(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

Trang trước Trang sau

Chứng minh vuông góc nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. Các dạng bài và ví dụ minh họa

Dạng 1. Sử dụng tính chất từ vuông góc đến song song

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ nhọn, $A B < A C$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ . Kẻ đường kính $A D$ , đường cao $A H, B E$ vuông góc với $A D$ tại $E$ . Chứng minh $H E ⊥ A C$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

Suy ra $\hat{B A E} + \hat{B H O} = 180 °$ nên $\hat{B A E} = \hat{E H C} .$

Mà $\hat{B A E} = \hat{B C D} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{B D}$ nên $\hat{B C D} = \hat{E H C} .$

Ta thấy $\hat{B C D}$ và $\hat{E H C}$ ở vị trí so le trong suy ra $H E // C D .$

Mà $D C ⊥ A C$ nên $H E ⊥ A C$ (từ vuông góc đến song song).

Dạng 2. Sử dụng định lí Pythagore đảo

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . Trên $A H$ lấy $D$ , trên tia đối của tia $H A$ lấy điểm $E$ sao cho $A D = H E$ . Đường thẳng vuông góc với $A H$ tại $D$ cắt $A C$ tại $F$ . Chứng minh $E B ⊥ E F .$

Phân tích:

Để chứng minh $E B ⊥ E F$ ta sử dụng định lí Pythagore đảo trong tam giác $B E F .$

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

Dạng 3. Sử dụng tính chất ba đồng quy trong tam giác

Ví dụ 3. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B$ , điểm $S$ nằm ngoài đường tròn. Biết $S A$ và $S B$ cắt đường tròn tại $M, N$ . Gọi $H$ là giao điểm của $B M$ và $A N$ . Chứng minh rằng $S H ⊥ A B$ .

Dạng 4. Sử dụng tính chất bắc cầu

Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C (A B < A C)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Vẽ các đường cao $B E, C F$ của tam giác $A B C$ . Chứng minh $A O ⊥ E F$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

Khi đó $\hat{A O B} = 2 \hat{A C B}$ nên $\hat{O A B} = \frac{180 ° - 2 \hat{A C B}}{2} = 90 ° - \hat{A C B}$ .

Do đó $\hat{I A F} = 90 ° - \hat{A C B} (1) .$

Vì $\hat{B E C} = \hat{B F C} = 90 °$ nên hai điểm $E$ và $F$ nằm trên đường tròn đường kính $B C$ có tâm là trung điểm của đoạn $B C .$

Suy ra bốn điểm $B, F, E, C$ cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác $B F E C$ nội tiếp.

Do đó $\hat{A F E} = \hat{A C B}$ nên $\hat{A F I} = \hat{A C B} (2) .$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\hat{I A F} + \hat{A F I} = 90 ° - \hat{A C B} + \hat{A C B} = 90 ° .$

Tam giác $A T F$ có $\hat{I A F} + \hat{A F I} = 90 °$ nên $\hat{A I F} = 90 °$ hay $A O ⊥ E F$ .

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , đường cao $A H$ . Vẽ đường kính $C C^{'}, A K ⊥ C C^{'}$ tứ giác $A K H C$ là hình gì? Tại sao?

Bài 2. Cho tam giác $A B C (A B < A C)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Kẻ tiếp tuyến $x y$ với đường tròn $(O)$ tại điểm $A$ . Vẽ các đường cao $B E, C F$ của tam giác $A B C$ . Chứng minh $A O ⊥ E F .$

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học