150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao - phần 2)

Với 150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng (nâng cao - phần 2) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng (nâng cao - phần 2).

Bài 41: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =

A. F(x) = (x² - 8) + C

B. F(x) = x² + 8 + C

C. F(x) = (8 - x²) + C

D. F(x) = (x² - 8) + C.

Lời giải:

Đặt t = ⇒ x² = t² - 1 ⇒ xdx = tdt . Khi đó

= ∫(t² - 3)dt = - 3t + C

= - 3 + C = (x² - 8) + C

Đáp án: A

Bài 42: Tìm nguyên hàm của hàm số: I =

A. (- + ln| - |) + 2x + C

B. ( + ln| - |) + C

C. (- + ln| - |) + C

D. (- + ln| - |) - x + C

Lời giải:

Ta có:

Suy ra I = (- + ln| - |) + C.

Đáp án: C

Bài 43: Tìm nguyên hàm của hàm số J =

A. + 12x + 5ln|x+1| + + C

B. - 2x + 5ln|x+1| - + C

C. - 2x - 5ln|x+1| + + C

D. - 2x + 5ln|x+1| + + C

Lời giải:

Ta có: x³ + 2x + 1 = (x + 1)³ - 3(x + 1)² + 5(x + 1) - 2

Suy ra I = ∫(x - 2 + + )dx = - 2x + 5ln|x+1| + + C

Đáp án: D

Bài 44: Tinh nguyên hàm của hàm số sau K =

A. - + - + C

B. - + - + C

C. + + + C

D. - + - + C

Lời giải:

Ta phân tích 2x² + 1 = 2(x + 1)² - 4(x + 1) + 3

Suy ra: K =

= - + - + C

Đáp án: B

Bài 45: Tính F(x) = . Hãy chọn đáp án đúng.

A. F(x) = + C    B. F(x) = + C

C. F(x) = + C    D. F(x) = - + C

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 46: Biết hàm số F(x) = (mx + n) là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = . Khi đó tích của m và n là

A. 2    B. -2    C. -    D. -

Lời giải:

Cách 1: Tính = (- x + ) + C .

Suy ra m = - ; n = ⇒ m.n = -

Cách 2: Tính F'(x) =

Suy ra ⇒ m.n = -

Đáp án: D

Bài 47: Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = có đồ thị đi qua điểm (e;2016) . Khi đó hàm số F(1) là

A. √3 + 2014    B. √3 + 2016    C. 2√3 + 2014    D. 2√3 + 2016

Lời giải:

Đặt t = và tính được F(x) = + C .

F(e) = 2016 ⇒ C = 2014 ⇒ F(x) = + 2014 ⇒ F(1) = √3 + 2014

Đáp án: A

Bài 48: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ln(x + ) thỏa mãn F(0) = 1 . Chọn kết quả đúng

A. F(x) = x.ln(x + ) - + 2    B. F(x) = x.ln(x + ) - - 2

C. F(x) = x.ln(x + ) - + 1    D. F(x) = x.ln(x + ) - .

Lời giải:

Đặt u = ln(x + ) ta được

F(x) = x.ln(x + ) - + C

Vì F(0) = 1 nên C = 2

Vậy F(x) = x.ln(x + ) - + 2 .

Đáp án: A

Bài 49: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = thỏa mãn F(π) = 2017 . Khi đó F(x) là hàm số nào dưới đây?

A. x.tanx + ln|cosx| + 2017    B. x.tanx - ln|cosx| + 2018

C. x.tanx + ln|cosx| + 2016    D. x.tanx - ln|cosx| + 2017 .

Lời giải:

Đặt u = x, dv = dx ta được du = dx, v = tanx

Do đó F(x) = ∫ dx = x.tanx - ∫tanx.dx = x.tanx + ln|cosx| + C .

Vì F(π) = 2017 nên C = 2017 . Vậy F(x) = x.tanx + ln|cosx| + 2017 .

