(Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

Trang trước Trang sau

Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

(Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

⦁ Chứng minh khoảng cách từ tới đường thẳng bằng

⦁ Từ kẻ tiếp tuyến của chứng minh đường thẳng trùng

2. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

(Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm (tức là $O M$ là tia phân giác của góc $A O B) .$

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hình vuông $A B C D$ với $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C, C D .$ Điểm $I$ là giao điểm của $A M$ và $B N .$ Chứng minh đường thẳng $B N$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $A$ bán kính $A I .$

Phân tích:Để chứng minh $B N$ là tiếp tuyến của $(A; A I)$ ta cần chứng minh $B N ⊥ A I$ hay $\hat{A I B} = 90 ° .$

(Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

Do đó $Δ A B M = Δ B C N$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{B_{1}} + \hat{B_{2}} = 90 °$ nên $\hat{A_{1}} + \hat{B_{2}} = 90 ° .$

Xét $Δ A B I$ có: $\hat{A I B} + \hat{A_{1}} + \hat{B_{2}} = 180 °$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{A I B} = 180 ° - (\hat{A_{1}} + \hat{B_{2}})$ $= 180 ° - 90 ° = 90 ° .$

Vậy $B N$ vuông góc với bán kính $A I$ tại $I$ của $(A; A I)$ nên $B N$ là tiếp tuyến của $(A; A I)$ .

Ví dụ 2. Cho $(O)$ đường kính $A B,$ $C$ là điểm thay đổi trên đường tròn. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ cắt đường thẳng $A B$ tại $D .$ Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác góc $O D C,$ đường này cắt đường thẳng $C D$ tại $M .$ Chứng minh đường thẳng $d$ qua $M$ và song song với $A B$ luôn tiếp xúc với $(O)$ khi $C$ thay đổi.

Phân tích: Đường thẳng $d$ và đường tròn $(O)$ chưa có giao điểm, nên ta dùng cách chứng minh khoảng cách $O$ tới $d$ bằng $R .$ Kẻ $O H ⊥ d$ chứng minh $O H = R,$ điều này có được qua xét hai tam giác vuông bằng nhau là $Δ O C M$ và $Δ O H M .$

(Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

⦁ Do $D M$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ nên $\hat{O C M} = 90 °$ và $O C = R .$

Kẻ $O H ⊥ d$ tại $H .$

Xét $Δ O C M$ (vuông tại $C)$ và $Δ O H M$ (vuông tại $H)$ có: $O M$ là cạnh chung, $\hat{M_{1}} = \hat{M_{2}} .$

Suy ra $Δ O C M = Δ O H M$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó $O H = O C = R$ (hai cạnh tương ứng) hay $O H$ là bán kính của đường tròn $(O)$

Vậy $d$ vuông góc với bán kính $O H$ tại $H$ nên $d$ là tiếp tuyến $(O)$ .

Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B .$ Vẽ hai tiếp tuyến $A x, B y$ nằm cùng phía với nửa đường tròn $(O)$ bờ $A B .$ Lấy hai điểm $C, D$ tương ứng trên $A x, B y$ sao cho $\hat{C O D} = 90 ° .$ Chứng minh $C D$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ .

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

Khi đó $\hat{A O C} = \hat{C O M} = \frac{1}{2} \hat{A O M}$ và $\hat{M O D^{'}} = \hat{D^{'} O B} = \frac{1}{2} \hat{B O M}$

Suy ra $\hat{C O M} + \hat{M O D^{'}}$ $= \frac{1}{2} \hat{A O M} + \frac{1}{2} \hat{B O M}$ $= \frac{1}{2} (\hat{A O M} + \hat{B O M}) = \frac{1}{2} \cdot 180 ° = 90 ° .$

Do đó $\hat{C O D^{'}} = 90 ° .$

Mà $\hat{C O D} = 90 °$ nên tia $O D$ trùng tia $O D^{'},$ do đó $D$ trùng $D^{'}$ (do $D, D^{'} \in B y) .$

Vậy $C D$ là tiếp tuyến của $(O)$

Ví dụ 4. Cho nửa đường tròn $(O; R)$ đường kính $A B .$ Gọi $C$ là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho $0 < A C < B C .$ Gọi $D$ là điểm thuộc cung nhỏ $B C$ sao cho $\hat{C O D} = 90 ° .$ Gọi $E$ là giao điểm của $A D$ và $B C,$ $F$ là giao điểm của $A C$ và $B D .$ Gọi $I$ là trung điểm của $E F .$ Chứng minh $I C$ là tiếp tuyến của $(O)$ .

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

Vì $D$ thuộc nửa đường tròn đường kính $A B$ nên $\hat{A D B} = 90 °,$ hay $A D ⊥ B F .$

Xét $Δ A B F$ có hai đường cao $B C$ và $A D$ cắt nhau tại $E$ nên $E$ là trực tâm của $Δ A B F .$

Do đó $F E ⊥ A B .$ Kéo dài $F E$ cắt $A B$ tại $H,$ suy ra $F H ⊥ A B .$

Xét $Δ A H F$ vuông tại $H,$ ta có $\hat{H A F} + \hat{H F A} = 90 °$ hay $\hat{O A C} + \hat{I F C} = 90 °$

Suy ra $\hat{O C A} + \hat{I C F} = 90 ° .$

Mặt khác, $\hat{O C A} + \hat{O C I} + \hat{I C F} = 180 °$

Nên $\hat{O C I} = 180 ° - (\hat{O C A} + \hat{I C F})$ $= 180 ° - 90 ° = 90 ° .$ Hay $I C ⊥ O C$ tại $C .$

Mà $O C$ là bán kính của đường tròn $(O)$ nên $I C$ là tiếp tuyến của $(O)$ .

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho đường tròn $(O)$ bán kính $O A = R,$ dây $C D$ là trung trực của $O A .$

a) Tứ giác $O C A D$ là hình gì, vì sao?

b) Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ cắt đường thẳng $O A$ tại $I .$ Tính độ dài $C I .$

Bài 2.

a) Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $A B .$ Tia $A x$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A .$ Chứng minh rằng $\hat{B A x}$ có số đo bằng nửa số đo cung $A B$ bị chắn (cung nằm bên trong góc là cung bị chắn).

b) Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $A B .$ Vẽ tia $A x$ sao cho góc $B A x$ có số đo bằng nửa số đo của cung $A B$ nằm bên trong góc đó. Chứng minh tia $A x$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O) .$

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học