Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)

Bài viết Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số.

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

Ví dụ 1. Tính

Lời giải

Ta có:

Đặt u = 5x - 2 ta có:

Chọn B.

Ví dụ 2. Tính

A. 2ln|x² - x| + C.

B. xln|x² - x| + C.

C. ln|x² - x| + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x² - x khi đó:

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 6. Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 7. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 8. Tính

Lời giải

Đặt t = x + 3 ⇒ x = t - 3 và dx = dt.

Khi đó:

Chọn A.

Ví dụ 9. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 10. Tính

A. 2x - 2ln⁡|x+1| + c.

B. x² + 2ln⁡|x+1| + c.

C. x² - 2ln⁡|x+1| + c.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 11. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 12. Tính

Lời giải

Ta có: x³ + x² - 2x = x(x - 1)(x + 2)

Giả sử:

⇔ 2x² - 5x - 3 = A(x - 1).(x + 2) + B.x.(x + 2) + Cx.(x - 1) (*)

* Phương pháp gán các giá trị đặc biệt vào (*)

Thay x = 0 vào (*) suy ra: 2A = 3 ⇒ A = 3/2

Thay x = 1 vào (*) suy ra: 3B = -6 ⇒ B = -2

Thay x = -2n vào (*) suy ra: 6C = 15 ⇒ C = 5/2

Chọn A.

Ví dụ 13. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

Câu 1: Tính

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tính

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 3: Tính

Lời giải:

Đặt t = x³ ⇒ dt = 3x² dx

Ta có:

Chọn B.

Câu 4: Tính

Lời giải:

Chọn B.

Câu 5: Tính

Lời giải:

Ta có:

Đặt u = x³ - 3x khi đó:

Chọn C.

Câu 6: Tính

Lời giải:

Ta có:

Chọn C.

Câu 7: Tìm nguyên hàm:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 8: Một nguyên hàm của hàm số là:

Lời giải:

Ta có:

Cho C = 0 ta được một nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Chọn A.

Câu 9: Tính

Lời giải:

Ta có:

Do đó:

Chọn D.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Ta có:

Chọn D.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Ta có:

Chọn B.

Câu 12: Tính

Lời giải:

Ta có: x³ - 5x² + 6x = x.(x - 2).(x - 3)

+ Giả sử:

⇔ 5x² - 6x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + Bx.(x - 3) + Cx(x - 2) (*)

Thay x = 0 vào (*) ta được: 1 = 6A ⇒ A = 1/6

Thay x = 2 vào (*) ta được: 9 = -2B ⇒ B = -9/2

Thay x = 3 vào(*) ta được: 28 = 3C ⇒ C = 28/3

Chọn D.

Câu 13: Tính

Lời giải:

Ta có: x³ - 3x + 2 = (x - 1)²(x + 2)

Giả sử:

⇒ 3x² + 3x + 3 = A(x + 2)+ B(x - 1).(x + 2) + C(x - 1)² (*)

+ Gán các giá trị đặc biệt vào (*):

Cho x = 1 ⇒ 3A = 9 nên A = 3

Cho x = -2 ⇒ 9C = 9 nên C = 1

Cho x = 0 ⇒ 3 = 2A - 2B + C ⇒ B = 2

Vậy:

Chọn A.

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ
• Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức
• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số
• Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
• Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

---