Đề thi Toán vào lớp 10 Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 3)

---

---

Đề thi Toán vào lớp 10 Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 3)

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

Sở Giáo dục và Đào tạo TP Hà Nội

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Môn thi: Toán (hệ Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 - 2√2

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A : B

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày. Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày. Tính thời gian và số sản phẩm phải làm theo kế hoạch.

Bài 3: (2 điểm)

1) Giải phương trình 2x⁴ + x² - 6 = 0

2) Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 2

a) Với m = -1 : vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ sao cho x₁ - 2x₂ = 5

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M; N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp

b) Chứng minh MK.MN = MI.MC

c) Chứng minh tứ giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi.

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Ta có x = 3 - 2√2 = 2 - 2√2.1 + 1 = (√2 - 1)²

⇒ √x = √(√2 - 1)² = |√2 - 1| = √2 - 1 (vì √2 > 1)

Thay √x = √2 - 1 vào biểu thức A ta được:

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương 1 + √x và

Dấu bằng xảy ra khi:

⇔ 1 + √x = √3 (do 1 + √x > 0)

⇔ √x = √3 - 1 ⇔ x = 4 - 2√3

Vậy GTNN của P là 2√3 - 4 đạt được khi x = 4 - 2√3

Bài 2:

Gọi số sản phẩm cần làm theo dự định trong một ngày là x (sản phẩm/ ngày) ( x > 5)

Thời gian dự định làm là y (ngày) (y > 4)

=> Số sản phẩm cần làm là xy ( sản phẩm)

Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày nên ta có phương trình:

(x + 5)(y - 4) = xy ⇔ -4x + 5y = 20 (1)

Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày nên ta có phương trình:

(x - 5)(y + 5) = xy ⇔ 5x - 5y = 25 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Khi đó số sản phẩm cần làm là: x.y = 45.40 = 1800 (sản phẩm)

Vậy số sản phẩm cần làm là 1800 sản phẩm

Số ngày dự định làm là 40 ngày.

Bài 3:

1) 2x⁴ + x² - 6 = 0

Đặt x² = t ( t ≥ 0), phương trình trở thành:

2t² + t - 6 = 0

Δ = 1-4.2.(-6) = 49

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Do t ≥ 0 nên t =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

2) a) Với m = -1, (d): y = - x + 2

(P): y = x²

Bảng giá trị:

x	-2	-1	0	1	2
y = x2	4	1	0	1	4

Đồ thị (P): y = x² là 1 đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0;0) làm đỉnh

y = - x + 2

Bảng giá trị:

x	0	2
y = -x + 2	2	0

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = -x + 2 ⇔ x² + x - 2 = 0

=> Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = - 2

Khi đó tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1) và (-2; 4)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = mx + 2 ⇔ x² - mx - 2 = 0

Δ = m² - 4.(-2) = m² + 8 > 0 ∀m

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Theo bài ra: x₁ - 2x₂ = 5 ⇔ x₁ = 2x₂ + 5

=> (2x₂ + 5) x₂ = -2 ⇔ 2x₂² + 5x₂ + 2 = 0

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài là m = -1 ;

Bài 4:

a) Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => => MN.MK = MC.MI

c) Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = 180^o (1)

Xét đường tròn (O) có:

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180^o (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi.

Bài 5:

2b ≥ ab + 4 ≥ 4√ab ( Theo BDT Cosi)

Vậy GTLN của P là khi .

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội

Xem thêm các đề thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án hay khác:

• Đề thi Toán vào lớp 10 Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 1)

• Đề thi Toán vào lớp 10 Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 2)

• Đề thi Toán vào lớp 10 Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 4)

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---