Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)



Bài viết Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm max min số phức thỏa mãn điều kiện.

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≤ 1. Đặt A = Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. |A| < 1     B. |A| ≤ 1     C. |A| ≥ 1     D. |A| > 1

Lời giải:

Ta có:

2A + Aiz = 2z - i ⇔ (2 - Ai)z = 2A + i

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Đặt A = a + bi.

Suy ra

|z| ≤ 1 ⇒ |2A + i| ≤ |2 - Ai| ⇔ 4a2 + (2b + 1)2 ≤ a2 + (b + 2)2 ⇔ 3a2 + 3b2 ≤ 3

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn đáp án là B.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| 2i| = 3. Mô đun lớn nhất của số phức z là:

A. 3 + √5     B. 2√5     C. 3    D. Tất cả sai

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; −2) bán kính r = 3. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó

max |z| = OI + r = 3 + √5

Chọn đáp án là A.

Câu 4: Cho số phức z, w thỏa mãn |z - 1 + 2i| = |z + 5i|, w = iz + 20. Giá trị nhỏ nhất m của |w| là

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Gọi A (1; −2), B (0; −5), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x + 3y + 10 = 0. Ta có |w| = |iz + 20| = |z - 20i| = OM với M là điểm biểu diễn số phức z và C(0; 20). Do đó min |w| = d(C.∆) = 7√10

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Biết biểu thức Q = |z - 2 - 4i| + |z - 4 - 6i| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi (a, b ∈ R). Tính P = a − 4b

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiêt đề bài là đường trung trực d của AB có phương trình x − 4y + 2 = 0.

Xét hai điểm M(2; 4), N(4; 6) thì Q = IM + IN với I ∈ d.

Do đó Q nhỏ nhất khi và chỉ khi I là giao điểm của M0N với Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) là điểm đối xứng của M qua d

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn đáp án là A.

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Gọi M và m lần lượt là Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của |z|. Tính M.m

A. Mnm = 2    B. Mm = 1    C. Mm = 2√2    D. Mm = 2√3

Lời giải:

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Theo giả thiết thì số phức z thỏa mãn

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Gọi A(−1; 1), B(1; −1) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z. Theo công thức trung tuyến thì

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Vậy Mm = 2√2.

Chọn đáp án là C.

Câu 7: Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 4√2. Trong mặt phẳng tọa độ, gọi M, N là điểm biểu diễn z và z. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN

A. 1    B. √2    C. 4√2    D. 2√2

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Gọi điểm M biểu diễn số phức z = x + iy và N biểu diễn số phức Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) thì M, N đối xứng nhau qua Ox. Diện tích tam giác OMN là SOMN = |xy|

Do |z - 2| + |z + 2| = 4√2 nên tập hợp M biểu diễn x là Elip

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn đáp án là D.

Câu 8: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện (z - 1)(Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) + 2i) là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của mô – đun của số phức z.

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Giả sử z = x + yi,

Khi đó (z - 1)(Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) + 2i) = x(x - 1) + y(y - 2) + [xy - (x - 1)(y - 2)]i

theo bài do số phức trên là số thực nên xy - (x - 1)(y - 2) = 0 ⇔ y = 2 - 2x

Từ đó ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1|z1 = 9|z2|z2 và nếu gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì tam giác OMN có diện tích bằng 6. Tính giá trị nhỏ nhất của P = |z1 + z2

A. min P = 8    B. min P = 6

C. min P = 4√2    D. min P = 3√2

Lời giải:

+ Từ |z1|z1 = 9|z2|z2 suy ra |z1| = 3|z2| = 3t (t > 0) và điểm biểu diễn cho số phức z1, z2 và điểm thẳng hàng (các véc tơ còn cùng hướng). Trong đó điểm N' đối xứng của điểm N qua trục Ox là điểm biểu diễn cho số phức z2. Thế vào hệ thức trên ta được:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

+ Giả sử z1 = x + yi; z2 = a + bi, (a, b, x, y ∈ R) suy ra M(x; y); N(a; -b); N'(a; b). Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Từ đó ta có: |bx + ay| = 12 hay |ab| = 2 (1)

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn đáp án A.

Câu 10: Xét tập A gồm các số phức z thỏa

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) là số thuần ảo và các giá trị m, n thỏa chỉ có duy nhất số phức z ∈ A thỏa |z - m - mi| = √2. Đặt M = max(m + n), N = min(m + n) thì giá trị của tổng M + N là?

A. -2     B. - 4    C. 2     D. 4

Lời giải:

Vận dụng tính chất ta có a thuần ảo thì

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Từ giả thiết suy ra:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Vậy tập hợp A là đường tròn (C) có tâm I(1;1) bán kính R = √2.

Ta có: |z - m - mi| = √2 ⇔ (x - m)2 + (y - n)2 = 2 do phương trình này có nghiệm duy nhất nên x = m, y = n

Vậy ta có: M = max(x + y); m = min(x + y).

Gọi M là một giá trị của x+ y hay x + y = T ⇔ x + y - T = 0

+ Xét đường thẳng d: x + y - T = 0

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Vậy M = 4; m = 0 nên M + m = 4.

Chọn đáp án D.

Câu 11: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa |z + 2i - 1| = |z + i|. Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A(1 ;3) .

A.3 + i    B. 1 + 3i.    C. 2 - 3i.    D. -2 + 3i.

Lời giải:

Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (x, y ∈ R)

Gọi E(1 ; -2) là điểm biểu diễn số phức 1 - 2i

Gọi F(0 ; -1) là điểm biểu diễn số phức -i

Ta có: |z + 2i - 1| = |z + i| ⇔ ME = MF => Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực EF : x - y - 2 = 0.

Để MA ngắn nhất khi MA ⊥ EF tại M ⇔ M(3; 1) => z = 3 + i

Chọn A.

Câu 12: Cho số phức z thoả |z - 3 + 4i| = 2 và w = 2z + 1 - i. Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

=> Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I(7;-9) bán kính R = 4.

Khi đó |w| có giá trị lớn nhất là OI + R = √130 + 4

Câu 13: Cho số phức z1 thỏa mãn |(1 + i)z + 1 - 5i| = 5√2 và số phức z2 thỏa mãn |z + 1 + 2i| = |z+ i|. Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z1 - z2|

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1; z2 trên mặt phẳng.

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn B.

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn |z| ≥ 2. Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Áp dụng BĐT ||z2| - |z1|| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |2|

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Do đó maxP = 3/2; minP = 1/2

MaxP.minP = 3/4

Chọn D.

Câu 15: Cho hai số phức z; w thỏa mãn |z - 1| = |z + 3 - 2i|; w = z + m + i với m ∈ R là tham số. Giá trị của m để ta luôn có |w| ≥ 2√5 là:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Ta có: z = w - m - i => |w - m - 1 - i| = |w + 3 - m - 3i|

Tập hợp điểm M biểu diễn w là trung trực của A(m + 1; 1); B(m - 3; 3) nên là đường thẳng d qua trung điểm I(m - 1; 2) và có Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) => d: 2x - y - 2m + 4 = 0

Đặt z = a + bi do |w| ≥ 2√5 nên M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 2√5

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:


so-phuc.jsp


Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học