(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Trang trước Trang sau

Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Chứng minh một điểm thuộc một đường tròn

Ví dụ 1. Từ điểm $M$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $M A, M B$ $(A, B$ là các tiếp điểm) và đường thẳng khôngđi qua tâm, cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$ $(C$ nằm giữa $M$ và $D$ ). Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $C D .$ Chứng minh năm điểm $M, A, O, I, B$ thuộc một đường tròn.

Phân tích:

• Ta có $M A, M B$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $\hat{M A O} = \hat{M B O} = 90 ° .$

• Do $I$ là trung điểm dây cung $C D$ nên ta chứng minh được $O I ⊥ C D$ hay $\hat{M I O} = 90 ° .$

Suy ra $M, A, O, I, B$ thuộc đường tròn đường kính $O M .$

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Suy ra $\hat{M I O} = 90 °$ nên điểm $I$ nằm trên đường tròn đường kính $O M .$

Do đó năm điểm $M, A, O, I, B$ thuộc một đường tròn (đường kính $O M) .$

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

⦁ Chứng minh ➀ như sau:

Xét đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ vuông góc với dây $C D .$

Trường hợp $C D$ là đường kính: Hiển nhiên $A B$ đi qua trung điểm $O$ của $C D .$

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

⦁ Chứng minh ➁ như sau:

Xét đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ vuông góc với dây $C D .$

Tam giác $O C D$ có $O C = O D$ (bán kính đường tròn $(O)$ ) nên $Δ O C D$ cân tại $O .$

Do đó đường trung tuyến $O I$ của tam giác $O C D$ cũng đồng thời là đường cao, hay $O I ⊥ C D$ nên $A B ⊥ C D .$

Dạng 2. Chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Ví dụ 2. Từ điểm $M$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $M A, M B$ $(A, B$ là các tiếp điểm) và đường thẳng khôngđi qua tâm, cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$ $(C$ nằm giữa $M$ và $D) .$ Gọi $I$ là trung điểm đoạn thẳng $C D, H$ và $K$ lần lượt là giao điểm $A B$ với $O M$ và $D M .$ Chứng minh tứ giác $O I K H$ nội tiếp.

Phân tích:

• Do $I$ là trung điểm dây cung $C D$ nên ta chứng minh được $O I ⊥ C D$ nên $\hat{O I K} = 90 ° .$

• Do $M A, M B$ là tiếp tuyến $(O)$ nên ta chứng minh được $O M ⊥ A B$ nên $\hat{O H K} = 90 ° .$

Suy ra $O, H, K, I$ thuộc đường tròn đường kính $O K$ nên tứ giác $O I K H$ nội tiếp.

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Ta có $O A = O B$ (bán kính) và $M A = M B$ (hai tiếp tuyến $M A, M B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M)$ nên $O M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B .$

Suy ra $\hat{O H K} = 90 °$ nên điểm $H$ nằm trên đường tròn đường kính $O K .$

Vậy tứ giác $O I K H$ nội tiếp (đường tròn đường kính $O K) .$

Ví dụ 3. Cho tứ giác $A B C D$ có $\hat{A D C} + \hat{A B C} = 180 ° .$ Chứng minh tứ giác $A B C D$ nội tiếp.

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Ta chứng minh được $Δ A F D ∽ Δ C F K (g.g)$ nên $\frac{A F}{C F} = \frac{D F}{K F} .$

Từ đó suy ra $Δ D F K ∽ Δ A F C (c.g.c)$ nên $\hat{F D K} = \hat{F A C} . (2)$

⦁ Ta có $Δ A C K$ vuông tại $C$ nên $\hat{F A C} + \hat{A K C} = 90 ° . (3)$

Từ $(1), (2), (3)$ suy ra $\hat{A D C} + \hat{F D K} = 90 °$ hay $\hat{A D K} = 90 ° .$

Khi đó $Δ A C K$ vuông tại $D$ nên ta chứng minh được điểm $D$ nằm trên đường tròn đường kính $A K .$

Suy ra tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $A K .$

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Xét $Δ A F D$ và $Δ C F K$ có: $\hat{A F D} = \hat{C F K}$ (đối đỉnh) và $\hat{A D F} = \hat{C K F}$ (chứng minh trên)

