(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Trang trước Trang sau

Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Để chứng minh ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng, ta có một số cách hay dùng như sau:

⦁ Chứng minh $A, B, C$ thuộc một đường thẳng.

⦁ Chứng minh dựa vào tiên đề Euclid: $A B // d,$ $B C // d$ suy ra $A, B, C$ thẳng hàng.

Để chứng minh ba đường $m, n, p$ đồng quy tại một điểm, ta có một số cách hay dùng:

⦁ Chứng minh ba đường $m, n, p$ là ba đường đặc biệt trong một tam giác, chẳng hạn như: ba đường cao, ba đường trung tuyến hay ba đường phân giác, ...

⦁ Đưa về chứng minh thẳng hàng, bằng cách:

Gọi A là giao điểm của M và N, chứng minh $A \in p .$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ vuông ở A. Trên cạnh $A C$ lấy điểm $M,$ dựng đường tròn $(O)$ có đường kính $M C .$ Đường thẳng $B M$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D .$ Gọi $E$ là giao điểm của $B C$ với đường tròn $(O)$ $(E$ khác $C) .$ Chứng minh rằng các đường thẳng $B A, E M, C D$ đồng quy.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(O; R),$ từ một điểm A trên $(O)$ kẻ tiếp tuyến $d$ với $(O)$ . Trên đường thẳng $d$ lấy điểm M bất kì $(M$ khác $A),$ qua M kẻ đường thẳng không đi qua $O$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $N, P$ $(N$ nằm giữa M và $P) .$ Gọi $K$ là trung điểm của $N P,$ kẻ tiếp tuyến $M B$ $(B$ là tiếp điểm). Kẻ $A C ⊥ M B, B D ⊥ M A,$ gọi $H$ là giao điểm của $A C$ và $B D, I$ là giao điểm của $O M$ và $A B .$ Chứng minh ba điểm $O, H, M$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Mặt khác, $M A, M B$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $M A = M B,$ lại có $O A = O B = R$ nên $O M$ là đường trung trực của $A B,$ do đó $O M ⊥ A B . (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $O, H, M$ thẳng hàng (vì qua $O$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với $A B) .$

Ví dụ 3. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $A B .$ Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn, kẻ các tia tiếp tuyến $A x, B y$ với nửa đường tròn. Từ một điểm $C$ trên nửa đường tròn $(C \neq A; C \neq B),$ kẻ $C H$ vuông góc với $A B (H \in A B),$ tiếp tuyến tại $C$ cắt $A x$ và $B y$ theo thứ tự tại $P$ và $Q .$ Chứng minh rằng các đường thẳng $A Q, B P, C H$ đồng quy.

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Xét $Δ A Q P$ có $C K^{'} // B Q,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có:

$\frac{C K^{'}}{A P} = \frac{C Q}{P Q}$ suy ra $C K^{'} \cdot P Q = C Q \cdot A P .$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$P C = A P$ và $C Q = B Q$ nên $C K^{'} \cdot P Q = C K \cdot P Q,$ do đó $C K^{'} = C K .$

Suy ra $K^{'}$ trùng $K .$ Vậy các đường thẳng $A Q, B P, C H$ đồng quy.

Ví dụ 4. Cho đường tròn $(O; R)$ đường kính $A B .$ Kẻ tiếp tuyến $A x$ và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm $P$ sao cho $A P > R,$ từ $P$ kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với $(O)$ tại M.

a) Chứng minh rằng tứ giác $A P M O$ nội tiếp được một đường tròn.

b) Chứng minh $B M // O P .$

c) Đường thẳng vuông góc với $A B$ ở O cắt tia $B M$ tại $N .$ Chứng minh tứ giác $O B N P$ là hình bình hành.

d) Biết $A N$ cắt $O P$ tại $K, P M$ cắt $O N$ tại $I,$ $P N$ và $O M$ kéo dài cắt nhau tại $J .$ Chứng minh $I, J, K$ thẳng hàng.

(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

b) Ta có $\hat{A B M}$ và $\hat{A O M}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $A M$ trong $(O)$ nên $\hat{A B M} = \frac{\hat{A O M}}{2} (1)$

Vì $O P$ là tia phân giác $\hat{A O M}$ (tính chất hai tiếp tuyến $P A, P M$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau) nên $\hat{A O P} = \frac{\hat{A O M}}{2} (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\hat{A B M} = \hat{A O P} (3)$

Mà $\hat{A B M}$ và $\hat{A O P}$ là hai góc đồng vị nên suy ra $B M // O P . (4)$

c) Xét $Δ A O P$ (vuông tại $A)$ và $Δ O B N$ (vuông tại $O)$ có:

$O A = O B = R; \hat{A O P} = \hat{O B N}$ (chứng minh trên).

