(Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác trong Hình học phẳng

Trang trước Trang sau

Một số dạng toán khác trong Hình học phẳng nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau

Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B,$ dây $C D$ không cắt đường kính $A B$ (thứ tự theo tứ giác $A C D B) .$ Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $C D .$ Chứng minh rằng $C H = D K .$

(Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác

Xét $Δ O C D$ cân tại $O$ (do $O C = O D)$ nên đường cao $O I$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, do đó $I$ là trung điểm của $C D,$ hay $I C = I D .$

Tacó $O I // A H // B K$ (cùng vuông góc với $H K) .$

Xét $Δ A B H$ có $O$ là trung điểm của $A B$ và $O E // A H$ nên $O E$ là đường trung bình của $Δ A B H .$ Do đó $E$ là trung điểm của $B H .$

Xét $Δ B H K$ có $E$ là trung điểm của $B H$ và $E I // B K$ nên $E I$ là đường trung bình của $Δ B H K .$ Do đó $I$ là trung điểm của $H K,$ hay $I H = I K .$

Khi đó $I H - I C = I K - I D,$ hay $C H = D K .$

Ví dụ 2. Trong hình vuông $A B C D$ và nửa đường tròn đường kính $A D,$ vẽ cung $A C$ mà tâm là $D .$ Nối $D$ với điểm $P$ bất kỳ trên cung $A C, D P$ cắt nửa đường tròn đường kính $A D$ ở $K .$ Chứng minh $P K$ bằng khoảng cách từ $P$ đến $A B .$

(Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác

Ta lại có $D A = D P$ nên $Δ D A P$ cân tại $D$ ,do đó $\hat{D A P} = \hat{D P A} .$

Do đó: $\hat{D P A} = \hat{A P I}$ hay $\hat{A P K} = \hat{A P I} .$

Do $K$ nằm trên nửa đường tròn đường kính $A D$ nên $\hat{A K D} = 90 °,$ suy ra $\hat{A K P} = 90 ° .$

Xét $Δ A P K$ (vuông tại $K)$ và $Δ A P I$ (vuông tại I) có: $A P$ là cạnh chung và $\hat{A P K} = \hat{A P I} .$

Do đó $\hat{A P K} = \hat{A P I}$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $P K = P I$ (hai cạnh tương ứng).

Dạng 2. Chứng minh góc bằng nhau

Ví dụ 3. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O^{'})$ không cùng bán kính cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính $A C$ và AD của $(O)$ và $(O^{'})$ . Tia $C A$ cắt đường tròn $(O^{'})$ tại $F,$ tia $D A$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E .$ Chứng minh $\hat{E F C} = \hat{A D B} .$

Hướng dẫn giải:

Xét đường tròn $(O)$ có $\hat{C E A} = \hat{C B A} = 90 °$ (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét đường tròn $(O^{'})$ có $\hat{A F D} = \hat{A B D} = 90 °$ (hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $\hat{C E D} = \hat{C F D} = 90 °$ nên hai điểm E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính $C D,$ do đó tứ giác $E F D C$ nội tiếp, suy ra $\hat{E F C} = \hat{E D C} .$

Ta có $\hat{A B C} = \hat{A B D} = 90 °$ nên $\hat{C B D} = \hat{A B C} + \hat{A B D} = 90 ° + 90 ° = 180 °,$ do đó $C, B, D$ thẳng hàng.

Do đó $\hat{A D B} = \hat{E D C},$ nên $\hat{E F C} = \hat{A D B} .$

Ví dụ 4. Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B,$ C là điểm chính giữa của cung $A B .$ Gọi M là điểm trên cung nhỏ BC. Hạ $C I ⊥ A M (I \in A M) .$ Chứng minh rằng $\hat{M O I} = \hat{M B C} .$

(Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác

Xét nửa đường tròn $(O)$ có $\hat{C M A}, \hat{C O A}$ lần lượt là góc nội tiếp chắn cung CA nên $\hat{C M I} = \frac{1}{2} \hat{C O A} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 ° .$

Ta có $\hat{C I M} = 90 °$ và $\hat{C M I} = 45 °$ nên $Δ C I M$ vuông cân tại I. Do đó IC = IM.

Xét $Δ I O M$ và $Δ I O C$ có: $O I$ là cạnh chung, IC = IM, OC = OM

Do đó $Δ I O M = Δ I O C$ (c.c.c), suy ra $\hat{M O I} = \hat{C O I}$ (hai góc tương ứng). (1)

Ta có $\hat{A I C} = 90 °$ và $\hat{A O C} = 90 °$ nên hai điểm I, O cùng nằm trên đường tròn đường kính AC, do đó tứ giác $C I O A$ nội tiếp, suy ra $\hat{C O I} = \hat{C A I}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $C I) .$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{M O I} = \hat{C A I} .$

Mặt khác, $\hat{C A I} = \hat{C A M} = \hat{C B M}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CM của nửa đường tròn $(O)$ )

Do đó $\hat{M O I} = \hat{M B C} .$

Dạng 3. Chứng minh tia phân giác, tam giác cân, tam giác đều

Ví dụ 5. Cho $Δ A B C$ đều, nội tiếp trong đường tròn $(O; R) .$ Gọi $A I$ là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (D ≠ A và D ≠ C).

a) Chứng minh AI là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

b) Trên tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Chứng minh rằng $Δ C D E$ đều và $D I ⊥ C E .$

Phân tích:

⦁ Ta chứng minh được $\hat{B A I} = \hat{C A I}$ thì AI là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

⦁ Tam giác cân có một góc bằng $60 °$ là tam giác đều.

(Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác

b) Ta có: $D E = D C$ nên $Δ D E C$ cân tại D.

Mà $\hat{B D C} = \hat{B A C} = 60 °$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) do đó $Δ D E C$ đều.

Ta có $\hat{B D I} = \hat{B A I}$ (hai góc nội tiếp chắn cung $B I),$ $\hat{I D C} = \hat{I A C}$ (hai góc nội tiếp chắn cung CI)

Mà $\hat{B A I} = \hat{I A C}$ (chứng minh câu a) nên $\hat{B D I} = \hat{C D I} .$

Suy ra $D I$ là phân giác của $\hat{B D C}$ .

Ta có $Δ D E C$ đều nên đường phân giác DI đồng thời là đường cao của tam giác hay $D I ⊥ C E .$

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho một điểm M nằm bên ngoài đường tròn $(O; R) .$ Kẻ hai tiếp tuyến $M N, M P$ của đường tròn $(O)$ $(N, P$ là hai tiếp điểm). Qua M vẽ đường thẳng không đi qua O, cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho điểm A nằm giữa hai điểm M, B và tia MB nằm giữa hai tia MO, MN.

a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn.

b) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB, so sánh $\hat{M O N}$ và $\hat{M H N} .$

Bài 2. Cho đường tròn $(O)$ có dây cung BC song song với tiếp tuyến $A x$ tại A của đường tròn. Lấy điểm E thuộc cung BC không chứa A, tia EC cắt tiếp tuyến $A x$ ở M. Đoạn thẳng MB cắt đường tròn $(O)$ ở D, tia $E D$ cắt đoạn thẳng AM ở I. Chứng minh rằng:

a) $\hat{I M D} = \hat{I E M}$ và $I M^{2} = I E \cdot I D$ ;

b) Ilà trung điểm của đoan thẳng AM.

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học