(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

Trang trước Trang sau

Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. Các dạng bài và ví dụ minh họa

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo các trường hợp đồng dạng

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $O$ là trung điểm của $A B$ , $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $O C$ . Chứng minh tam giác $O H B$ và tam giác $O B C$ đồng dạng.

Phân tích:

• Tam giác $O H B$ và tam giác $O B C$ có chung góc đỉnh $O$ , nếu có $\frac{O B}{C O} = \frac{H O}{O B}$ thì hai tam giác sẽ đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

• Với $O$ là trung điểm $A B$ thì $O A = O B$ .

• Nếu chỉ ra $\frac{O A}{C O} = \frac{H O}{O A}$ thì bài toán được giải quyết.

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), A B < A C$ . Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau ở $P, M$ là trung điểm của $B C$ . Nối $A P$ cắt $(O)$ tại $D$ .

a) Chứng minh $Δ D B P ∽ Δ B A P$ .

b) Chứng minh $Δ P D M ∽ Δ P O A$ .

c) Chứng minh $Δ O M A ∽ Δ D M P$ .

d) Chứng minh $Δ A M C ∽ Δ C M D$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

b) Từ câu a, $Δ D B P ∽ Δ B A P$ suy ra $\frac{P B}{P D} = \frac{P A}{P B}$ hay $P B^{2} = P D \cdot P A$ . (1)

Xét $Δ P B M$ và $Δ P O B$ có: $\hat{P M B} = \hat{P B O} = 90 °$ ; $\hat{B P O}$ là góc chung.

Do đó $Δ P B M ∽ Δ P O B (g.g) .$ Suy ra $\frac{P B}{P O} = \frac{P M}{P B}$ hay $P B^{2} = P M \cdot P O$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P D \cdot P A = P M \cdot P O$ hay $\frac{P D}{P M} = \frac{P O}{P A}$ .

Xét $Δ P D M$ và $Δ P O A$ có: $\frac{P D}{P M} = \frac{P O}{P A}; \hat{M P D} = \hat{A P O}$ .

Do đó $Δ P D M ∽ Δ P O A (c.g.c)$ .

c) Ta có $Δ P D M ∽ Δ P O A$ (c.g.c) suy ra $\hat{P D M} = \hat{P O A}$ hay $\hat{P D M} = \hat{M O A} (3)$

Vì $\hat{P D M} = \hat{M O A}$ nên tứ giác $O A D M$ nội tiếp.

Xét $Δ O B M$ và $Δ O P B$ có: $\hat{O M B} = \hat{O B P} = 90 °$ ; $\hat{B O P}$ chung.

Do đó $Δ O B M ∽ Δ O P B (g.g) .$ Suy ra $\frac{O B}{O M} = \frac{O P}{O B}$ hay $O B^{2} = O M \cdot O P$ .

Do đó $O D^{2} = O M \cdot O P$ (vì $O B = O D)$ nên $\frac{O D}{O M} = \frac{O P}{O D}$ .

Xét $Δ O D M$ và $Δ O P D$ có: $\hat{D O M} = \hat{P O D}; \frac{O D}{O M} = \frac{O P}{O D}$ .

Do đó $Δ O D M ∽ Δ O P D (c.g.c)$ suy ra $\hat{O D M} = \hat{O P D}$ hay $\hat{O D M} = \hat{M P D}$ .

Mà $\hat{O D M} = \hat{O A M}$ (do tứ giác $O A D M$ nội tiếp) suy ra $\hat{M P D} = \hat{O A M} (4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ ta được $Δ O M A ∽ Δ D M P (g.g)$ .

d) Ta có: $Δ O M P ∽ Δ D M P$ suy ra $\hat{A M O} = \hat{D M P}$ nên $\hat{A M C} = \hat{C M D} (5)$

Do đó $Δ O M A ∽ Δ D M P$ suy ra $\frac{O M}{D M} = \frac{A M}{M P}$ hay $O M \cdot M P = A M \cdot D M$ .

Xét $Δ M C O$ và $Δ M P C$ có: $\hat{O M C} = \hat{C B P} = 90 °$ ; $\hat{C O M} = \hat{M C P}$ (cùng phụ $\hat{O C M})$ .

Do đó $Δ M C O ∽ Δ M P C (g.g) .$ Suy ra $\frac{M C}{M P} = \frac{O M}{M C}$ hay $M C^{2} = O M \cdot M P$ .

