Các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 Toán năm 2024 | Tài liệu ôn thi Toán vào 10

Bộ tài liệu Các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 trình bày cấu trúc đề thi, tổng hợp các dạng bài tập hay xuất hiện trong đề thi môn Toán vào lớp 10 của các tỉnh, thành phố với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh củng cố kiến thức, có kế hoạch ôn luyện hiệu quả để đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

- Bộ đề thi vào 10 Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng gồm 8 đề thi CHÍNH THỨC từ năm 2015 → 2023 có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu ôn thi Toán vào 10 Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng:

Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

- Bên cạnh đó là bộ 195 đề luyện thi Toán vào 10 có đầy đủ lời giải chi tiết:

Xem thử Đề ôn vào 10

Quí Thầy/Cô có thể tìm thấy rất nhiều tài liệu ôn vào 10 môn Toán năm 2023 như chuyên đề, bài toán thực tế, bài toán cực trị, ....:

Xem thử Tài liệu ôn vào 10

• Lịch thi vào lớp 10 năm 2024
• Cấu trúc đề thi vào lớp 10 Toán năm 2025
• Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2024 Hà Nội
• Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 TP. Hồ Chí Minh
• Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2024 Đà Nẵng
• Các dạng bài Rút gọn biểu thức ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024
• Các dạng bài Giải phương trình ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024
• Các dạng bài Giải hệ phương trình ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024
• Các dạng bài Giải bất phương trình ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024
• Các dạng bài Đồ thị hàm số ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024
• Các dạng bài Phương trình chứa tham số ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024
• Các dạng toán Hệ thức Vi-et ôn thi vào lớp 10 năm 2024
• Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10 năm 2024
• Các dạng toán thực tế ôn thi vào lớp 10 năm 2024
• Các dạng toán Hình học ôn thi vào lớp 10 năm 2024
• Các dạng Toán nâng cao ôn thi vào lớp 10 năm 2024

Các dạng bài Rút gọn biểu thức ôn thi vào 10 môn Toán

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 Phương pháp

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau

          B1: Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó lưu ý một số kiến thức sau

           xác định ⇔A ≥ 0 (biểu thức A là đa thức)

           xác định ⇔ B ≠ 0 (biểu thức A, B là đa thức)

           xác định ⇔ B > 0 (biểu thức A, B là đa thức)

          B2: Giải điều kiện và kết hợp các điều kiện

          B3: Kết luận

Ví dụ 1

Tìm điều kiện xác định của biểu thức 

Giải

Điều kiện 

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 1

Ví dụ 2

Tìm điều kiện xác định của biểu thức 

Giải

Điều kiện xác định của P là 

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 9

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chứa phân thức đại số

Phương pháp

Bước 1:	Tìm điều kiện xác định.
Bước 2:	Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử.

 Ở bước này ta hay áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như:

          Sử dụng hằng đẳng thức 

          Sử dụng hằng đẳng thức  

         

          Sử dụng hằng đẳng thức 

         

          Sử dụng hằng đẳng thức

         

          Sử dụng hằng đẳng thức 

         

          + Đổi dấu phân thức:

Bước 3:	Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.
Bước 4:	Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn.

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức 

với x > 0, x ≠ 4

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Chú ý: Ví dụ trên đề bài đã cho trước điều kiện của biểu thức nên ta không phải đi tìm. Nếu đề bài chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trước rồi mới rút gọn 

Ví dụ 2

Rút gọn biểu thức 

với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

 Phương pháp

Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị của biểu thức khi x = a (a là số thực)

Cách giải: 

           + Nếu biểu thức P(x) đã rút gọn thì trong biểu thức ta thay x bởi a rồi tính

          + Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn thì ta rút gọn P(x) rồi thay x bởi a và tính

Chú ý: Đôi khi ta cũng phải biến đổi số thực a trước rồi mới thay vào biểu thức P(x)

Ví dụ 1: Cho biểu thức 

với x > 0 

Tính giá trị của P khi x = 4

Giải

Ta thấy x = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi 

x = 4

Khi x = 4 thì 

Vậy khi x = 4 thì      

Ví dụ 2: Cho biểu thức 

 với x > 0 và x ≠ 4. Tính giá trị của P khi 

Giải

Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi

Ta có 

Khi  thì

Vậy khi thì

Dạng 4: Tính giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Phương pháp

Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải: 

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x

          B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Bài toán 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải: 

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x

          B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho với x ≥ 0. Tìm x biết

Giải

Đặt  (t ≥ 0), khi đó phương trình (*) trở thành:

Ta có nên phương trình  có hai nghiệm phân biệt

 (nhận) , (loại)

Với

                              

Ta thấy > 0 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0)

