Với x = - 1 thì y(-1) = - 3 và y’(-1) = 9. Nên phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = - là: y = 9(x+ 1) + (-3) hay y = 9x + 6.

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là y = 9x – 26 và y = 9x+ 6 .

Bài 16. Cho đường cong (C): . Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0; -1) là:

A. y = x - 1     B. y = 2x + 1

C. y = -2x -1     D. y = 2x- 1

Lời giải:

Đáp án: D

Đạo hàm:

Suy ra; y’(0) = 2.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0; -1) là:

y = 2(x- 0)+ (-1) hay y = 2x - 1.

Bài 17. Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = x³ – 3x+ 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2; -4)

A. y = 3x+ 2 và y = 3x- 10

B. y = 2x+ 1 và y = 3x – 10

C. y = 3x+ 2 và y = 24x – 52

D. Một đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

Đạo hàm: y’ = 3x² -3.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x₀; y₀) thuộc đồ thị hàm số ( ) là:

Do tiếp tuyến đi qua điểm A (2; -4) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến ta được:

+ Với x₀ = 0 thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3.x + 2

+ Với x₀ = 3 thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 24 x – 52.

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là y = - 3x+ 2 và y = 24x+ 52.

Bài 18. Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = - x+ 10.

A. y = x + 1 và y = x + 7

B. y = x - 1 và y = x + 7

C. y = x + 1 và y = x - 7

D. y = x + 1 và y = x - 7

Lời giải:

Đáp án: B

Tập xác định : D = R\ {-2}.

Đạo hàm:

Do tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d nên ta có:

k_tt. k_d = - 1 nên k_tt = 1

Suy ra:

* Với x = 0 ta có y(0) = - 1 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (0; -1) là :

y = 1.(x - 0) + (-1) hay y = x – 1.

* Với x = - 4 ta có y(-4) = 3 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (- 4; 3) là:

y = 1(x+ 4) + 3 hay y = x + 7.

Bài 19. Cho hàm số . Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của đồ thị hàm số có pt:

Lời giải:

Đáp án: A

Đạo hàm: y’ = x² – 4x+ 3; y” = 2x- 4.

Xét phương trình: y’’ = 2x – 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y(2) =

Vậy tâm đối xứng của hàm số đã cho là

Ta viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I:

Ta có: y’(2) = - 1 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm I là:

Bài 20. Tìm phương trình tiếp tuyến của (P): y = x² – 2x + 2 song song với (d): y = 4x là ?

A. y = 4x + 7     B. y = 4x+ 10

C. y = 4x+ 2     D. y = 4x- 7

Lời giải:

Đáp án: D

Đạo hàm y’ = 2x – 2.

Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng (d): y = 4x nên :

k_tt = k_d = 4

Suy ra: 2x- 2 = 4 ⇔ x = 3.

Khi đó, y(3) = 5 và y’(3) = 4. Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm (3; 5) là:

y = 4 (x– 3) + 5 hay y = 4x – 7

Bài 21. Cho (H): các tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng (d): 2x + y - 9 = 0 là

A. y = - 2x +1 ; y = - 2x- 1

B. y = 2x+ 1, y = 2x- 1

C. y = - 2x – 1; y = - 2x + 7

D. y = -2x + 2; y = -2x -7

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có: 2x+ y – 9 = 0 ⇔ y = - 2x+ 9 có hệ số góc k = - 2.

Đạo hàm :

Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng (d): 2x+ y- 9 = 0 nên ta có:

k_tt = k_d = - 2

+ Với x = 0 thì y(0) = -1 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (0; -1) là;

y = -2(x- 0) – 1 hay y = - 2x- 1

+ Với x = 2 thì y(2) = 3 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (2; 3) là;

y = -2(x- 2) + 3 hay y = - 2x + 7.

Bài 22. Tìm M trên (H): sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với (d): y = x+2007 ?

A. (1; -1) hoặc(2;- 3)     B. (5;3) hoặc (2;- 3)

C. (5;3) hoặc (1;- 1)     D. (1;- 1) hoặc (4;5)

Lời giải:

Đáp án: C

Đạo hàm:

Đường thẳng d có hệ số góc là k_d = 1.

Do tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng d nên ta có:

k_tt . k_d = - 1 nên k_tt = - 1.

Xét phương trình :

Với x = 5 ⇒ y = 3.

Với x = 1 ⇒ y = -1 .

Vậy có 2 điểm thỏa mãn là (5; 3) và (1; -1) .

Bài 23. Cho (H): . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. (H) có tiếp tuyến song song với trục tung

B. (H) có tiếp tuyến song song với trục hoành

C. Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc âm

D. Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc dương

Lời giải:

Đáp án: D

Tập xác định: D = R\ {1}.

Đạo hàm:

Suy ra, không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc dương.