Do đó $Δ A O P = Δ O B N$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $O P = B N$ (hai cạnh tương ứng). $(5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra $O B N P$ là hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau).

d) Tứ giác $O B N P$ là hình bình hành nên $P N // O B$ hay $P J // A B,$ mà $O N ⊥ A B$ nên $O N ⊥ P J .$

Ta cũng có $P M ⊥ O J$ $(P M$ là tiếp tuyến), mà $O N$ và $P M$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trực tâm tam giác $P O J (6)$

Mặt khác, ta có $\hat{P A O} = \hat{A O N} = \hat{O N P} = 90 °$ nên tứ giác $A O N P$ là hình chữ nhật.

Suy ra $K$ là trung điểm của $P O$ (tính chất đường chéo hình chữ nhật).

Từ $A P // O N$ suy ra $\hat{A P O} = \hat{P O N}$ (so le trong).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $P O$ là tia phân giác của $\hat{A P M}$ nên $\hat{A P O} = \hat{M P O} .$

Khi đó ta có $\hat{P O N} = \hat{M P O} .$ Do đó $Δ I P O$ cân tại $I .$

Mà $Δ I P O$ cân tại $I$ có $I K$ là trung tuyến nên đồng thời là đường cao hay $I K ⊥ P O (7)$ .

Từ $(6)$ và $(7)$ ta có $I, J, K$ thẳng hàng.

Ví dụ 5. Cho tam giác nhọn $A B C .$ Kẻ các đường cao $A D, B E, C F .$ Gọi $H$ là trực tâm của tam giác. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là các hình chiếu vuông góc của $D$ lên $A B, B E, C F, A C .$

Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác $D M F P, D N E Q$ là hình chữ nhật.

b) Các tứ giác $B M N D, D N H P, D P Q C$ nội tiếp.

c) Hai tam giác $H N P$ và $H C B$ đồng dạng.

d) Bốn điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng.

(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Xét tứ giác $D N H P$ có $\hat{D N H} = \hat{D P H} = 90 °$ nên tứ giác $D N H P$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $D H .$

Xét tứ giác $D P Q C$ có $\hat{D P C} = \hat{D Q C} = 90 °$ nên $D P Q C$ nội tiếp đường tròn đường kính $D C .$

c) Theo câu b, tứ giác $D N H P$ nội tiếp nên $\hat{N_{1}} = \hat{D_{4}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $H P) .$

Xét $Δ H D C$ vuông tại $D$ và $Δ H D P$ vuông tại $P$ có $\hat{C_{1}} = \hat{D_{4}}$ (cùng phụ với $\hat{D H C}) .$

Do đó $Δ H D C ∽ Δ H D P$ (g.g). Suy ra $\hat{C_{1}} = \hat{N_{1}} . (1)$

Chứng minh tương tự, ta cũng có $\hat{B_{1}} = \hat{P_{1}} (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $Δ H N P ∽ Δ H C B$ (g.g).

d) Theo câu b, tứ giác $B M N D$ nội tiếp nên $\hat{N_{2}} = \hat{D_{1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $B M)$

Ta có $D M // C F$ (cùng vuông góc với $A B)$ nên $\hat{C_{1}} = \hat{D_{1}}$ (hai góc đồng vị).

Do đó $\hat{C_{1}} = \hat{N_{2}} (3)$

Từ (1) và (3) suy ra $\hat{N_{1}} = \hat{N_{2}}$ mà $B, N, H$ thẳng hàng nên $M, N, P$ thẳng hàng. (4)

Chứng minh tương tự, ta cũng có $N, P, Q$ thẳng hàng. (5)

Từ (4) và (5) suy ra bốn điểm $M, N, P, Q$ thẳng hàng.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O) .$ Điểm $M$ thuộc cung $B C$ không chứa $A .$ Gọi $N, P, Q$ tương ứng là hình chiếu của $M$ lên $A B, B C, C A .$ Chứng minh $N, P, Q$ thẳng hàng.

Bài 2. Cho $M$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B = 2 R,$ kẻ $M H ⊥ A B (H \in A B) .$ Gọi $I, K$ tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp $Δ A M H,$ $Δ B M H .$ Lấy $N \in M A, P \in M B$ sao cho $M N = M P = M H .$ Chứng minh bốn điểm $N, I, K, P$ thẳng hàng.

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học