Vậy với thì

Ví dụ 2: Cho với x ≥ 0, x ≠ 4. Tìm x biết P>1

Giải

Vì -1 < 0 nên bất phương trình 

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4 ta có các giá trị x cần tìm là 0 ≤ x < 4  

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

 Phương pháp

TH 1: Nếu ( a là số thực, Q(x) là một biểu thức của x) thì ta làm như sau

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Lập luận để biểu thức  nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải là ước của a. Từ đó tìm x

          B3: Đối chiếu x tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

TH 2: Nếu ( A(x), B(x) là các biểu thức của x trong đó bậc của A(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của B(x)) thì ta làm như sau

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) về dạng

          ( a là số thực)

          B3: Làm tương tự trường hợp 1

Ví dụ 1: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0

Để P nguyên thì là ước của 3, tức là  nhận các giá trị -3, 3, -1, 1

Vậy với x = 0, x = 4 thì biểu thức P nguyên

Ví dụ 2: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0, x ≠ 4

Ta có 

Để P nguyên thì là ước của 4, tức là  nhận các giá trị -4, 4, -1, 1, -2, 2

Vậy với x = 0, x = 1, x = 9, x = 16, x = 36 thì biểu thức P nguyên

Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Phương pháp

Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm như sau

          +B1: Tìm điều kiện xác định của P

          +B2: Rút gọn P nếu cần

          +B3: Chứng minh yêu cầu đề bài đặt ra

 Ví dụ 1

Cho ,

chứng minh rằng

Giải

Ta có 

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1

Rút gọn biểu thức 

         

Ta có 

Vì x ≥ 0 nên do đó . Nhân hai vế của (*) với ta được bất đẳng thức cùng chiều

 

(luôn đúng với mọi x ≥ 0, x ≠ 1)

Vậy với mọi x ≥ 0, x ≠ 1 thì

Ví dụ 2: 

Cho biểu thức

 với 0 < a < 1. 

Chứng minh rằng P = –1

Giải

Với 0 < a < 1 ta có:

Vậy P = -1(ta có điều phải chứng minh)

Dạng 7: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

 Phương pháp

Cách 1: Ta biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm và một hằng số

          - Nếu biến đổi biểu thức về dạng tổng của một biểu thức không âm và một hằng số ta tìm được GTNN 

          - Nếu biến đổi biểu thức về dạng hiệu của một hằng số và một biểu thức không âm ta tìm được GTLN

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

          Cho hai số không âm a và b ta có:

         

          Dấu ‟ = ” xảy ra khi a = b

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

           

 Dấu ‟ = ” xảy ra khi a.b ≥ 0

Ví dụ 1: Cho , tìm GTLN của biểu thức P

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0 

Ta có x ≥ 0

Dấu ‟ = ” xảy ra x = 0

Vậy GTLN của P là 3/2 đạt được khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 2: 

Cho

tìm GTLN của biểu thức Q

Giải

Với  thì

Vậy với  thì

Vì với mọi nên với mọi

với mọi

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 khi x = 0 (thỏa mãn  )

Ví dụ 3: Cho biểu thức , với . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q

Giải

Với , ta có:

Áp dụng Co-si cho hai số dương:  ta có

Dấu “=” xảy ra khi

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 6 đạt được khi x = 9

Các dạng bài Giải phương trình ôn thi vào 10 môn Toán

Dạng 1: Giải phương trình chứa căn thức (phương trình vô tỉ)

1. Giải bằng phương pháp bình phương hai vế

Phương pháp                                                                                

          -B1: Đặt điều kiện cho phương trình

          -B2: Bình phương hai vế thu được phương trình hệ quả

          -B3: Giải phương trình hệ quả, tìm nghiệm

          -B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận

Ví dụ: Giải phương trình

Giải

Điều kiện:

Phương trình

Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (nhận)

Ta thấy x = 18 không thỏa mãn điều kiện (loại)

Vậy phương trình có một nghiệm x = 3

2. Giải bằng cách đưa về phương trình tích

Phương pháp

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình

          -B2: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích bằng việc sử dụng một số đẳng thức sau

          u + v = 1 + uv ⇔(u – 1)(v – 1) = 0

au + bv = ab + uv ⇔(u – b)(v – a) = 0

          -B3: Giải từng phương trình tích tìm nghiệm

          -B4: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện rồi kết luận

Ví dụ: Giải phương trình 

 (1)

Giải

Ta có

⇒Phương trình:

(1)

(dạng u + v = 1 + uv)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = -1

3. Giải bằng cách dùng hằng đẳng thức

Phương pháp         

          - B1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng: (a-b)² hoặc (a+b)² hoặc (a-b)³ hoặc (a+b)³