Bài 24. Cho đồ thị hàm số y = x³ – 2x² + 2x (C). Gọi x₁, x₂ là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (d): y = - x- 2019. Khi đó x₁ + x₂ là:

Lời giải:

Đáp án: A

Đạo hàm: y’ = 3x² – 4x+ 2.

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = - x - 2019 nên :

k_tt. k_d = - 1 ⇒ k_tt = 1.

Xét phương trình: 3x² – 4x +2 = 1

Vậy hai điểm M và N cần tìm có hoành độ là 1 và

Bài 25. Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến đó là số nguyên lớn nhất?

A. y = - x+ 1 và y = - x – 3

B. y = -x+ 1 và y = - x+ 5.

C. y = -x+ 2 và y = - x – 4

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: B

Tập xác định :D = R\ {1}.

Đạo hàm :

⇒ Hệ số góc cần tìm là k = - 1.

Xét phương trình

• Với x = 0 thì y(0) = 1 và y’(0) = -1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = - 1. (x-0) + 1 hay y = - x+ 1

• Với x = 2 thì y(2) = 3; y’(2) = -1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = - 1 (x- 2) + 3 hay y = - x+ 5

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y = - x+ 1 và y = -x+ 5 .

Bài 26. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 10 (C). Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của (C) và có hệ số góc nhỏ nhất:

A. y = - x + 3     B. y = 3x + 2

C. y = 3x + 1     D. y = -3x + 11

Lời giải:

Đáp án: D

Đạo hàm: y’ = 3x² – 6x = 3(x-1)² – 3 ≥ 3 ∀ x

Do đó, trong các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là – 3.

Khi đó, x – 1 = 0 hay x = 1.

Ta có y(1) = 8.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

y = - 3.(x- 1)+ 8 hay y = - 3x+ 11

Bài 27. Biết tiếp tuyến của (C): vuông góc với (d): thì hoành độ tiếp điểm là ?

A. 5 và -2     B. 4 và - 1

C. 5 và -1     D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

Đạo hàm:

Đường thẳng (d): có hệ số góc là

Do tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với (d) nên

Xét phương trình :

Vậy hoành độ hai tiếp điểm thỏa mãn là 5 và – 1.

Bài 28. Cho (Cm): . Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ là -1. Tìm m để tiếp tuyến tại A song song với (d): y = 3x + 10 ?

A. m = 1     B. m = 2

C. m = - 2     D. m = - 1

Lời giải:

Đáp án: A

Đạo hàm : y’ = x² – 2mx ⇒ y’(-1) = 1 +2m.

Đường thẳng d: y = 3x+ 10 có hệ số góc k = 3.

Theo giả thiết ta có: 1+ 2m = 3 ⇔ m = 1.

Bài 29. Đường thẳng y = 3x+ m là tiếp tuyến của đường cong y = x³ + 2 khi m bằng

A. 1 hoặc -1     B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc -2     D. 3 hoặc -3

Lời giải:

Đáp án: B

Đạo hàm y’ = 3x².

Đường thẳng (d): y = 3x+ m có hệ số góc k = 3.

Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường cong nên ta có:

3x² = 3 ⇒ x = ±1

+ Với x = 1, ta có y(1) = 3 và y’(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1; 3) là :

y = 3(x- 1)+ 3 hay y = 3x .

Đối chiếu với đường thẳng (d) suy ra m = 0.

+ Với x = - 1, ta có y(-1) = 1; y’(-1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1; 1) là:

y = 3(x+ 1) +1 hay y = 3x + 4 .

Đối chiếu với phương trình đường thẳng (d) suy ra m = 4.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là m = 0 hoặc m = 4.

Bài 30. Cho hàm số y = x³ – 3x+ 2 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua M(1; -5).

A. y = 9x- 14     B. y = 6x- 11

C. y = 3x- 8     D. y = -8x+3

Lời giải:

Đáp án: A

Lấy điểm A(a, a³ – 3a+2) thuộc đồ thị hàm số (C).

Đạo hàm y’ = 3x² – 3 nên y’(a) = 3.a² – 3.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là:

y = (3.a² – 3). (x- a)+ a³ – 3a +2.

Do tiếp tuyến này đi qua điểm M (1; - 5) nên ta có:

- 5 = (3.a² – 3). (1-a) + a³ – 3.a + 2

⇔ - 5 = 3.a² – 3.a³ - 3 + 3.a + a³ – 3.a + 2

⇔ -2.a³ + 3.a² + 4 = 0 ⇔ a = 2.

Khi đó. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 9x- 14.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• 100 Bài tập Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số có lời giải (cơ bản)
• 100 Bài tập Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số có lời giải (mức độ Vận dụng)
• 100 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có lời giải (cơ bản)
• 120 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có lời giải (nâng cao)
• 100 Bài tập Tiệm cận của đồ thị hàm số có lời giải (nâng cao)

---