(Ôn thi Toán vào 10) Định lí Viète và ứng dụng

Định lí Viète và ứng dụng nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Định lí Viète

Nếu $x_1,x_2$là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\end{array}\right.$

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$  (với $S^2-4P\ge 0)$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: $X^2-SX+P=0.$

3. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm

Giải phương trình $a{x}^2+bx+c$ (với $a\ne 0)$ bằng cách nhẩm nghiệm:

⦁ Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x_1=1$ và $x_2=\frac{c}{a}.$

⦁ Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1$ và $x_2=-\frac{c}{a}.$

➣ Chú ý: Nếu nhẩm được: $m+n=\frac{-b}{a}$ và $m\cdot n=\frac{c}{a}$ thì phương trình có hai nghiệm là $m$ và $n.$

4. Một số biến đổi thường gặp

⦁ $x_1^2+x_2^2=\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-2x_1{x}_2$$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2.$

⦁ $x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$$=\left(x_1+x_2\right)\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2\right].$

Hoặc $x_1^3+x_2^3={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1^2{x}_2-3x_1{x}_2^2$$={\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right).$

⦁ $x_1^4+x_2^4={\left(x_1^2\right)}^2+{\left(x_2^2\right)}^2$$={\left(x_1^2+x_2^2\right)}^2-2x_1^2{x}_2^2.$

⦁ $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}.$

⦁  $|x_1-x_2|.$ Xét $|x_1-x_2{|}^2={\left(x_1-x_2\right)}^2$$={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2.$

⦁  $\left|x_1\right|+\left|x_2\right|.$ Xét ${\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)}^2=|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+2\left|x_1\right|\cdot \left|x_2\right|$$=x_1^2+x_2^2+2\left|x_1{x}_2\right|.$

➣ Chú ý:

$|A{|}^2=A^2;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}|}A+B{|}^2$$={\left(A+B\right)}^2;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}|}A-B{|}^2$$={\left(A-B\right)}^2;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}|}A|\cdot |B|$$=\left|AB\right|.$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Nhẩm nghiệm giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1. Phương trình $3x^2+5x-8=0$ có $3+5+\left(-8\right)=0$ nên 1 và $\frac{-8}{3}$ là hai nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2. Phương trình $x^2-5x-6=0$ có $1-\left(-5\right)+\left(-6\right)=0$ nên  -1 và 6 là hai nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm hai nghiệm của phương trình $x^2-5x+6=0$ bằng cách nhẩm nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^2-5x+6=0$  có dạng $a{x}^2+bx+c$  $\left(a\ne 0\right)$ với $a=1;b=-5;c=6.$

Khi đó ta có $-\frac{b}{a}=5$ và  $\frac{c}{a}=6.$

Xét hai số 2 và 3 có $2+3=5$ và $2\cdot 3=6.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $2;3.$

Dạng 2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng với hai nghiệm

Biểu thức dạng đối xứng của các nghiệm là biểu thức mà trong đó nếu thay nghiệm $x_1$ bởi các nghiệm $x_2$ và thay các nghiệm $x_2$ bởi các nghiệm $x_1$ thì biểu thức không thay đổi.

Ví dụ 4. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2+7x-5=0.$ Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức:

a) $A=x_1^3+x_2^3.$

b) $B=x_1{x}_2^4+x_2{x}_1^4.$

c) $C=|x_1^2-x_2^2|.$

Hướng dẫn giải:

Vì $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2+7x-5=0$ nên áp dụng định lí Viète ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-7\\ x_1{x}_2=-5.\end{array}\right.$

a) $A=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$

$=\left(x_1+x_2\right)[\left(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2\right)-3x_1{x}_2]$

$=\left(x_1+x_2\right)[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2]$

$=\left(-7\right)\cdot [{\left(-7\right)}^2-3\cdot \left(-5\right)]$$=-7\cdot \left(49+15\right)$$=-448.$

b) $B=x_1{x}_2^4+x_2{x}_1^4$$=x_1{x}_2\left(x_1^3+x_2^3\right)$$=x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$

$=x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)[{\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2]$

$=-5\cdot \left(-7\right)\cdot [{\left(-7\right)}^2-3\cdot \left(-5\right)]=2240.$

c) $C=|x_1^2-x_2^2|=|x_1-x_2|\cdot |x_1+x_2|.$

Ví dụ 5. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $5x^2-3x-1=0.$ Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

$A={\left(x_1-x_2\right)}^2;$ $B=2x_1^3-3x_1^2{x}_2+2x_2^3-3x_1{x}_2^2;$

$C=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_1}{x_2+1}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2}{x_1+1}-{\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải:

Vì $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $5x^2-3x-1=0$ nên theo định lí Viète ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{3}{5}\\ x_1{x}_2=-\frac{1}{5}.\end{array}\right.$

$A={\left(x_1-x_2\right)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2$$=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-4x_1{x}_2$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2$$={\left(\frac{3}{5}\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{9}{25}+\frac{4}{5}=\frac{29}{25}.$

Dạng 3. Lập phương trình biết tổng và tích hai nghiệm

Ví dụ 6. Cho phương trình $3x^2-11x+6=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2.$ Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_1=x_2+\frac{1}{x_1};y_2=x_1+\frac{1}{x_2}.$

Hướng dẫn giải:

Cách 1.

