Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số (cực hay)

Trang trước Trang sau

Bài viết Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số.

Để tìm nguyên hàm của hàm số ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Phương pháp này chúng ta có hai hướng đổi biến số:

+ Hướng 1:

• Bước 1: Chọn t = φ(x) . Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt .

• Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt .

• Bước 4: Khi đó: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

*Hướng 2:

• Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt

• Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt

• Bước 4: Khi đó tính: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = ( 3x + 2)³ là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có;

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)= (1 − 2x)⁵ là:

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = 1 − 2x, khi đó ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 3. Tính nguyên hàm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t = x² + 2x + 5 , khi đó ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 4. Tính Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t = x³ + 3x + 10, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 5. Tính Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay , khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t = x² + 1, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Cho Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay . Khi đó S = a + b + c bằng

Lời giải:

Đáp án: B

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 3. Nguyên hàm của Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay có dạng F(x) = − ln|x² + bx + 1| + ln(x² + c) + C. Khi đó P = (a + b + 2c)b⁴ bằng

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Vậy

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 4. Tìm hàm số f(x) = x² + ax + ln|bx + 1| + c biết Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay và f(0) = 1. Khi đó S = (2a − b)³. c bằng

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Vì

Mà

Suy ra, a= 1, b= 2, c= 1 nên S = (2a − b)³ . c = 0

Ví dụ 5. Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay . Khi đó bằng

A. 2 B. −2 C. 4 D. 3

Lời giải:

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

1. Phương pháp giải

Dấu hiệu	Cách chọn
√(a² − x²)	Đặt x = \|a\|. sint; với hoặc x= \|a\|. cost; với t ∈ [0; π]
√(x² − a²)	Đặt ; với hoặc ; với
√(a² + a²)	Đặt x= \|a\|. tant; với hoặc x = \|a\|.cot t; với t ∈ (0; π)
hoặc	Đặt x= acos2t
	Đặt x = a + (b − a)sin²t

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Kết quả của Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay là:

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Một nguyên hàm của hàm số y = x√(1 + x²) là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Vậy

Ví dụ 3. Nguyên hàm của hàm số: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay là:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Đặt t = 1 − 4x, khi đó(*) trở thành :

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 4. Một nguyên hàm của hàm số: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay là:

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt √(2 − x²) = t => x² = 2 − t² => xdx = −tdt

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 5. Cho Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay . Tính S = log_b²a + log_ab + 2016?

A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt √(x² + 3) => t² = x² + 3 => 2tdt = 2xdx => xdx = tdt

Suy ra:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Do đó, b = 3, a = 3

Vậy S = log_b²a + log_ab + 2016 = 2018

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có :

Đặt t = sinx + 1, từ (*) suy ra:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Đặt t= sin x, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 3. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Vì lũy thừa của sin là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx.

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm: Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đặt u= tanx => Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay . Khi đó, từ (*) ta suy ra:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 5. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đặt Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay , với

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t= 2x+ 2016, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 2. Tìm Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t= 3x − 3, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 3. Một nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt t= 7x³ + 1, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Ví dụ 4. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

A. Chỉ (I). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I) và (II). D. Chỉ (I) và (III).

Lời giải:

Đáp án: D

Ta tìm nguyên hàm của các hàm số:

(I):

(II):

(III):

Do đó, (I) và (III) đúng.

Ví dụ 5. Một nguyên hàm của hàm số Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đặt t = lnx, khi đó (*) trở thành:

Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số cực hay

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm nguyên hàm: $\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 4} d x$ .

Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{\ln x}{x \sqrt{\ln x + 2}} d x$ .

Bài 3. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{2 e^{x} + 1}{e^{x} + 1} d x$ .

Bài 4. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{d x}{x (1 + \sqrt{x})}$ .

Bài 5. Tìm nguyên hàm: $\int \frac{1}{x \sqrt{x^{3} + 9}} d x$ .

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Trang trước Trang sau

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học