(Ôn thi Toán vào 10) Phương trình bậc hai

Trang trước Trang sau

Phương trình bậc hai nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng $a x^{2} + b x + c = 0,$ trong đó $x$ là ẩn số; $a, b, c$ là các hệ số và $a \neq 0.$

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ và biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c .$

⦁ Nếu $Δ > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}; x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} .$

⦁ Nếu $Δ = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a} .$

⦁ Nếu $Δ < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

➣ Chú ý: Nếu phương trình có $a$ và $c$ trái dấu thì $Δ > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt và trái dấu.

3. Công thức thu gọn

Xét phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ với $b = 2 b^{'}$ và biệt thức $Δ^{'} = {b^{'}}^{2} - a c .$

⦁ Nếu $Δ^{'} > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1} = \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a}; x_{2} = \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a} .$

⦁ Nếu $Δ^{'} = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{- b^{'}}{a} .$

⦁ Nếu $Δ^{'} < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Giải phương trình bậc hai bằng cách đưa về phương trình tích

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách hạng tử, thêm – bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, …) để phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình bậc hai về phương trình tích.

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^{2} + 6 x - 7 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình: $x^{2} + 6 x - 7 = 0$

$x^{2} - x + 7 x - 7 = 0$

$x (x - 1) + 7 (x - 1) = 0$

$(x - 1) (x + 7) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $x + 7 = 0$

$x = 1$ hoặc $x = - 7.$

Vậy phương trình có nghiệm $x \in {1; - 7} .$

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^{2} + \frac{1}{2} x - 5 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình: $x^{2} + \frac{1}{2} x - 5 = 0.$

$2 x^{2} + x - 10 = 0$

$2 x^{2} - 4 x + 5 x - 10 = 0$

$2 x (x - 2) + 5 (x - 2) = 0$

$(x - 2) (2 x + 5) = 0$

$x - 2 = 0$ hoặc $2 x + 5 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = - \frac{5}{2} .$

Vậy phương trình có nghiệm $x \in {2; - \frac{5}{2}} .$

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai bằng cách đưa về phương trình mà vế trái là một bình phương, còn vế phải là một hằng số

Ví dụ 3. Giải phương trình $x^{2} + 6 x - 7 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình bằng cách đưa vế trái về dạng một bình phương:

$x^{2} + 6 x - 7 = 0$

$x^{2} + 6 x + 9 = 7 + 9$

${(x + 3)}^{2} = 16$

$x + 3 = 4$ hoặc $x + 3 = - 4$

$x = 1$ hoặc $x = - 7.$

Vậy phương trình có nghiệm $x \in {1; - 7} .$

Ví dụ 4. Giải phương trình $x^{2} - x - 9 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình bằng cách đưa vế trái về dạng một bình phương:

$x^{2} - x - 9 = 0$

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 9 + \frac{1}{4}$

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{37}{4}$

$x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{37}}{2}$ hoặc $x - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{37}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{1}{2}$ hoặc $x = - \frac{\sqrt{37}}{2} + \frac{1}{2}$

$x = \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$ hoặc $x = \frac{1 - \sqrt{37}}{2} .$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x \in {\frac{1 + \sqrt{37}}{2}; \frac{1 - \sqrt{37}}{2}} .$

Dạng 3. Giải phương trình bậc hai theo công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) đã được trình bày trong mục 2 và 3 của KIẾN THỨC TRỌNG TÂM để giải phương trình bậc hai.

