(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán về cực trị hình học

Trang trước Trang sau

Một số bài toán về cực trị hình học nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho đường tròn $(O; R)$ có $A B$ là dây cố định không đi qua tâm. Điểm $M$ di động trên cung nhỏ $A B$ ,vẽ dây $M N$ vuông góc với $A B$ tại $H; P, Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $N A, N B .$ Tìm vị trí của $M$ sao cho $T = M P \cdot A N + M Q \cdot B N$ có giá trị lớn nhất.

(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán về cực trị hình học

Do $A, B$ cố định nên $A B$ không đổi, do đó $T_{m a x}$ khi $M N_{m a x},$ tức là $M N$ là đường kính hay $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $A B .$ Khi đó: $T_{m a x} = A B \cdot 2 R = 2 R \cdot A B .$

Ví dụ 2. Điểm $C$ di động trên nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B = 2 R$ cố định. Đường thẳng $B C$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ ở $D .$ Gọi $M$ là hình chiếu của $O$ lên $B C,$ tìm vị trí của $C$ để $B D + 4 B M$ nhỏ nhất.

Do điểm $C$ nằm trên nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ nên $\hat{A C B} = 90 ° .$

Do $D A$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ nên $\hat{D A B} = 90 ° .$

Xét $Δ A B D$ và $Δ A B C$ có: $\hat{D A B} = \hat{A C B} = 90 °$ và $\hat{A B D}$ là góc chung

Do đó $Δ A B D ∽ Δ C B A$ (g.g), suy ra $\frac{A B}{C B} = \frac{B D}{B A}$ hay $B C \cdot B D = B A^{2} = {(2 R)}^{2} = 4 R^{2} .$

Xét $Δ O B C$ cân tại $O$ (do $O B = O C)$ nên đường cao $O M$ đồng thời là đường trung tuyến, do đó $M$ là trung điểm $B C$ hay $B C = 2 B M,$ suy ra $4 B M = 2 B C .$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

$B D + 4 B M = B D + 2 B C \geq 2 \sqrt{2 B D \cdot B C} = 2 \sqrt{2 \cdot 4 R^{2}} = 4 R \sqrt{2} .$

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi $B D = 2 B C$ hay $C$ là trung điểm của $B D,$ tức là $Δ A B D$ vuông cân tại $A$ nên $\hat{A B C} = 45 °,$ khi đó $C$ là điểm chính giữa của cung $A B .$

Vậy khi $C$ là điểm chính giữa của cung $A B$ thì ${(B D + 4 B M)}_{\min} = 4 R \sqrt{2} .$

Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $B C,$ từ điểm $A$ trên nửa đường tròn kẻ $A H ⊥ B C$ tại $H .$ Nửa đường tròn đường kính $B H, H C$ lần lượt có tâm $O_{1}, O_{2}$ cắt $A B, A C$ theo thứ tự tại $D, E .$ Tìm giá trị lớn nhất của $S_{D E O_{2} O_{1}} .$

(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán về cực trị hình học

Hướng dẫn giải:

Ta có: $O_{1} D + O_{2} E = \frac{1}{2} B H + \frac{1}{2} C H = \frac{1}{2} B C .$

Từ giả thiết có: $\hat{B A C} = \hat{B D H} = \hat{C E H} = 90 °$ nên $A D H E$ là hình chữ nhật, suy ra $\hat{D_{1}} = \hat{A_{1}} .$

Tam giác $O_{1} B D$ cân tại $O_{1}$ nên $\hat{D_{2}} = \hat{B},$ suy ra $\hat{D_{1}} + \hat{D_{2}} = \hat{A_{1}} + \hat{B} = 90 ° .$ Do đó $\hat{O_{1} D E} = 90 ° .$

Tương tự: $\hat{O_{2} E D} = 90 ° .$ Từ đó ta suy ra được tứ giác $D E O_{2} O_{1}$ là hình thang vuông.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $D E = O_{1} O_{2},$ tức là $D E O_{2} O_{1}$ là hình chữ nhật, suy ra $O_{1} D = O_{2} E,$ do đó $B H = C H$ hay $A$ là điểm chính giữa cung $B C .$

Vậy ${(S_{D E O_{2} O_{1}})}_{m a x} = \frac{B C^{2}}{8}$ khi $A$ là điểm chính giữa cung $B C .$

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .Gọi $M$ là một điểm di động trên cung nhỏ $B C$ của đường tròn $(O)$ . $(M$ không trùng với $B, C) .$ Gọi $H, K, D$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $M$ đến các đoạn thẳng $A B, A C, B C .$

a) Chứng minh tứ giác $A H M K$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $M H \cdot M C = M K \cdot M B .$

c) Tìm vị trí điểm $M$ để $D H + D K$ lớn nhất.

Bài 2. Từ một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$ bán kính $R,$ kẻ các tiếp tuyến $A B, A C$ với đường tròn $(B, C$ là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ $B C$ lấy một điểm $M$ bất kỳ khác $B$ và $C .$ Gọi $I, K, P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên các đoạn thẳng $A B, A C, B C .$

a) Chứng minh $A I M K$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $\hat{M P K} = \hat{M B C} .$

c) Xác định vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $B C$ để tích $M I \cdot M K \cdot M P$ đạt giá trị lớn nhất.

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học