Đáp án: A

Bài 50: Tính F(x) = dx . Chọn kết quả đúng

A. F(x) = tanx + + + C

B. F(x) = tanx - + + C

C. F(x) = tanx + - + C

D. F(x) = tanx - - + C .

Lời giải:

Biến đổi F(x) = + = tanx + I(x)

Tính I(x) bằng cách đặt u = x, dv = dx ta được I(x) = -

Tính - = = ln| | + C

Kết quả F(x) = tanx + + + C

Đáp án: A

Bài 51: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + thỏa mãn điều kiện

F( ) = là

A. F(x) = -cosx + tanx + 1 - √2    B. F(x) = cosx + tanx + √2 - 1

C. F(x) = -cosx + tanx + √2 - 1    D. F(x) = -cosx + tanx .

Lời giải:

Ta có ∫(sinx + )dx = -cosx + tanx + C ⇒ F(x) = -cosx + tanx + C

F( ) = ⇔ C = √2 - 1 .

Vậy F(x) = -cosx + tanx + √2 - 1

Đáp án: C

Bài 52: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2.sin5x + √x + thỏa mãn đồ thị của hai hàm số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là

A. F(x) = - cos5x + x√x + x + 1    B. F(x) = cos5x + x√x + x + 1

C. F(x) = 10cos5x + + x + 1    D. F(x) = - cos5x + x√x + x .

Lời giải:

Ta có F(x) = - cos5x + x√x + x + C

và F(0) = f(0) ⇔ C = 1

Vậy F(x) = - cos5x + x√x + x + 1

Đáp án: A

Bài 53: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2;3) . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (-2;3) . Tính I = (f(x) + 2x)dx , biết F(-1) = 1 , F(2) = 4 .

A. I = 6    B. I = 10    C. I = 3    D. I = 9 .

Lời giải:

Ta có I = (f(x) + 2x)dx = (F(x) + x²) = F(2) - F(-1) + 2² - (-1)² = 6

Đáp án: A

Bài 54: Cho f(x)dx = -5, (f(x) - 2g(x))dx = 9. Tính I = g(x)dx .

A. I = 14    B. I = -14    C. I = 7    D. I = -7 .

Lời giải:

(f(x) - 2g(x))dx = 9 ⇔ f(x)dx - 2g(x)dx = 9 ⇔ f(x)dx - 2 g(x)dx = 9.

⇔ - 5 - 2I = 9 ⇔ I = -7.

Đáp án: D

Bài 55: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn f(x)dx = 7 và f(x)dx = 3 . Tính P = f(x)dx + f(x)dx .

A. P = 10    B. P = 4    C. P = 7    D. P = -4 .

Lời giải:

Ta có: P = f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx - f(x)dx

= f(x)dx - f(x)dx = 7 - 3 = 4

Đáp án: B

Bài 56: Hàm số F(x) = (ax² + bx + c)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x²e^x thì a+b+c bằng:

A. 3    B. 1    C. 3    D. -2 .

Lời giải:

Ta có F'(x) = f(x) ⇔ ax² + (2a + b)x + b + c = x² ⇔

Vậy a + b + c = 1

Đáp án: B

Bài 57: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = a + b.cos2x thỏa mãn

F(0) = ,F( ) = ,F( ) = là

A. F(x) = - x + sin2x    B. F(x) = - x + sin2x +

C. F(x) = - x - sin2x +    D. F(x) = - x + sin2x - .

Lời giải:

Ta có F(x) = ax + sin2x + C và

Vậy F(x) = - x + sin2x +

Đáp án: B

Bài 58: Cho hàm số F(x) = ax³ + bx² + cx + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4. Hàm số F(x) là

A. F(x) = x² - x + 1    B. F(x) = - x² + x + 1

C. F(x) = - x² - x + 1    D. F(x) = x² + x + 1.

Lời giải:

Ta có f(x) = F'(x) = 3ax² + 2bx + c và

Vậy F(x) = x² + x + 1 .

Đáp án: D

Bài 59: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = tanx.sin2x thỏa mãn điều kiện F( ) = 0 là

A. F(x) = x - sin2x + -    B. F(x) = x + cos2x + - 1

C. F(x) = cos³x +    D. F(x) = x + sin2x - .

Lời giải:

Ta có ∫tanx.sin2x.dx = ∫(1 - cos2x)dx = x - sin2x + C ⇒ F(x) = x - sin2x + C

và F( ) = 0 ⇔ C = -

Vậy F(x) = x - sin2x + - .