Xét phương trình $3x^2-11x+6=0$  có $\Delta ={\left(-11\right)}^2-4\cdot 3\cdot 6=121-72=49>0$ và $\sqrt{\Delta }=7.$

Khi đó phương trình có hai nghiệm là $x_1=\frac{11+7}{2\cdot 3}=3;x_2=\frac{11-7}{2\cdot 3}=\frac{2}{3}.$

Suy ra $y_1=x_2+\frac{1}{x_1}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1;y_2=x_1+\frac{1}{x_2}$$=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.$

Do đó $S=y_1+y_2=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}$ và $P=y_1{y}_2=1\cdot \frac{9}{2}=\frac{9}{2}.$

Vậy phương trình cần lập có dạng: $y^2-Sy+P=0$ hay $y^2-\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=0.$

Cách 2. Xét phương trình $3x^2-11x+6=0$  có hai nghiệm $x_1,x_2,$ theo định lí Viète ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{11}{3}\\ x_1{x}_2=2.\end{array}\right.$

Với $y_1=x_2+\frac{1}{x_1}$ và $y_2=x_1+\frac{1}{x_2},$ ta có:

⦁ $S=y_1+y_2=x_2+\frac{1}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_2}$$=x_1+x_2+\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$$=\frac{11}{3}+\frac{\frac{11}{3}}{2}=\frac{11}{2};$

⦁ $P=y_1{y}_2=\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)$$=x_1{x}_2+1+1+\frac{1}{x_1{x}_2}$$=2+\frac{1}{2}+1+1=\frac{9}{2}.$

Vậy phương trình cần lập có dạng: $y^2-Sy+P=0$ hay $y^2-\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=0.$

Dạng 4. Tìm tham số $m$ để phương trình nhận $x_1=a$ làm nghiệm và tìm nghiệm còn lại

Ví dụ 7. Phương trình $x^2-2px+5=0$ có một nghiệm bằng 2, tìm $p$ và nghiệm còn lại của phương trình.

Hướng dẫn giải:

Vì phương trình $x^2-2px+5=0$ có một nghiệm bằng 2 nên thay $x=2$ vào phương trình ta được: $2^2-2\cdot p\cdot 2+5=0,$  suy ra $p=\frac{9}{4}.$

Với $p=\frac{9}{4}$ phương trình đã cho trở thành $x^2-\frac{9}{2}x+5=0.$

Giả sử phương trình có hai nghiệm $x_1=2$ và $x_2.$

Theo định lí Viète ta có $x_1+x_2=\frac{9}{2},$  suy ra $x_2=\frac{9}{2}-x_1=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}.$

Dạng 5. Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn một biểu thức đối xứng

Ví dụ 8. Cho phương trình $x^2-2\left(m+3\right)x+m^2+3=0.$ Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)=9.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^2-2\left(m+3\right)x+m^2+3=0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ có:

${\Delta }^{\text{'}}={[-\left(m+3\right)]}^2-1\cdot \left(m^2+3\right)$$=m^2+6m+9-m^2-3=6m+6.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\text{'}}>0,$ hay $6m+6>0,$ tức là $m>-1.$

Khi đó, theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+3\right)\\ x_1{x}_2=m^2+3.\end{array}\right.$

Theo bài, từ $\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)=9$ ta có $4x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+1=9.$

Thay $x_1+x_2=2\left(m+3\right)$ và $x_1{x}_2=m^2+3$ vào biểu thức trên, ta được:

$4\left(m^2+3\right)-2\cdot 2\left(m+3\right)+1=9$

$4m^2-4m-8=0$

$m^2-m-2=0$

$\left(m+1\right)\left(m-2\right)=0$

Suy ra $m+1=0$ hoặc $m-2=0$

$m=-1$ (không thỏa mãn $m>-1)$ hoặc $m=2$ (thỏa mãn).

