Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)
Bài viết Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1) với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1).
Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z + z3| + |z + z4| hoặc P chứa z2, z3 (sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)
Cách 1: PP lượng giác hóa
Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng X2 + Y2 = 1
(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)
Đặt X = cosa; Y = sina
Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina
Sử dụng MODE 7 khảo sát với START = 0; END = 2; STEP =
(Chú ý dùng lệnh Shift Mode 5 - 1)
Cách 2: Sử dụng pp BĐT
BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max
BĐT Mincopxki:
Dấu = xảy ra khi
BĐT vecto:
Dấu = xảy ra khi
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| = √2. Tìm GTLN của T = |z + i| + |z - 2 - i|
Lời giải:
Ta có:
Cộng (1) với (2) ta được:
|z + i|2 + |z - 2 - i|2 = 2|z - 1|2 + 4 = 8 (không đổi)
Áp dụng đẳng thức bunhia xcopki:
T2 = (|z + i| + |z - 2 - i|)2 ≤ 2(|z + i|2 + |z - 2 - i|2) = 16 => T ≤ 4
Ví dụ 2: Với 2 số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và |z1 - z2| = 2. Tính GTLN của P = |z1| + |z2|
A. 5 + 3√5 B. 2√26 C. 4√6 D. 34 + 3√2
Lời giải:
CÁCH 1: Ta có:
|z1 + z2|2 + |z1 - z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) ⇔ 100 + 4 = 2(|z1|2 + |z2|2) ⇔ 52 = (|z1|2 + |z2|2)
Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy:
CÁCH 2:
Ta có:
ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2)
=> (|z1| + |z2|)2 ≤ 2(|z1|2 + |z2|2) = |z1| + |z2|2 + |z1| - |z2|2 = 104
=> |z1| + |z2| ≤ 2√26
Ví dụ 3: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi, thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z0 = 1 - i. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất.
Lời giải:
Ta có M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)2 + y2 = 1 tâm I(1;0)
Do N(1; -1) nằm trên đường tròn nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I(1;0) là trung điểm của MN.
Vậy M(1; 1)
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn :
Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z1 - z2| .
A. 18 B. 6√2 C. 6 D. 3√2
Lời giải:
Ta có:
|z1 - z2| = |(z1 + 3 - 4i) - (z2 + 6 - i) + (3 + 3i) ≤ |z1 + 2 - 4i| + |z2 + 6 - i| + |3 + 3i| = 3 + 3√2| = max
và |z1 - z2| = |(z1 + 3 - 4i) - (z2 + 6 - i) + (3 + 3i) ≥ |3 + 3i| - |z1 + 2 - 4i| - |z2 + 6 - i| = 3√2 - 3 = min
Do đó tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất là 6√2
Chọn đáp án là B.
Ví dụ 5: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z0 = 5 + 3i. M là một điểm thuộc (C) sao cho MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng
A. 6 B. √34 C. 3√5 D. 4
Lời giải:
Ta có: M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)2 + y2 = 1 có tâm I(1; 0) và bán kính R = 4
Do N(5, 3) nằm ngoài (C) nên MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:
MN = NI - R = 5 - 1 = 4.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức
- Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)
- Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)
- Các dạng bài tập hay về số phức
- 18 Bài tập số phức hay và khó
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12