Đáp án: A

Bài 60: Cho hàm số f(x) = tan²x có nguyên hàm là F(x) . Đồ thị hàm số y = F(x) cắt trục tung tại điểm A(0;2) . Khi đó F(x) là

A. F(x) = tanx - x + 2.    B. F(x) = tanx + 2 .

C. F(x) = tan³x + 2 .    D. F(x) = cotx - x + 2 .

Lời giải:

F(x) = ∫f(x)dx = ∫tan²xdx = tanx - x + C.

Vì đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm A(0;2) nên C = 2 .

Vậy F(x) = tanx - x +2 .

Đáp án: A

Bài 61: Tính các tích phân sau: I =

A.    B.    C.    D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: x = (3x + 1) - (2x + 1) = ( - )( + )

Nên I = ( - )dx = =

Đáp án: B

Bài 62: Tính các tích phân sau J =

A.    B.    C.    D. 3

Lời giải:

Ta có x = ( + )( - )

Nên

= .

Đáp án: C

Bài 63: Tính tích phân sau: |x² - 1|dx

A. 1    B. 2    C. 3    D.4

Lời giải:

= |x² - 1|dx = -(x² - 1)dx + (x² - 1)dx = (x - ) + ( - x)

= 1 - + - 2 - + 1 = 2

Đáp án: B

Bài 64: Tính tích phân sau |sinx|dx

A. 1    B. 1,5    C. 2    D. 2,5

Lời giải:

|sinx|dx = -sinx.dx + sinxdx = cos - cos = 1 - + 1 =

Đáp án: B

Bài 65: Tính tích phân sau

A. 2√2    B. 2√2 - 2    C. 3    D. 1

Lời giải:

= |cosx - sinx|dx = (cosx - sinx)dx + (sinx - cosx)dx

= (sinx + cosx) - (cosx + sinx) = 2√2 - 2

Đáp án: B

Bài 66: Tính tích phân I = |sin2x|dx ta được kết quả :

A. 3    B. 2    C. 1    D. 0

Lời giải:

Nếu ≤ x ≤ ⇔ ≤ 2x ≤ π ⇒ sin2x ≥ 0

Nếu ≤ x ≤ ⇔ π ≤ 2x ≤ ⇒ sin2x ≤ 0

Khi đó: I = |sin2x|dx = sin2x.dx - sin2x.dx

= - cos2x + cos2x = - (-1 - 0) + (0 + 1) = 1

Đáp án: C

Bài 67: Tính tích phân I = |x² - x|dx ta được kết quả I = , khi đó ta có:

A. a = 1    B. a = 2    C. a = 3    D. a = 4

Lời giải:

Nhận xét: từ các đáp án ⇒ a ≥ 1

Cho x² - x = 0 ⇔ ( thỏa mãn)

Ta có bảng xét dấu của x² - x trên đoạn [-1; a]

Khi đó I = (x² - x)dx - (x² - x)dx + (x² - x)dx

=

=

Do I = ⇔ = ⇔ 2a³ - 3a² - 4 = 0 ⇔ (a - 2)(2a² + a + 2) = 0 ⇒ a = 2

Đáp án: B

Bài 68: Tính tích phân I = |x³ + x² - x - 1|dx ta được kết quả I = , khi đó tổng a + b là:

A. 7    B. 3    C. 5    D. 9

Lời giải:

Do x³ + x² - x - 1 = (x - 1)(x + 1)² ≤ 0 , ∀x ∈ [-1;1]

Khi đó I = - (x³ + x² - x - 1)dx = - ( + - - x) =

⇒ a = 4, b = 3 ⇒ a + b = 7

Đáp án: A

Bài 69: Tính tích phân I = ta được kết quả I = a + b.ln2 + c.ln3 ( với a, b, c là các số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức T = 2a³ + 3b - 4c là:

A. T = -20    B. T = 3    C. T = 22    D. T = 6

Lời giải:

Cho , do x ∈ [-2;0] nên x = -1

Khi đó

I =

= = 1 + 4ln2 - 2ln3 ⇒ a = 1, b = 4, c = -2

⇒ T = 2a³ + 3b - 4c = 22

Đáp án: C

Bài 70: Tính tích phân I = x|x - a|dx, a > 0 ta được kết quả I = f(a) . Khi đó tổng

f(8) + f( ) có giá trị bằng:

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

TH1: Nếu a ≥ 1 khi đó

I = - x(x - a)dx = (- + ) = - ⇒ f(8) = - =

TH 2: Nếu 0 < a < 1 khi đó I = - x(x - a)dx + x(x - a)dx

Khi đó f(8) + f( ) = + =

Đáp án: B

Bài 71: Tính tích phân I = |2^x - 2^-x|dx ta được kết quả I = ( với a,b là các số nguyên dương). Khi đó J = |2x - 3|dx có giá trị bằng:

A. J =    B. J = 2.    C. J =    D. J = 3.

Lời giải:

Cho 2^x - 2^-x = 0 ⇔ = 0 ⇔ 2^2x = 1 ⇔ x = 0

Khi đó I = - (2^x - 2^-x)dx + (2^x - 2^-x)dx =

= ⇒ a = 1, b = 2. Khi đó J = |2x - 3|dx = J = |2x - 3|dx =

Đáp án: A

Bài 72: Tính tích phân I = |x + 1|dx .

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Lời giải:

Nhận xét: |x + 1| = Do đó

I = |x + 1|dx = |x + 1|dx + |x + 1|dx = - (x + 1)dx + (x + 1)dx

= -( + x) + ( + x) = 5

Đáp án: D

Bài 73: Biết I = = a + lnb . Chọn đáp án đúng

A. a - b = 0    B. 2a + b = 4    C. a + b = 1    D. ab = 4

Lời giải:

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:

⇒ a + b = 1

Đáp án: C

Bài 74: Tính tích phân I =

A. I =    B. I =    C. I =     D. I = .

Lời giải:

Đặt t = ⇒ t² = 2x + 1 ⇔ x = ⇒ tdt = dx

x = 4 ⇒ t = 3, x = 0 ⇒ t = 1

2x² + 4x + 1 = 2( )² = 4. + 1 =

.

Đáp án: A

Bài 75: Tính tích phân I =

A. I = -    B. I = +    C. I = -    D. I = -

Lời giải:

Đặt x = sint khi đó dx = costdt

Đổi cận: với x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t =

Ta có: I = = (1 - cos2t)dt

= (t - sin2t) = - .

Đáp án: C

Bài 76: Tính tích phân I = .

A. I =    B. I = -    C. I =    D. I = - .

Lời giải:

Đặt u = ⇒ u² = x² + 1 ⇒ udu = xdx

x = 0 ⇒ u = 1 ; x = √3 ⇒ u = 2

= (u² - 1)du = ( - u) = .

Đáp án: C

Bài 77: Tính tích phân: I =

A. + ln    B. - ln    C. ln + ln    D. ln + ln

Lời giải:

Đặt ta suy ra

= + ln

Đáp án: A

Bài 78: Tính tích phân: I = (x - 2)e^{2x + 1}dx

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đặt ta chọn

I = (x - 2)e^{2x + 1} - e^{2x + 1}dx = e - e^{2x + 1} =

Đáp án: B

Bài 79: Tính I =

A. ln4 - 2    B. ln3 - 1    D. ln4 - ln3 + 1    D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: ⇔ 1 = A(x + 1)² + Bx(x + 1) + Cx (*) .

oCách 1 :

(*) ⇔ (A + B)x² + (2A + B + C) + A.

∀x≠{-1;0} ta có hệ sau:

oCách 2:

Cho x = 0 : thay vào (*) ta được: A = 1 .

Cho x = -1 : thay vào (*) ta được: C = -1 .

Với A = 1 và C = -1 , ta cho x = 1 ⇒ B = -1 .

Vậy .

Đáp án: D

Bài 80: Tính tích phân J = (2x² + x + 1)ln(x + 2)dx

A. ln2 -    B. ln2 +    C. ln2 -    D. ln2 +

Lời giải:

Đặt suy ra

J = ( x³ + x² + x)ln(x + 2) -

= - (4x² - 5x + 16 - )dx

= - ( x³ - x² + 16x - 32ln(x + 2))

= ln2 -

Đáp án: C

---