20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải



Với 20 bài tập Số phức có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Số phức.

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn có diện tích:

A. S = 9π    B. S = 12π.    C. S = 16π.    D.S = 25π.

Lời giải:

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

<=> |w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 <=> |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó (1) <=> (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

A.5    B.4    C.6    D.8

Lời giải:

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|

A. max M = 5; min M = 1   B. max M = 5; min M = 2

C. max M = 4; min M = 1   D.max M = 4; min M = 2

Lời giải:

Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 nên max M = 5

Mặt khác:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

khi z = -1 thì M = 1 nên min M = 1

Chọn A.

Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Mặt khác:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) , xảy ra khi z = -2i

giá trị lớn nhất của P bằng Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) xảy ra khi z = 2i

Chọn A.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 - z|

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

=> y2 = 1 - x2 => x ∈ [-1; 1]

Ta có:

P = |1 + z| + 3|1 - z|

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Xét hàm số:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và với x ∈ (-1; 1) ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Ta có:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn D.

Câu 6 . Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1

Vậy |z| nhỏ nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 và |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5

Chọn B.

Câu 7. Cho z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) ∈ R và |z1 - z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. |z1| = √5

B. |z1| = 3

C. |z1| = 2

D. |z1| = Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.

Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

Do z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1; z2 ∈ R, mà:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Ta có:

(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i ∈ R

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn C.

Câu 8. Gọi z = x + yi là số phức thỏa mãn hai điều kiện: |z - 2|2 + |z + 2|2 = 26 và

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Đặt z = x + yi Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36

Đặt x = 3.cost; y = 3sint. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Dấu bằng xảy ra khi:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn D.

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Lời giải:

Gọi z = x + yi.

Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 <=> (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, tâm I(3; 4) và R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - [(x2) + (y - 1)2] = 4x + 2y + 3

<=> d: 4x + 4y + 3 - M = 0

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn D.

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5    B. 3√2

C. √6   D. 5√2

Lời giải:

Gọi z = x + y; khi đó: z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-; -1) ∈ (C),

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (C) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Suy ra |z + 1 + i|đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (C)

Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 - 3i

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn B

Câu 11: Cho hai số phức z1; z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1; M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2 + y2 = 1 và |z1 - z2| = 1. Tính giá trị biểu thức P = |z1 + z2|

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

M1; M2 đường tròn (T) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta có |z1 - z2| = 1 hay M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác đều cạnh bằng 1

Suy ra:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn D.

Câu 12. Cho các số phức a; b;c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. Gọi A; B: C lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức a; b; c . Tính diện tích của tam giác ABC

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Cách 1: (Tự luận)

+ Trước hết ta chứng minh tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1. Thực vậy: từ giả thiết |a| = |b| = |c| = 1. Nên A; B; C đều thuộc đường tròn (O;R = 1) .

+ Ta chứng minh tam giác ABC đều. Chú ý: |a - b| = AB

+ Từ a + b + c = 0 nên a = -b -c => |b + c| = 1 và |c + a| = |a + b| = 1 .

Mặt khác theo hằng đẳng thức hình bình hành ta có |a + b|2 + |a - b|2 = 2(|a|2 + |b|2) nên ta có được |a - b|2 = 2.2 - 1 = 3 => |a - b| = √3 => AB = √3 .

Tương tự ta tính được BC = CA = √3 . Do đó tam giác ABC đều với cạnh bằng √3 nên có diện tích bằng

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Cách 2: Chuẩn hóa bằng các số phức:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Khi đó ta dễ thấy các số phức trên thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

từ đó ta tìm được diện tích của tam giác ABC.

Chọn C.

Câu 13. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. A; B; Cthẳng hàng.    B. Tam giác ABC là tam giác tù.

C. ΔABC là tam giác đều.    D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Lời giải:

Ta có z1 = 2 - i; z2 = 3 + i; z3 = 2i.

Từ trên ta được A( 2; -1); B(3; 1); C(0; 2).

Ta được:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

- Do Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) nên ba điểm A; B; C không thẳng hàng từ đó ta được tam giác ABC.

- Dễ thấy tam giác ABC không phải là tam giác đều và cũng không phải tam giác vuông.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B.

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 + 2i| + |z + 2 - i| = 3√2. Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 3 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

+ Trước hết ta có mệnh đề quen thuộc: Nếu z; z’ lần lượt có điểm biểu diễn là A; A’ thì |z' - z| = A'A .