          -B2: Sử dụng công thức hoặc  để khử dấu căn

          -B3: Giải phương trình và kết luận

Ví dụ: Giải phương trình

Giải

Vì 

nên phương trình đã cho tương đương với

Điều kiện: x ≥ 0

TH1: nếu

 thì phương trình trở thành

⇒phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

TH2: 

thì phương trình trở thành

(không thỏa mãn 4 ≤ x < 9)

⇒loại

TH3:

⇒phương trình vô nghiệm

TH4: 

thì phương trình trở thành

⇒phương trình vô nghiệm 

Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0 

Dạng 2: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn

Phương pháp 

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)

          -B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điều kiện cho ẩn phụ

          Đưa phương trình đã cho về phương trình mới hoàn toàn theo ẩn phụ

          -B3: Giải phương trình mới tìm ẩn phụ

          -B4: Thay giá trị của ẩn phụ vào biểu thức đặt ẩn phụ ở B2 để tìm ẩn ban đầu

          - B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận

Ví dụ: Giải phương trình  (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ = 2 (1)

Giải

Đặt t = x + 2 .

Thay (*) vào phương trình (1) ta được

Với

Với t² = -6 ( phương trình vô nghiệm)  

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x = -2

2. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương pháp 

-B1: Đặt điều kiện cho phương trình (nếu có)

          -B2: Biến đổi phương trình đã cho (nếu cần), đặt ẩn phụ và đưa ra điều kiện cho ẩn phụ

          Đưa phương trình đã cho về phương trình vừa chứa ẩn cũ vừa chứa ẩn phụ

          -B3: Giải phương trình ở bước 2 tìm mối liên hệ giữa ẩn cũ và ẩn phụ 

          -B4: Kết hợp kết quả tìm được ở bước 3 với biểu thức đặt ẩn phụ ở bước 2 để tìm ra ẩn ban đầu

          - B5: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện sau đó kết luận

Ví dụ: Giải phương trình 

 (1)

Giải

Đặt

Phương trình (1) trở thành : 

t² + 5x = (x + 5)t

Với t = 5 (thỏa mãn) thì

Với t = x thì

⇒vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Dạng 3: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình (hệ tạm)

Phương pháp

Nếu phương trình có dạng  mà A – B = α.C ( C có thể là hằng số hoặc là biểu thức của x) thì ta có thể biến đổi  như sau

Phương trình

Khi đó ta có hệ phương trình

Ví dụ: Giải phương trình 

(1)

Giải

Ta có

 ⇒phương trình luôn xác định với mọi x

Điều kiện phải thêm: VP = x + 4 ≥ 0 

Ta thấy

Với x = -4 thì (1) trở thành  (vô lí) x = -4 không là nghiệm của phương trình (1)

Với x ≠ -4 thì nên ta nhân và chia VT(1) với biểu thức

Phương trình 

Khi đó ta có hệ

Ta thấy x = 0, x = 8/7 thỏa mãn x ≠ -4 và thử vào phương trình ban đầu là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = 8/7

Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp

Thực hiện các bước sau:

          Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

          Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

          Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

          Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải phương trình:                                  

Giải

Ta có:

Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt :

 (thỏa mãn điều kiện)

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x₁ = 4, x₂ = -5

Ví dụ 2 : Giải phương trình

 (1)

Giải

Phương trình 

Điều kiện : x ≠ -3 và x ≠ 1

Phương trình

Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện.

 Vậy phương trình vô nghiệm 

Dạng 5: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta tìm cách khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách:

          + Dùng định nghĩa hoặc tính chất của dấu giá tri tuyệt đối 

                   

          + Bình phương hai vế của phương trình

          + Đặt ẩn phụ 

Một số dạng phương trình cơ bản

          + Dạng 1:

          + Dạng 2:

          + Dạng 3: 

          Để giải phương trình này ta thường dùng phương pháp khoảng

Ví dụ: Giải các phương trình sau

       

Giải

a. Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 4, x = -2/3

b. Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x = -1/3

c. Phương trình

Đặt . Khi đó phương trình trở thành  

Với

Với 

Vậy phương trình có 4 nghiệm x = 3, x = -1, x = 4, x = -2

d. Sử dụng định nghĩa dấu giá trị tuyệt đối ta có bảng phá dấu giá trị tuyệt đối sau

VVới x < -3 thì phương trình đã cho trở thành  -2x + 4 =10 -2x = 6x = -3

Ta thấy x = -3 không thỏa mãn điều kiện x < -3 (loại)

Với -3 ≤ x ≤ 7 thì phương trình đã cho trở thành  10 = 10 phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn -3 ≤ x ≤ 7

Với x > 7 thì phương trình đã cho trở thành  2x - 4 =10 2x = 14x = 7

Ta thấy x = 7 không thỏa mãn điều kiện  x > 7 (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

---