(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

Trang trước Trang sau

Một số bài toán nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ tia $C x$ vuông góc với $A B .$ Trên tia $C x$ lấy hai điểm $D, E$ sao cho $\frac{C E}{C B} = \frac{C A}{C D} = \sqrt{3} .$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $A D C$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $B E C$ tại $H$ khác $C .$ Chứng minh rằng đường thẳng $H C$ luôn đi qua một điểm cố định khi $C$ di chuyển trên đoạn thẳng $A B .$

Phân tích:

(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

• Khi $C$ trùng $A$ thì $(d)$ tạo với $A B$ một góc $30 °,$ suy ra điểm cố định thuộc tia $A z$ tạo với tia $A B$ một góc $30 ° .$

• Khi $B y$ và $A z$ cắt nhau tại $M$ thì ta nhận xét sự cố định của điểm $M .$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\tan D = \frac{C A}{C D} = \sqrt{3}$ nên $\hat{D} = 60 ° .$ Ta lại có $\hat{C H A} = \hat{C D A} = 60 ° .$

Gọi giao điểm của đường tròn đường kính $A B$ với $C H$ là $M .$ Ta có $\hat{M H A} = 60 ° .$

Ta có $sđ \overset{⏜}{A M} = 2 \hat{M C A} = 2 \hat{C H A} = 2 \hat{C D A} = 120 °$ nên số đo cung $M A$ không đổi.

Lại có đường tròn đường kính $A B$ cố định nên $M$ cố định, do đó $C H$ luôn qua $M$ cố định.

Ví dụ 2. Cho 3 điểm $A, B, C$ cố định, thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn tâm $(O)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A, B .$ Vẽ đường kính $P Q$ vuông góc với $A B$ $(Q$ trên cung nhỏ $A B),$ đường thẳng $C P$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $I .$ Chứng minh đường thẳng $Q I$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(O)$ thay đổi.

Phân tích:

Hướng dẫn giải:

⦁ Xét $Δ C P B$ và $Δ C A I$ có:

$\hat{C}$ là góc chung, $\hat{C P B} = \hat{C A I}$ (hai góc nội tiếp $(O)$ cùng chắn $\overset{⏜}{I B}) .$

Do đó $Δ C P B ∽ Δ C A I$ (g.g) suy ra $\frac{C P}{C A} = \frac{C B}{C I}$ nên $C P \cdot C I = C A \cdot C B (1)$

⦁ Gọi $D$ là giao điểm của $A B$ và $P Q .$

Ta có $\hat{P I Q} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\hat{P I K} + \hat{P D K} = 90 ° + 90 ° = 180 ° .$

Do đó tứ giác $D P I K$ nội tiếp nên $\hat{K_{1}} = \hat{I P D} .$

Xét $Δ C P D$ và $Δ C K I$ có: $\hat{C}$ là góc chung, $\hat{K_{1}} = \hat{C P D}$ .

Do đó $Δ C P D ∽ Δ C K I$ (g.g) suy ra $\frac{C P}{C D} = \frac{C K}{C I}$ nên $C P \cdot C I = C D \cdot C K (2)$

⦁ Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $C D \cdot C K = C A \cdot C B$ không đổi do $A, B, C$ cố định.

Mặt khác, đường kính $P Q$ vuông góc dây $A B$ nên $D$ là trung điểm của $A B,$ mà $A, B$ cố định nên $D$ là điểm cố định.

Do đó ta có $C K = \frac{C A \cdot C B}{C D}$ không đổi.

Mà $C$ cố định nên $K$ trên đường thẳng $C D$ cố định.

Vậy đường thẳng $Q I$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(O)$ thay đổi.

Ví dụ 3. Cho ba điểm $A, B, C$ cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn $(O; R)$ bất kỳ đi qua $B$ và $C (B C \neq 2 R) .$ Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $A M, A N$ đến $(O)$ , $(M, N$ là tiếp điểm). Gọi $I, K$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $M N;$ $M N$ cắt $B C$ tại $D .$ Chứng minh rằng khi đường tròn $(O)$ thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ O I D$ luôn thuộc một đường cố định.

(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

⦁Với giả thiết ta thấy $O K D I$ nội tiếp nên nghĩ đến phương tích của điểm $A$ với đường tròn ngoại tiếp $(O K D I)$ ta có:

$A D \cdot A I = A K \cdot A O .$

Lại có $A K \cdot A O = A M^{2}$ (hệ thức lượng) và $A M^{2} = A B \cdot A C$ (phương tích điểm $A$ với $(O))$ nên $A D \cdot A I = A B \cdot A C$ không đổi nên $D$ cố định.

Hướng dẫn giải:

⦁ $A M, A N$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\hat{A M O} = 90 °$ và $A M = A N .$

Lại có $O M = O N$ nên $O A$ là đường trung trực của $M N .$

Vì $K$ là trung điểm của $M N$ nên $K$ nằm trên đường trung trực của $M N,$ do đó $A, K, O$ thẳng hàng và $M N ⊥ O K .$

Vì $I$ là trung điểm dây $B C$ cố định nên $O I ⊥ B C$ và điểm $I$ cố định.

⦁ Xét $Δ A K D$ và $Δ A I O$ có: $\hat{A K D} = \hat{A I O} = 90 °$ và $\hat{O A I}$ là góc chung.

Do đó $Δ A K D ∽ Δ A I O$ (g.g) suy ra $\frac{A K}{A I} = \frac{A D}{A O}$ nên $A K \cdot A O = A I \cdot A D (1)$

⦁ Xét $Δ A M K$ và $Δ A O M$ có: $\hat{A K M} = \hat{A M O} = 90 °$ và $\hat{O A M}$ là góc chung.

Do đó $Δ A M K ∽ Δ A O M$ (g.g) suy ra $\frac{A M}{A O} = \frac{A K}{A M}$ hay $A K \cdot A O = A M^{2} . (2)$

⦁ Xét $Δ A B M$ và $Δ A M C$ có: $\hat{M A C}$ là góc chung, $\hat{A M B} = \hat{A C M} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{B M} .$

Do đó $Δ A B M ∽ Δ A M C$ (g.g) suy ra $\frac{A B}{A M} = \frac{A M}{A C}$ nên $A M^{2} = A B \cdot A C . (3)$

Từ $(1), (2), (3)$ ta có: $A D \cdot A I = A B \cdot A C$ nên $A D = \frac{A B \cdot A C}{A I}$ (không đổi).

Do đó điểm $D$ cố định, nên tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ O I D$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $D I$ cố định.

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho góc vuông $x A y,$ điểm $B$ cố định trên $A y,$ điểm $C$ di chuyển trên $A x .$ Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $A B C$ tiếp xúc với $A C, B C$ theo thứ tự ở $M, N .$ Chứng minh rằng đường thẳng $M N$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $d$ cắt $(O)$ tại $C, D .$ Một điểm $M$ di động trên $d$ sao cho $M C > M D$ và ở ngoài đường tròn $(O)$ . Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $M A$ và $M B$ (với $A, B$ là các tiếp điểm). Chứng minh đường thẳng $A B$ đi qua điểm cố định.

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học