Do đó $Δ A F D ∽ Δ C F K (g.g)$ suy ra $\frac{A F}{C F} = \frac{D F}{K F}$ nên $\frac{A F}{D F} = \frac{C F}{K F} .$

Xét $Δ D F K$ và $Δ A F C$ có: $\frac{A F}{D F} = \frac{C F}{K F}$ và $\hat{D F K} = \hat{A F C}$ (đối đỉnh)

Do đó suy ra

⦁ Ta có $\hat{A C K}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\hat{A C K} = 90 °,$ do đó $Δ A C K$ vuông tại $C,$ suy ra $\hat{F A C} + \hat{A K C} = 90 ° . (3)$

Từ $(1), (2), (3)$ suy ra $\hat{A D C} + \hat{F D K} = 90 °$ hay $\hat{A D K} = 90 ° .$

Khi đó $Δ A D K$ vuông tại $D$ nên điểm $D$ nằm trên đường tròn đường kính $A K .$

Suy ra tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $A K .$

Ví dụ 4. Cho tứ giác $A B C D$ có $\hat{A C B} = \hat{A D B} .$ Chứng minh tứ giác $A B C D$ là tứ giác nội tiếp.

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Ta chứng minh được $Δ A F D ∽ Δ B F K (g.g)$ nên $\frac{A F}{B F} = \frac{D F}{K F} .$

Từ đó suy ra $Δ D F K ∽ Δ A F B (c.g.c)$ nên $\hat{F D K} = \hat{F A B} . (2)$

⦁ Ta có $Δ A B K$ vuông tại $B$ nên $\hat{F A B} + \hat{A K B} = 90 ° . (3)$

Từ $(1), (2), (3)$ suy ra $\hat{A D B} + \hat{F D K} = 90 °$ hay $\hat{A D K} = 90 ° .$

Khi đó $Δ A D K$ vuông tại $D$ nên ta chứng minh được điểm $D$ nằm trên đường tròn đường kính $A K .$

Suy ra tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $A K .$

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Xét $Δ A F D$ và $Δ B F K$ có: $\hat{A F D} = \hat{B F K}$ (đối đỉnh) và $\hat{A D F} = \hat{B K F}$ (chứng minh trên)

Do đó $Δ A F D ∽ Δ B F K (g.g)$ suy ra $\frac{A F}{B F} = \frac{D F}{K F}$ nên $\frac{A F}{D F} = \frac{B F}{K F} .$

Xét $Δ D F K$ và $Δ A F B$ có: $\frac{A F}{D F} = \frac{B F}{K F}$ và $\hat{D F K} = \hat{A F B}$ (đối đỉnh)

Do đó $Δ D F K ∽ Δ A F B (c.g.c)$ suy ra $\hat{F D K} = \hat{F A B} . (2)$

⦁ Ta có $\hat{A B K}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\hat{A B K} = 90 °,$ do đó $Δ A B K$ vuông tại $B,$ suy ra $\hat{F A B} + \hat{A K B} = 90 ° . (3)$

Từ $(1), (2), (3)$ suy ra $\hat{A D B} + \hat{F D K} = 90 °$ hay $\hat{A D K} = 90 ° .$

Khi đó $Δ A D K$ vuông tại $D$ nên điểm $D$ nằm trên đường tròn đường kính $A K .$

Suy ra tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $A K .$

Chú ý: Trước khi sử dụng các cách trên để chứng minh một tứ giác nội tiếp, ta cần phải chứng minh kết quả đó như Ví dụ 3 và Ví dụ 4.

Ví dụ 5. Cho đường thẳng qua hai cạnh $A B, C D$ của tứ giác $A B C D$ cắt nhau tại $M .$

a) Biết tứ giác $A B C D$ nội tiếp, chứng minh $M A \cdot M B = M C \cdot M D .$

b) Biết $M A \cdot M B = M C \cdot M D,$ chứng minh tứ giác $A B C D$ nội tiếp.

Phân tích: (Xét trong trường hợp điểm $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $B,$ các trường hợp khác ta chứng minh tương tự)

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

b) Từ $M A \cdot M B = M C \cdot M D$ suy ra $\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B} .$

Ta chứng minh được $Δ M A D ∽ Δ M C B (c.g.c)$

Suy ra $\hat{M D A} = \hat{M B C}$ hay $\hat{A D C} + \hat{A B C} = 180 °$

Theo kết quả của Ví dụ 3, ta suy ra được tứ giác là tứ giác nội tiếp.

