(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

Trang trước Trang sau

Chứng minh quan hệ song song nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. Các dạng bài và ví dụ minh họa

Dạng 1. Sử dụng tính chất từ vuông góc đến song song

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Trên cạnh $B C$ lấy điểm $D$ sao cho $B A = B D .$ Qua điểm $D$ vẽ đường thẳng vuông góc với $A D$ , đường thẳng này cắt $A C$ tại $F .$ Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $B C$ cắt $A C$ tại $E$ . Chứng minh rằng $D F // B E$ .

Phân tích:

Từ giả thiết $D F ⊥ A D$ nên nếu $D F // B E$ thì $B E ⊥ A D$ .

Như vậy, ta tìm cách chứng minh $B E ⊥ A D$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

Khi đó, $E$ thuộc trung trực của $A D$ nên $B E$ là trung trực của $A D$ hay $B E ⊥ A D$ .

Mà $D F ⊥ A D$ suy ra $D F // B E$ (tính chất từ vuông góc đến song song).

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(O)$ , điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $A M, A N$ với đường tròn ( $M, N$ là các tiếp điểm), vẽ đường kính $N O C .$ Chứng minh rằng $A O // C M .$

Phân tích:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

Vì $A M, A N$ là các tiếp tuyến nên $A M = A N$ suy ra $A$ thuộc trung trực của $M N .$

Vì $O M = O N$ (bán kính) nên $O$ thuộc trung trực của $M N .$

Do đó $A O$ là trung trực của $M N$ hay $A O ⊥ M N (1)$ .

Đường kính $N O C$ cho ta $\hat{C M N} = 90 °$ hay $C M ⊥ M N (2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $A O // C M$ (từ vuông góc đến song song).

Dạng 2. Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Ví dụ 4. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $A B$ . Trên nửa đường tròn lấy điểm $C,$ tia phân giác của góc $A B C$ cắt đường tròn tại $D$ . Chứng minh $O D // B C .$

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

Theo giả thiết $B D$ là tia phân giác góc $A B C$ nên $\hat{C B D} = \hat{O B D}$ .

Khi đó $\hat{O D B} = \hat{C B D}$ mà hai góc nàyở vị trí so le trong nên $O D // B C .$

Dạng 3. Sử dụng định lí Thalès đảo

Ví dụ 5. Cho tam giác $A B C$ , trung tuyến $A M$ , đường phân giác của góc $A M B$ cắt $A B$ tại $E .$ Đường phân giác của góc $A M C$ cắt $A C$ tại $F$ . Chứng minh rằng $E F // B C .$

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác $A M B$ có $M E$ là đường phân giác nên: $\frac{A M}{B M} = \frac{A E}{B E} .$

Trong tam giác $A M C$ có $M F$ là đường phân giác nên: $\frac{A M}{C M} = \frac{A F}{C F} .$

Vì $M$ là trung điểm $B C$ nên $B M = C M$ . Suy ra $\frac{A M}{B M} = \frac{A M}{C M}$ hay $\frac{A E}{B E} = \frac{A F}{C F} .$

Theo định lí Thalès đảo thì $E F // B C$ .

Ví dụ 6. Cho nửa đường tròn $(O)$ , đường kính $A B .$ Trên tia đối của tia $A B$ lấy điểm $E (E \neq A)$ . Từ $E, A, B$ kẻ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tiếp tuyến kẻ từ $E$ cắt hai tiếp tuyến kẻ từ $A$ và $B$ theo thứ tự tại $C$ và $D$ . Gọi $M$ là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $E$ tới nửa đường tròn, $N$ là giao điểm của $A D$ và $B C .$ Chứng minh $M N // B D$ .

Phân tích:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

Hướng dẫn giải:

Ta có $A C // B D$ (cùng vuông góc với $A B$ ), áp dụng định lí Thalès ta có: $\frac{A C}{B D} = \frac{C N}{B N} .$

Mà theo tính chất các tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$M D = M D; M C = C A$ . Suy ra $\frac{C M}{D M} = \frac{C M}{B N} .$

Theo định lí Thalès đảo, ta có: $M N // B D$ .

Dạng 4. Sử dụng tính chất đường trung bình

Ví dụ 7. Cho đường tròn $(O)$ , điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $A M, A N$ với đường tròn $(M, N$ là các tiếp điểm). Vẽ đường kính $N O C .$ Chứng minh rằng

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

Hướng dẫn giải:

Vì $A M, A N$ là các tiếp tuyến nên $A M = A N$ suy ra $A$ thuộc trung trực của $M N .$

Vì $O M = O N$ (bán kính) nên $O$ thuộc trung trực của $M N .$

Vậy $A O$ là trung trực của $M N .$

Gọi $H$ là giao điểm của $A O$ và $M N$ suy ra $H$ là trung điểm của $M N .$

Mặt khác, $O$ là trung điểm $N C$ nên là $H O$ đường trung bình của tam giác $C N M .$

Do đó $H O // C M$ hay $A O // C M$ .

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $O .$ Các điểm $M, N, P$ là điểm chính giữa của các cung $A B, B C, C A .$ Gọi $D$ là giao điểm của $M N$ và $A B, E$ là giao điểm của $P N$ và $A C .$ Chứng minh $D E // B C .$

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A .$ Một điểm $D$ nằm giữa $A$ và $B,$ đường tròn đường kính $B D$ cắt $B C$ tại $E .$ Các đường thẳng $C D, A E$ cắt đường tròn tại $F, G .$

a) Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ E B D$ .

b) Chứng minh tứ giác $A D E C$ nội tiếp đường tròn.

c) Chứng minh $A C // F G$ .

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học