Ví dụ 5. Giải phương trình $6 x^{2} + x + 5 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $6 x^{2} + x + 5 = 0$ có:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 6 = - 119 < 0.$

Vì $Δ < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 6. Giải phương trình $2 x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{32} = 0.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $2 x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{32} = 0$ có: $Δ = {(- \frac{1}{2})}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0.$

Vì $Δ = 0$ nên phương trình có nghiệm kép: $x_{1} = x_{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 2} = \frac{1}{8} .$

Ví dụ 7. Giải phương trình $x^{2} - 2 \sqrt{2} x - 2 \sqrt{2} - 1 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Xét phương trình $x^{2} - 2 \sqrt{2} x - 2 \sqrt{2} - 1 = 0$ có:

$Δ^{'} = {(- \sqrt{2})}^{2} - 1 \cdot (- 2 \sqrt{2} - 1)$ $= 2 + 2 \sqrt{2} + 1$ $= {(\sqrt{2} + 1)}^{2} .$

Vì $Δ > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2} - 1}{1} = - 1; x_{2}$ $= \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}{1}$ $= 2 \sqrt{2} + 1.$

Dạng 4. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng máy tính cầm tay (Chẳng hạn máy tính Casio 570VN Plus)

Ví dụ 8. Giải phương trình bậc hai sau bằng máy tính cầm tay (chẳng hạn máy tính Casio 570VN Plus): $x^{2} + 6 x - 7 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Vậy phương trình $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ có hai nghiệm $x_{1} = 1; x_{2} = - 7.$

Ví dụ 9. Giải phương trình bậc hai sau bằng máy tính cầm tay (chẳng hạn máy tính Casio 570VN Plus): $x^{2} - \sqrt{2} x - 1 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Vậy phương trình $x^{2} - \sqrt{2} x - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2};$ $x_{2} = \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} .$

Dạng 5. Một số bài toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc hai; nghiệm chung của các phương trình bậc hai

Ví dụ 11. Cho $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình $b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} = 0$ vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Vì $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác nên $a, b, c \neq 0$ và $a + b + c > 0.$

Xét phương trình $b^{2} x^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) x + c^{2} = 0$ là phương trình bậc hai có:

(Ôn thi Toán vào 10) Phương trình bậc hai

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: $b - c < a < b + c$ và $a + b > c$

Suy ra $b - c - a < 0; b + c - a > 0$ và $a + b - c > 0.$

Do đó $(b - c - a) (b - c + a) (b + c - a) (b + c + a) < 0$

Hay $Δ < 0,$ từ đó suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 12. Cho hai phương trình $x^{2} + a x + b = 0$ và $x^{2} + c x + d = 0.$ Chứng minh rằng nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì ${(b - d)}^{2} + (a - c) (a d - b c) = 0.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $x_{0}$ là nghiệm của chung của hai phương trình đã cho.

Khi đó $x_{0}^{2} + a x_{0} + b = 0 (1)$ và $x_{0}^{2} + c x_{0} + d = 0 (2) .$

Trừ vế theo vế của $(1)$ cho $(2)$ ta được: $(a - c) x_{0} = d - b (*) .$

⦁ Nếu $a = c$ thì để $(*)$ có nghiệm $x_{0}$ ta phải có $d - b = 0,$ tức là $b = d .$

Khi đó ${(b - d)}^{2} + (a - c) (a d - b c)$ $= {(b - b)}^{2} + (a - a) (a b - a b)$ $= 0.$

⦁ Nếu $a \neq c$ thì $x_{0} = \frac{d - b}{a - c},$ thay vào phương trình $(1)$ ta được:

${(\frac{d - b}{a - c})}^{2} + a \cdot \frac{d - b}{a - c} + b = 0$

${(d - b)}^{2} + (a d - a b) (a - c) + b {(a - c)}^{2} = 0$

${(b - d)}^{2} + (a - c) (a d - a b + a b - b c) = 0$

${(b - d)}^{2} + (a - c) (a d - b c) = 0.$

Vậy nếu hai phương trình đã cho có nghiệm chung thì ${(b - d)}^{2} + (a - c) (a d - b c) = 0.$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải phương trình các phương trình sau bằng cách dùng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn):

a) $x^{2} + 6 x - 5 = 0.$

b) $x^{2} + 2 x - 8 = 0.$

c) $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 6 = 0.$

Bài 2. Cho phương trình $x^{2} + (a + b + c) x + (a b + b c + c a) = 0$ với $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên vô nghiệm.

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học