(Ôn thi Toán vào 10) Hệ quả của định lí Viète

Trang trước Trang sau

Hệ quả của định lí Viète nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Cho phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} .$

Định lí Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ và $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

Hệ quả 1. Nếu $x = 1$ là một nghiệm của phương trình thì $a + b + c = 0.$

Ngược lại, nếu $a + b + c = 0$ thì $x = 1$ là một nghiệm, nghiệm còn lại là $x = \frac{c}{a} .$

Hệ quả 2. Nếu $x = - 1$ là một nghiệm của phương trình thì $a - b + c = 0.$

Ngược lại, nếu $a - b + c = 0.$ thì $x = - 1$ là một nghiệm, nghiệm còn lại là $x = - \frac{c}{a} .$

Hệ quả 3. Nếu $a$ và $c$ trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Ngược lại, điều kiện để hai nghiệm trái dấu $(x_{1} < 0 < x_{2})$ là $x_{1} x_{2} < 0$ hay $a$ và $c$ trái dấu.

Hệ quả 4. Điều kiện để cả hai nghiệm cùng dấu là $x_{1} x_{2} > 0$ hay $a$ và $c$ cùng dấu.

Hệ quả 5. Điều kiện để cả hai nghiệm đều dương $(x_{1} > 0, x_{2} > 0)$ là: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{1} = - \frac{b}{a} > 0 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} > 0. \end{cases}$

Hệ quả 6. Điều kiện để cả hai nghiệm đều âm $(x_{1} < 0, x_{2} < 0)$ là: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{1} = - \frac{b}{a} < 0 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} < 0. \end{cases}$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 3 m - 7 = 0$ vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 3 m - 7 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ có

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì $Δ^{'} < 0,$ tức là $8 - m < 0$ hay $m > 8.$

Vậy với $m > 8$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2. Xác định tham số $m$ sao cho phương trình: $2 x^{2} - (3 m + 1) x + m^{2} - m - 6 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $2 x^{2} - (3 m + 1) x + m^{2} - m - 6 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn $x .$

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì

$\frac{m^{2} - m - 6}{2} < 0$ hay $(m - 3) (m + 2) < 0$ nên $- 2 < m < 3.$

Vậy với $- 2 < m < 3$ thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện của m để phương trình $(m + 3) x^{2} - (2 m + 1) x + m = 0$ có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải:

Để phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ đều âm thì: (Ôn thi Toán vào 10) Hệ quả của định lí Viète

Xét $(1) : a = m + 3 \neq 0$ nên $m \neq - 3.$

Xét $(2) : Δ \geq 0$ tức là ${(2 m + 1)}^{2} - 4 (m + 3) m \geq 0,$ hay $4 m^{2} + 4 m + 1 - 4 m^{2} - 12 m \geq 0$

Nên $1 - 8 m \geq 0,$ suy ra $m \leq \frac{1}{8} .$

(Ôn thi Toán vào 10) Hệ quả của định lí Viète

Kết hợp 4 điều kiện trên ta được: $m \in \emptyset .$

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm âm.

Dạng 2. So sánh các nghiệm với số $α$ khác 0

Ví dụ 4. Cho phương trình $x^{2} + 2 m x + 4 m - 4 = 0.$ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^{2} + 2 m x + 4 m - 4 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn x có:

$Δ^{'} = m^{2} - (4 m - 4)$ $= m^{2} - 4 m + 4 = {(m - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi $m .$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $Δ^{'} > 0,$ tức là ${(m - 2)}^{2} > 0,$ điều này xảy ra khi ${(m - 2)}^{2} \neq 0$ nên $m - 2 \neq 0$ hay $m \neq 2.$

Cách 1. Sử dụng định lí Viète

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 m \\ x_{1} x_{2} = 4 m - 4 \end{cases}$

Theo bài, $x_{1} < 2, x_{2} < 2$ nên $\{\begin{cases} x_{1} - 2 < 0 \\ x_{2} - 2 < 0 \end{cases}$ suy ra $\{\begin{cases} (x_{1} - 2) + (x_{2} - 2) < 0 & (1) \\ (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) > 0 & (2) \end{cases}$

Xét bất phương trình $(1) : (x_{1} - 2) + (x_{2} - 2) < 0$ hay $(x_{1} + x_{2}) - 4 < 0$

Suy ra $- 2 m - 4 < 0$ hay $m > - 2.$

Xét bất phương trình $(2) : (x_{1} - 2) (x_{2} - 2) > 0$ hay $x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) + 4 > 0$

Suy ra $4 m - 4 - 2 (- 2 m) + 4 > 0$ hay $8 m > 0$ nên $m > 0.$

Từ hai bất phương trình trên ta có kết quả $m > 0.$

Kết hợp điều kiện $m \neq 2$ ta có $m > 0, m \neq 2.$

Vậy $m > 0, m \neq 2.$

Cách 2. Tìm $x_{1}, x_{2}$ dựa vào $Δ^{'}$ là bình phương

Do $Δ^{'} = {(m - 2)}^{2} \geq 0$ với mọi m nên $\sqrt{Δ^{'}} = | m - 2 | .$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x = \frac{- m + (m - 2)}{1}$ $= - 2; x = \frac{- m - (m - 2)}{1} = - 2 m + 2.$

Theo bài, hai nghiệm của phương trình đều nhỏ hơn 2 nên ta có $\{\begin{cases} - 2 < 2 & (l u ô n đ ú n g) \\ - 2 m + 2 < 2 \end{cases}$ hay $2 m > 0$ nên $m > 0.$

Kết hợp điều kiện $m \neq 2$ ta có $m > 0, m \neq 2.$

Vậy $m > 0, m \neq 2.$

Dạng 3. Dạng toán cần có thêm điều kiện phụ của các nghiệm

Ví dụ 5. Cho phương trình $x^{2} - 2 m x + m - 1 = 0.$ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}$ $= 2.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^{2} - 2 m x + m - 1 = 0.$ là phương trình bậc hai ẩn x có:

$Δ^{'} = {(- m)}^{2} - (m - 1)$ $= m^{2} - m + 1 = {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi m

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ với mọi m

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = m - 1 \end{cases}$

⦁ Để tồn tại $\sqrt{x_{1}}, \sqrt{x_{2}}$ thì ta cần có $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$ hay $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} \geq 0 \\ x_{1} x_{2} \geq 0 \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} 2 m \geq 0 \\ m - 1 \geq 0 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} m \geq 0 \\ m \geq 1 \end{cases}$ nên $m \geq 1.$

⦁ Theo bài, $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = 2$ nên ${(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})}^{2} = 4$ hay $x_{1} + x_{2} + 2 \sqrt{x_{1} x_{2}} = 4$

Suy ra $2 m + 2 \sqrt{m - 1} = 4$ nên $2 \sqrt{m - 1} = 4 - 2 m$ hay $\sqrt{m - 1} = 2 - m (*)$

Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là $2 - m \geq 0$ hay $m \leq 2.$

Với $m \leq 2$ bình phương hai vế phương trình $(*)$ ta được:

$m - 1 = {(2 - m)}^{2}$ hay $m^{2} - 5 m + 5 = 0$

Suy ra $m = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ hoặc $m = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

Kết hợp điều kiện $m \leq 2$ và $m \geq 1,$ ta có $m = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} .$

Vậy $m = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} .$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm để phương trình $x^{4} - 6 x^{2} + m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 2. Cho phương trình $x^{2} - (m - 3) x - m + 2 = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình trên có ít nhất một nghiệm không âm.

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học