Vậy $m=2$

Dạng 6. Kết hợp định lí Viète để giải các nghiệm theo tham số

Ví dụ 9. Cho phương trình $x^2-4x-m^2-1=0.$ Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $x_2=-5x_1.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^2-4x-m^2-1=0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ có:

${\Delta }^{\text{'}}={\left(-2\right)}^2-1\cdot \left(-m^2-1\right)$$=4+m^2+1=m^2+5>0$ với mọi $m.$

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2=4& \left(1\right)\\ x_1{x}_2=-m^2-1& \left(2\right)\end{array}\right.$

Theo bài, $x_2=-5x_1,$ thay vào $\left(1\right)$ ta được:

$x_1+\left(-5x_1\right)=4$ hay $-4x_1=4$ nên $x_1=-1.$

Từ đó suy ra $x_2=-5x_1=-5\cdot \left(-1\right)=5.$

Thay  $x_1=-1$ và $x_2=5$ vào $\left(2\right)$ ta được:

$\left(-1\right)\cdot 5=-m^2-1$ hay $m^2=4$ nên $m=2$   hoặc $m=-2.$

Vậy $m\in \{2;-2\}.$

Dạng 7. Giải các nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số dựa vào $\Delta ,{\Delta }^{\text{'}}$ là bình phương

Ví dụ 10. Cho phương trình $x^2-2\left(m+1\right)x+4m=0.$ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $x_1=-3x_2.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^2-2\left(m+1\right)x+4m=0$ là phương trình bậc hai ẩn x có:

${\Delta }^{\text{'}}={[-\left(m+1\right)]}^2-1\cdot 4m$$=m^2+2m+1-4m$$={\left(m-1\right)}^2\ge 0$ với mọi m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì ${\Delta }^{\text{'}}>0,$ hay ${\left(m-1\right)}^2>0,$ điều này xảy ra khi ${\left(m-1\right)}^2\ne 0,$ suy ra $m-1\ne 0$ hay $m\ne 1.$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x=\frac{m+1+m-1}{1}=2m$ và $x=\frac{m+1-\left(m-1\right)}{1}=2.$

Trường hợp 1. Xét  $x_1=2m$ và $x_2=2,$ thay vào $x_1=-3x_2,$ ta được:

$2m=-3\cdot 2,$ suy ra  $m=-3$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét $x_1=2$ và $x_2=2m,$ thay vào $x_1=-3x_2,$ ta được:

$2=-3\cdot 2m,$ suy ra $m=-\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

Vậy $m\in \{-3;-\frac{1}{3}\}$

Dạng 8. Tính  $x_1^2$ theo  $x_1$ và $x_2^2$ theo $x_2$ dựa vào phương trình $a{x}^2+bx+c=0$

Ví dụ 11. Cho phương trình $x^2-2x+m-3=0.$ Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ sao cho $x_1^2+x_1{x}_2=2x_2-12.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^2-2x+m-3=0$ là phương trình bậc hai ẩn x có:

${\Delta }^{\text{'}}={\left(-1\right)}^2-1\cdot \left(m-3\right)$$=1-m+3=4-m.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì ${\Delta }^{\text{'}}>0,$ tức là $4-m>0,$ hay $m<4.$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2=2& \left(1\right)\\ x_1{x}_2=m-3& \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\left(2\right)\end{array}\right.$

Do $x_1$ là nghiệm của phương trình nên ta có: $x_1^2-2x_1+m-3=0,$ suy ra $x_1^2=2x_1-m+3.$

Thay $x_1^2=2x_1-m+3$ vào biểu thức $x_1^2+x_1{x}_2=2x_2-12,$ ta được:

$2x_1-m+3+x_1{x}_2=2x_2-12$

$2\left(x_1-x_2\right)=-x_1{x}_2+m-15$

$2\left(x_1-x_2\right)=-\left(m-3\right)+m-15$

$2\left(x_1-x_2\right)=-12$

$x_1-x_2=-6$

$x_2=x_1+6.$

Thay $x_2=x_1+6$ vào $\left(1\right)$ ta được: $x_1+x_1+6=2$ hay $2x_1=-4$ nên $x_1=-2.$

Suy ra $x_2=x_1+6=-2+6=4.$

Thay $x_1=-2$ và $x_2=4$ vào $\left(2\right)$ ta được: $-2\cdot 4=m-3\iff m=-5$ (thõa mãn).

Vậy $m=-5.$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Biết phương trình $x^2+\frac{5}{6}x-\frac{1}{2}=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2.$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $M=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2};$

b)  $N=\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2};$

c) $P=\left(x_1+\frac{2}{x_1}\right)+\left(x_2+\frac{2}{x_2}\right).$

Bài 2. Cho phương trình $x^2-12x+4=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1;x_2.$ Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $T=\frac{x_1^2+x_2^2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}.$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Phương trình bậc hai

• (Ôn thi Toán vào 10) Hệ quả của định lí Viète

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---