+ Xét các số phức z1 = 1 - 2i; z2 = -2 + i; z3 = 3 - i và z = x + yi lần lượt có điểm biểu diễn là A; B; C và N.

Khi đó ta có giả thiết là NA + NB = 3√2 (1) với AB = 3√2 (2).

Từ (1) và (2) ta được N thuộc đoạn thẳng AB.

Yêu cầu bài toán là tìm min hoặc max của biểu thức S = NC với ABC là 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó minP = NC; maxP = max{CA,CB} .

+ Ta có đường thẳng AB: x + y + 1 = 0 nên

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

+ CA = √5;CB = √29 suy ra max P = √29.

Chọn A.

Câu 15. Cho 3 số phức z1; z2; z3 phân biệt thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3| = 3 và Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) Biết rằng các điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 lần lượt là A; B; C. Tính số đo góc ∠ACB

A. 60o

B. 90o

C. 150o

D. 120o

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Giả sử zk = xk + yk, khi đó điểm A(x1; y1); B( x2; y2); C(x3; y3) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Từ giả thiết |z1| = |z2| = |z3| = 3 => OA = OB = OC = 3nên A; B; C đều thuộc đường tròn tâm O, bán kính R = 3.

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

(vì |z1| = |z2| = |z3| = 3 ) hay x1 - y1.i + x2 - y2.i = x3 - y3i.

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

+ Vì OA = OB = 3 và Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) nên OACB là hình thoi với một đường chéo OC = 3.

+ Từ trên suy ra tam giác OAC; OBC đều cạnh bằng 3 nên ∠ACB = 120o

Chọn D.

Câu 16. Cho các số phức a; b; c; z thỏa mãn az2 + bz + c = 0 và |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính mô đun của số phức w = M - mi.

A. |w| = √3    B. |w| = 1    C. |w| = 2√3    D. |w| = 2

Lời giải:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau z1; z2.

Theo định lý vi – ét ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Đặt |z1| = x > 0; x ∈ R , khi đó ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên ba số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy biến thành đoạn thẳng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn A.

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải). Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của |z| là:

A. 3    B. √5    C. √13    D. 5

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Với giả thiết ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Từ đó ta được:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Từ đó bằng cách thay a cụ thể ta được đáp án C.

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với P = |1 + z22| - |1 + z| ?

A. 2 + √2   B. 1 + 2√2   C. -1 + 2√2   D. 2 - √2

Lời giải:

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

nên ta có maxP = P(1) = 0; minP = P(0) = -√2.

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Hàm số nghịch biến trên .

Từ đó ta được max P = P(-1) = 2; minP = P(0) = -√2.

+ Từ trên ta được:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn A.

Câu 19. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1|z1 = 4|z2|z2 và nếu gọi M, N là điểm biểu diễn z1; Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 + z2|

A. 3√3    B.8   C. 6√2   D.5

Lời giải:

Giải theo tự luận

+ Từ giả thiết |z1|z1 = 4|z2|z2, suy ra |z1| = 2|z2| và ta được z1 = 2z2.

+ Giả sử z1 = x + yi; z2 = a + bi. Ta được Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) và M(x; y); N(a; -b); N’(a; b) lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1, Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải) và z2.

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Từ diện tích của tam giác OMN bằng 8 nên |bx + ay| = 16 hay |ab| = 4 (1).

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi :

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Chọn C.

Câu 20. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 - z2|

Lời giải:

Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 = a + bi, N(c; d) là điểm biểu diễn của số phức z2 = c + di

Ta có: |z1 + 5| = 5 <=> (z1 + 5)2 + b2 = 25

Vậy M thuộc đường tròn (C): (x + 5)2 + y2 = 25

|z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i| <=> 8c + 6d = 35

Vậy N thuộc đường thẳng Δ 8x + 6y = 35

Dễ thấy đường thẳng Δ không cắt (C) và |z1 - z2| = M .

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) và đường thẳng 8x + 6y = 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng Δ .

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với Δ .

PT đường thẳng d là 6x - 8y = -30.

Gọi H là giao điểm của d và Δ . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Vậy K(-1; 3), L(-9; -3)

Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Câu 21. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + 3i| = Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải). Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Lời giải:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Giả sử z = x + yi, khi đó:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

=> Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2; -3) và bán kính Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất

=> M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn.

Ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Kẻ M1H ⊥ Ox. Theo định lý Talet ta có:

Các dạng bài tập Toán 12 (có lời giải)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:


so-phuc.jsp


Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học