Bộ Đề thi vào lớp 10 Toán Hà Nội 2024 (có đáp án)

---

---

Để giành được điểm cao trong các bài thi môn Toán vào lớp 10 Hà Nội năm 2023-2024, dưới đây là các đề thi thử vào lớp 10 môn Toán có đáp án. Bạn vào tên đề thi hoặc Xem đề thi để tham khảo đề thi vào 10 môn Toán và phần đáp án tương ứng.

Bộ Đề thi vào lớp 10 Toán Hà Nội 2024 (có đáp án)

Bộ đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội gồm 8 đề thi CHÍNH THỨC từ năm 2015 → 2023 có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu ôn thi Toán vào 10 Hà Nội:

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

• Đề minh họa Toán vào lớp 10 Hà Nội 2025
• Đề chính thức vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2024
• Đề minh họa vào 10 Toán Hà Nội 2024
• Đề chính thức vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2023
• Cấu trúc đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2024 Hà Nội

• Đề thi Toán vào 10 Hà Nội năm 2022

• Đề thi Toán vào 10 Hà Nội năm 2021

• Đề thi Toán vào 10 Hà Nội năm 2020

• Đề thi vào lớp 10 môn Toán Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 1)

• Đề thi vào lớp 10 môn Toán Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 2)

• Đề thi vào lớp 10 môn Toán Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 3)

• Đề thi vào lớp 10 môn Toán Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 4)

• Bộ Đề thi thử vào 10 môn Toán năm 2024 (cả nước)
• Bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 có đáp án (Trắc nghiệm - Tự luận)

• Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Hà Nội năm 2009-2010

• Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Sư phạm năm 2016

Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Năm học 2022

Môn thi: Toán (hệ Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\frac{x+4}{x-4}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với $x\ge 0,x\ne 4$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.

3) Tìm số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn $A-B<\frac{3}{2}$.

Bài II (2,0 điểm)

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ địa điểm $A$ và đi đến địa điểm $B$. Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h nên ô tô đến $B$ sớm hơn xe máy 30 phút. Biết quãng đường $AB$ dài 60km, tính vận tốc của mỗi xe. (Giả định rằng vận tốc mỗi xe là không đổi trên toàn bộ quãng đường $AB$.)

2) Quả bóng đá thường được sử dụng trong các trận thi đấu dành cho trẻ em từ 6 tuổi đến 8 tuổi có dạng một hình cầu với bán kính bằng 9,5cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng đó (lấy $\pi \approx 3,14$).

Bài III (2,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình: $\left\{\frac{2x +\frac{12}{y+2}=5}{3x-\frac{4}{y + 2}=2}\right.$.

2) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left(P\right) : y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right) :y=2x+m^2$.

a) Chứng minh $\left(d\right)$ luôn cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả giá trị của $m$ để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1 , x_2$ thỏa mãn $(x_1+1)(x_2+1)=-3$>.

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại đỉnh $A$. Gọi $E$ là một điểm bất kỳ trên tia $CA$ sao cho điểm $A$ nằm giữa hai điểm $C$ và $E$. Gọi $M$ và $H$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến các đường thẳng $BC$ và $BE$.

1) Chứng minh tứ giác $AMBH$ là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh $BC.BM = BH.BE$ và $HM$ là tia phân giác của góc $AHB$.

3) Lấy điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AN$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $EN$ và $AB$. Chứng minh ba điểm $H , K , M$ là ba điểm thẳng hàng.

Bài V (0,5 điểm)

Với các số thực không âm $x$ và $y$ thỏa mãn $x^2 + y^2 = 4$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2y$.

…………… Hết ……………

Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Năm học 2021

Môn thi: Toán (hệ Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+9}{x-9}$ với $x\ge 0,x\ne 9.$

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$

2) Chứng minh $A+B=\frac{3}{\sqrt{x}+3}.$ 

Bài II (2,5 điểm)

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm xong $4800$ bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó làm được nhiều hơn $100$ bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế $8$ ngày trước khi hết hạn, tổ sản xuất đã làm xong $4800$ bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.)

2) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao $1,6m$ và bán kính đáy $0,5m$ . Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy $\pi \approx 3,14$).

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{x + 1}- 2y = -1\\ \frac{5}{x + 1}+3y = 11\end{array}\right.$

2) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2x+m-2$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $|x_1-x_2|=2$.

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Vẽ đường tròn tâm $C$, bán kính $CA$. Từ điểm $B$ kẻ tiếp tuyến $BM$ với đường tròn $(C;CA)$ ($M$ là tiếp điểm, $M$ và $A$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$).

1) Chứng minh bốn điểm $A , C , M$ và $B$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $AB$ ($N$ khác $A$, $N$ khác $B$). Lấy điểm $P$ thuộc tia đối của tia $MB$ sao cho $MP = AN$. Chứng minh tam giác $CPN$ là tam giác cân và đường thẳng $AM$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $NP$.

Bài V (0,5 điểm)

Với các số thực $a$ và $b$ thỏa mãn $a^2+b^2=2$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3(a+b)+ab$.

…………… Hết ……………

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Môn thi: Toán (hệ Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức

(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 )

a) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 9

b) Rút gọn biểu thức N

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai người cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.

Bài 3: (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Cho phương trình x² + (m + 2)x + 2m = 0 (*)

a) Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E.

1) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp

2) Chứng minh AC. AD = 4R²

3) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF

Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình:

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm √x + 3 và ta được:

Dấu bằng xảy ra khi:

√x + 3 = ⇔ (√x + 3)² = 25 ⇔ √x + 3 = 5 (do √x + 3 > 0)

⇔ √x = 2 ⇔ x = 4

Vậy GTNN của P = 16, đạt được khi x = 4

Bài 2:

Đổi 7 giờ 12 phút =

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ)

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ)

=> Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được công việc

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được công việc

Cả 2 người làm chung thì làm xong trong 7 giờ 12 phút nên ta có phương trình:

Người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai là 6 giờ nên ta có phương trình:

x - y = 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải phương trình (*):

Đối chiếu với ĐK thì y = 12 => x = y + 6 = 18

Vậy người thứ nhất làm 1 mình thì hoàn thành công việc trong 18 giờ

Người thứ hai làm 1 mình thì hoàn thành công việc trong 12 giờ.

Bài 3:

Khi đó hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) =

2)x² + (m + 2)x + 2m = 0 (*)

a)Δ = (m + 2)² - 4.2m = m² + 4m + 4 - 8m = (m - 2)² ≥ 0 ∀m

=> phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m

b) Theo hệ thức Vi- ét, ta có:

=> 2(x₁ + x₂ ) + x₁.x₂ = -2(m + 2) + 2m = -4

Vậy 2(x₁ + x₂ ) + x₁.x₂ = -4 là hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

Bài 4:

a) M là giao điểm của 2 tiếp tuyến MC và MA

=> MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC =>MO ⊥ AC

Xét tứ giác OBDE có:

∠OED = 90^o (MO ⊥ AC)

∠OBD = 90^o (BD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠OED + ∠OBD = 180^o

=> Tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp

b) Xét tam giác ABD vuông tại D có BC là đường cao

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: AC.AD = AB² = (2R)² = 4R²

Vậy AC.AD = 4R²

c) 2 tiếp tuyến MC và Ma cắt nhau tại M

=> OM là tia phân giác của ∠COA => ∠COM =

2 tiếp tuyến CF và FB cắt nhau tại F

=> OF là tia phân giác của ∠COB => ∠COF =

Khi đó:

Tam giác MOF vuông tại O

=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF

Tam giác MIO cân tại I => ∠IOM = ∠IMO

Mặt khác ta có: ∠AMO = ∠IMO (do MO là tia phân giác ∠AMI )

=> ∠AMO = ∠IOM (1)

Tam giác MAO vuông tại A => ∠AMO + ∠AOM = 90^o(2)

Từ (1) và (2) => ∠IOM + ∠AOM =90^o ⇔ ∠AOI = 90^o hay AO ⊥ OI

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF

Bài 5:

ĐKXĐ: x ≥ 2

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: a = - a² + 2

⇔ a² + a - 2 = 0

⇔ a = 1; a = -2

Do a < 0 nên a = - 2

Với a = -2, ta có:

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Môn thi: Toán (hệ Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho các biểu thức:

với x ≥ 0; x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x sao cho P = 3

c) Đặt M = P : Q. Tìm x để |M| <

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể?