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Xét $Δ M A D$ và $Δ M C B$ có: $\hat{M}$ là góc chung và $\hat{M D A} = \hat{M B C} .$

Do đó $Δ M A D ∽ Δ M C B (g.g) .$

Suy ra $\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B}$ hay $M A \cdot M B = M C \cdot M D .$

b) Ta có $M A \cdot M B = M C \cdot M D$ hay $\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B} .$

Xét $Δ M A D$ và $Δ M C B$ có: $\hat{M}$ là góc chung và $\frac{M A}{M C} = \frac{M D}{M B} .$

Do đó $Δ M A D ∽ Δ M C B (c.g.c) .$

Suy ra $\hat{M D A} = \hat{M B C}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{M D A} + \hat{A D C} = 180 °$ (hai góc bù nhau) nên $\hat{A D C} + \hat{A B C} = 180 ° .$

Theo kết quả của Ví dụ 3, ta suy ra được tứ giác $A B C D$ là tứ giác nội tiếp.

Trường hợp đặc biệt: Nếu $M E$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A B C D$ thì ta có $M E^{2} = M A \cdot M B = M C \cdot M D .$ Điều ngược lại cũng đúng.

Ví dụ 6. Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $A B .$ Hai dây $A C, A D$ của đường tròn $(O)$ kéo dài lần lượt cắt đường thẳng $B m$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $F, E .$ Chứng minh tứ giác $C D E F$ nội tiếp.

Phân tích:

• Tứ giác $C D E F$ nội tiếp nếu $\hat{E} + \hat{F C D} = 180 °$ (theo kết quả của Ví dụ 3) hay $\hat{E} = \hat{C_{1}} .$

Tức là $Δ A C D ∽ Δ A E F$ $(\hat{E} = \hat{C_{1}};$ $\hat{C A D}$ chung)

Khi đó, ta cần chứng minh $\frac{A C}{A E} = \frac{A D}{A F}$ hay $A C \cdot A F = A D \cdot A E .$

• Vì $E F$ là tiếp tuyến, $A B$ là đường kính nên $Δ A B E, Δ A B F$ vuông với đường cao tương ứng $B D, B C .$

Khi đó áp dụng hệ thức được chứng minh trong Ví dụ 2, Bài 2, ta sẽ có:

$A C \cdot A F = A B^{2} = A D \cdot A E .$

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

Áp dụng hệ thức đã được chứng minh trong Ví dụ 2, Bài 2 cho tam giác $A B D$ vuông tại $B$ với đường cao $B D,$ ta có: $A B^{2} = A D \cdot A E .$

Suy ra $A C \cdot A F = A D \cdot A E$ hay $\frac{A C}{A E} = \frac{A D}{A F} .$

Xét $Δ A C D$ và $Δ A E F$ có: $\hat{A}$ là góc chung và $\frac{A C}{A E} = \frac{A D}{A F} .$

Do đó $Δ A C D ∽ Δ A E F (c.g.c) .$ Suy ra $\hat{C_{1}} = \hat{E}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{C_{1}} + \hat{D C F} = 180 °$ nên $\hat{E} + \hat{D C F} = 180 ° .$

Theo kết quả của Ví dụ 3, ta suy ra được tứ giác $C D E F$ nội tiếp.

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A (A B < A C) .$ Trên $A C$ lấy điểm $N$ và vẽ đường tròn đường kính $N C .$ Kẻ $B N$ cắt đường tròn tại $D .$ Đường thẳng $D A$ cắt đường tròn tại $I .$ Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $A B C D$ nội tiếp.

b) $C A$ là tia phân giác của $\hat{I C B} .$

Bài 2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn $(O),$ vẽ hai tiếp tuyến . $A M, A N$ . $(M, N$ là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $A M O N$ nội tiếp.

b) Vẽ đường kính $N D$ của đường tròn $(O) .$ Chứng minh $M D // O A$ và $\hat{M D N} = \hat{M O A} .$

c) Đoạn $A D$ cắt $(O)$ tại $E .$ Đường thẳng qua $N$ song song với $A E$ cắt $(O)$ tại $K$ $(K$ khác $N),$ $M K$ cắt $D E$ tại $G .$ Chứng minh tứ giác $A M G O$ nội tiếp và $G$ là trung điểm của $D E .$

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học