Bài 3: (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho hai hàm số: y = 2x – 1 và y = + 4

a) Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hai hàm số trên

b) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của hai đồ thị trên với trục Oy. Tính diện tích ΔMNP

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn (M ≠ A, B) . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AN ở D.

a) Chứng minh: 4 điểm A, D, M , O cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: OD // BM và suy ra D là trung điểm của AN

c) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BM cắt tia DM ở E. Chứng minh: BE là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R)

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm của AI và BD là J. Khi điểm M di động trên (O ; R) thì J chạy trên đường nào?

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a² + 4a + 15 +

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

Vậy với thì P = 3

Vậy với mọi x thỏa mãn điều kiện x ≥ 0;x ≠ 9 thì |M| <

Bài 2:

Đổi 1 giờ 12' =

Gọi thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h)

Thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là y (h)

Trong 1h vòi thứ nhất chảy được (bể nước)

Trong 1h vòi thứ hai chảy được (bể nước)

=> Trong 1h cả hai vòi chảy được (bể nước)

Do cả 2 vòi chảy trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể nên ta có phương trình:

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được bể nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 2 giờ thì đầy bể

Vòi 2 chảy 1 mình trong 3 giờ thì đầy bể.

Bài 3:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (6; 8)

2) Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là M (2; 3)

Gọi N là giao điểm của đường thẳng y = 2x – 1 với Oy => N (0; -1)

Gọi P là giao điểm của đường thẳng y = + 4 với Oy => P (0; 4)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của M trên Oy

=> EM ⊥ PN; EM = 2

Ta có PN = |y_P | + |y_N| = 5

S_PMN = EM.PN = .2.5 = 5 (đơn vị diện tích)

Bài 4:

a) Xét tứ giác ADMO có:

∠DMO =90^o (do M là tiếp tuyến của (O))

∠DAO =90^o (do AD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠DMO + ∠DAO = 180^o

=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.

b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM

=>(AOD = ∠AOM

Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM

=> ∠ABM = ∠AOM

=> ∠AOD = ∠ABM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> OD // BM

Xét tam giác ABN có:

OM// BM; O là trung điểm của AB

=> D là trung điểm của AN

c) Ta có: ΔOBM cân tại O; OE ⊥ MB => OE là đường trung trực của MB

=> EM = EB = > ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠EBM (1)

ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:

∠EMB + ∠OMB = ∠EBM + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EBO ⇔ ∠EBO = 90^o

=>OB ⊥ BE

Vậy BE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE =

Xét tam giác ABI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> Tam giác ABI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB

Ta có:

=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN

Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB

=> IA là trung tuyến của tam giác NAB

Xét ΔBNA có:

IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}

=> J là trọng tâm của tam giác BNA

Xét tam giác AIO có:

=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.

Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d

Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:

AI là trung tuyến của tam giác NAB

=> J' là trọng tâm tam giác NAB

Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.

Bài 5:

Với a > 0, ta có:

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Môn thi: Toán (hệ Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 - 2√2

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A : B

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày. Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày. Tính thời gian và số sản phẩm phải làm theo kế hoạch.

Bài 3: (2 điểm)

1) Giải phương trình 2x⁴ + x² - 6 = 0

2) Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 2

a) Với m = -1 : vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho x₁ - 2x₂ = 5

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M; N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp

b) Chứng minh MK.MN = MI.MC

c) Chứng minh tứ giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi.

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Ta có x = 3 - 2√2 = 2 - 2√2.1 + 1 = (√2 - 1)²

⇒ √x = √(√2 - 1)² = |√2 - 1| = √2 - 1 (vì √2 > 1)

Thay √x = √2 - 1 vào biểu thức A ta được:

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương 1 + √x và

Dấu bằng xảy ra khi:

⇔ 1 + √x = √3 (do 1 + √x > 0)

⇔ √x = √3 - 1 ⇔ x = 4 - 2√3

Vậy GTNN của P là 2√3 - 4 đạt được khi x = 4 - 2√3

Bài 2:

Gọi số sản phẩm cần làm theo dự định trong một ngày là x (sản phẩm/ ngày) ( x > 5)

Thời gian dự định làm là y (ngày) (y > 4)

=> Số sản phẩm cần làm là xy ( sản phẩm)

Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày nên ta có phương trình:

(x + 5)(y - 4) = xy ⇔ -4x + 5y = 20 (1)

Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày nên ta có phương trình:

(x - 5)(y + 5) = xy ⇔ 5x - 5y = 25 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Khi đó số sản phẩm cần làm là: x.y = 45.40 = 1800 (sản phẩm)

Vậy số sản phẩm cần làm là 1800 sản phẩm

Số ngày dự định làm là 40 ngày.

Bài 3:

1) 2x⁴ + x² - 6 = 0

Đặt x² = t ( t ≥ 0), phương trình trở thành:

2t² + t - 6 = 0

Δ = 1-4.2.(-6) = 49

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Do t ≥ 0 nên t =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

2) a) Với m = -1, (d): y = - x + 2

(P): y = x²

Bảng giá trị:

x	-2	-1	0	1	2
y = x2	4	1	0	1	4

Đồ thị (P): y = x² là 1 đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0;0) làm đỉnh

y = - x + 2

Bảng giá trị:

x	0	2
y = -x + 2	2	0

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = -x + 2 ⇔ x² + x - 2 = 0

=> Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = - 2

Khi đó tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1) và (-2; 4)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = mx + 2 ⇔ x² - mx - 2 = 0

Δ = m² - 4.(-2) = m² + 8 > 0 ∀m

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Theo bài ra: x₁ - 2x₂ = 5 ⇔ x₁ = 2x₂ + 5

=> (2x₂ + 5) x₂ = -2 ⇔ 2x₂² + 5x₂ + 2 = 0

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài là m = -1 ;

Bài 4:

a) Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => => MN.MK = MC.MI

c) Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = 180^o (1)

Xét đường tròn (O) có:

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180^o (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi.

Bài 5:

2b ≥ ab + 4 ≥ 4√ab ( Theo BDT Cosi)

Vậy GTLN của P là khi .

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Môn thi: Toán (hệ Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

Với x ≥ 0, x ≠ 4,

a. Tính giá trị của A khi x = 9

b. Chứng minh

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A.B

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 46m. Nếu tăng chiều rộng thêm 4m và giảm chiều dài đi 20% chiều dài ban đầu thì mảnh đất đó trở thành hình vuông. Tính diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật đó.

Bài 3: (2 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Cho hệ phương trình:

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x² + y² < 5.

Bài 4: (3,5 điểm) Cho điểm C nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến CA, CB với đường tròn (O) (A, B là tiếp điểm).

a) Chứng minh 4 điểm C, A, O, B cùng thuộc một đường tròn

b) Vẽ dây AD // CO. CD cắt (O) tại E. Gọi giao điểm AE với CO là F. Chứng minh ECF = CAF và CF² = FE.FA

c) AB cắt CO tại H. Chứng minh ∠HEB = ∠CEF

d) Khi OC = 2R. Tính FO theo R.

Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình sau:

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Khi x =9 ta có:

Biểu thức P đạt GTLN khi và chỉ khi:

đạt GTLN ⇔ √x + 3 đạt GTNN

⇔ √x = 0 ⇔ x = 0

Khi đó GTLN của P là:

Vậy GTLN của P là đạt được khi x = 0

Bài 2:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 23)

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là y (m) (0 < y < x < 23)

Chu vi hình chữ nhật là 46 m nên ta có phương trình

2(x + y) = 46 ⇔ x + y = 23

Nếu tăng chiều rộng 4m và giảm chiều dài đi 20% thì mảnh đất đó trở thành hình vuông nên ta có phương trình

Ta có hệ phương trình:

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 15m

Chiều rộng của hình chữ nhật là 8m

Bài 3:

Đặt (a ≠ 0), hệ phương trình trở thành:

Với a = 1, ta có:

⇔ √y - 2 = 1 ⇔ √y = 3 ⇔ y = 9

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 9)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

Khi đó:

Theo bài ra:

⇔ 9m² - 6m + 5 < 5m² + 10m + 5

⇔ 4m² - 16m < 0

⇔ 4m(m - 4) < 0

Đối chiếu điều kiện, m ≠ -1 thỏa mãn

Vậy với 0 < m < 4 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4:

a) Xét tứ giác CAOB có:

∠CAO = 90^o (AC là tiếp tuyến của (O))

∠CBO = 90^o (BC là tiếp tuyến của (O))

=> ∠CAO + ∠CBO = 180^o

=> Tứ giác BCAO là tứ giác nội tiếp

b) Xét đường tròn (O) có:

∠CAF = ∠ADE (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Lại có: ∠ECF = ∠ADE (CO // AD; hai góc so le trong)

=> ∠CAF = ∠ECF

Xét ΔCFA và ΔEFC có:

∠CAF = ∠ECF

∠CFA là góc chung

=> ΔCFA ∼ ΔEFC

=> CF² = FE.FA

c) Ta có:

∠CAF = ∠EBA (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Lại có: ∠CAF = ∠ECF (cmt)

=> ∠EBA = ∠ECF

Xét tứ giác CEBH có:

∠EBA = ∠ECF

=> 2 đỉnh B và C cùng nhìn EH dưới 2 góc bằng nhau

=> Tứ giác CEBH là tứ giác nội tiếp

=> ∠BEH = ∠HCB ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung HB)

Mà ∠HCB = ∠HCA (CO là tia phân giác của góc ACB)

=> ∠BEH = ∠HCA (1)

Mặt khác: ΔCFA ∼ ΔEFC => ∠HCA = ∠CEF (2 góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) : ∠BEH = ∠CEF

d) Xét tam giác ACO vuông tại A có:

AC² + AO² = CO² => AC² = 4R² - R² = 3R²

=> CB² = CA² = 3R²

Ta có: AB ⊥ CO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

CO // AD (gt)

=> AB ⊥ AD => BD là đường kính của đường tròn (O)

Xét tam giác BCD vuông tại B có:

BC² + BD² = CD² => CD² = 3R² + 4R² = 7R²

=> CD = R√7

Xét ΔCEA và ΔCDA có:

Xét tam giác CAO vuông tại A có:

=> ∠BOA = 2∠AOC = 120^o => ∠AOD = 60^o (kề bù với góc (BOA )

Tam giác AOD cân tại O có ∠AOD = 60^o nên tam giác AOD đều

=> AD = AO = R

Ta có: OC // AD

Bài 5:

Đặt (a,b ≥ 0),phương trình trở thành:

2a² + 3b² = 5ab

⇔ 2a² -2ab + 3b² - 3ab = 0

⇔ (a - b)(2a - 3b) = 0

Với a = b, ta có:

⇔ x² - 6x = x + 3

⇔ x² - 7x - 3 = 0

Với 2a = 3b, ta có:

⇔ 4x² - 24x = 9x + 27

⇔ 4x² - 33x - 27 = 0

Đối chiếu với ĐKXĐ thì phương trình có tập nghiệm là

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội

Xem thêm các đề thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án hay khác:

• Bộ Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2021 - 2022 có đáp án (Trắc nghiệm - Tự luận)
• Bộ Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2021 - 2022 có đáp án (Tự luận)
• Tổng hợp Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---