Do đó $A M \cdot D M = M C^{2}$ nên $\frac{A M}{M C} = \frac{M C}{D M} (6) .$

Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $Δ A M C ∽ Δ C M D (c.g.c)$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

⦁ Chứng minh ➀ như sau:

Xét hai tam giác vuông $A H C$ và $B A C$ có $\hat{C}$ chung.

Suy ra $Δ A H C ∽ Δ B A C (c.g.c)$

Do đó $\frac{H C}{A C} = \frac{A C}{B C}$ suy ra $A C^{2} = B C \cdot H C$ hay $b^{2} = a b^{'} .$ Tương tự, ta có $c^{2} = a c^{'} .$

⦁ Chứng minh ➁ như sau:

Xét $Δ A H B$ và $Δ C H A$ có: $\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90 °$ ; $\hat{A B H} = \hat{C A H}$ (cùng phụ $\hat{B A H})$

Suy ra $Δ A H B ∽ Δ C H A (c.g.c)$ .

Do đó $\frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H}$ suy ra $A H^{2} = B H \cdot H C$ hay $h^{2} = b^{'} c^{'} .$

Dạng 2. Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng những công thức liên quan đến tam giác vuông:

• Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

• Định lí Pythagore.

• Các phép biến đổi biểu thức đại số.

Ví dụ 3. Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Đường cao $A H$ . Gọi $E, F$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lần lượt lên $A B, A C$ .

a) Chứng minh: $B E^{2} + 3 A H^{2} + C F^{2} = B C^{2}$ .

b) Chứng minh: $A H^{3} = B E \cdot C F \cdot B C$ .

c) Chứng minh: $\frac{A B^{3}}{A C^{3}} = \frac{B E}{C F}$ .

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

Áp dụng Định lí Pythagore:

• Xét tam giác $A B H$ vuông tại $H$ , ta có: $B H^{2} = B E^{2} + E H^{2}$ .

• Xét tam giác $A H C$ vuông tại $H$ , ta có: $C H^{2} = C F^{2} + H F^{2}$ .

Ta có $B C^{2} = B E^{2} + 2 A H^{2} + C F^{2} + (H F^{2} + E H^{2})$ .

• Xét tam giác vuông $A E H$ , ta có: $A H^{2} = A E^{2} + E H^{2}$

Mà $H F = A E$ (vì tứ giác $A E H F$ là hình chữ nhật) nên $H F^{2} + E H^{2} = A H^{2} .$

Do đó $B C^{2} = B E^{2} + 2 A H^{2} + C F^{2} + (H F^{2} + E H^{2})$ ;

$A H^{2} + C F^{2} + A H^{2} = B E^{2} + 3 A H^{2} + C F^{2}$ .

b) Từ Lưu ý ➁ ở phần Ví dụ 2, ta áp dụng vào các tam giác vuông như sau:

• Xét $Δ A B C$ vuông có đường cao $A H$ , ta có:

$A H^{2} = B H \cdot C H$ hay $A H^{4} = B H^{2} \cdot C H^{2} (2) .$

• Xét $Δ A B H$ vuông có đường cao $H E$ , ta có: $B H^{2} = B E \cdot A B (3) .$

• Xét $Δ A C H$ vuông có đường cao $H F$ , ta có: $C H^{2} = C F \cdot A C (4)$

Từ $(2), (3)$ và $(4)$ suy ra $A H^{4} = B E \cdot C F \cdot A B \cdot A C$ .

Mà $A B \cdot A C = B C \cdot A H$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông $A B C$ ) nên

$A H^{4} = B E \cdot C F \cdot B C \cdot A H$ hay $A H^{3} = B E \cdot C F \cdot B C$ .

c) Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $\frac{B H^{2}}{C H^{2}} = \frac{B E \cdot A B}{C F \cdot A C}$ hay $\frac{B E}{C F} = \frac{B H^{2}}{C H^{2}} \cdot \frac{A C}{A B} (5)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A B C$ ta có:

• $A B^{2} = B H \cdot B C$ hay $A B^{4} = B H^{2} \cdot B C^{2}$ ;

• $A C^{2} = C H \cdot B C$ hay $A C^{4} = C H^{2} \cdot B C^{2}$ .

Do đó $\frac{A B^{4}}{A C^{4}} = \frac{B H^{2}}{C H^{2}} (6)$

Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $\frac{A B^{3}}{A C^{3}} = \frac{B E}{C F}$ .

Dạng 3. Chứng minh hệ thức độ dài liên quan đến định lí Thalès và tam giác đồng dạng

Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$ cân tại A nội tiếp đường tròn $(O)$ , $M$ là một điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ $A C$ . Tia $A M$ cắt $B C$ tại $N$ . Chứng minh $A B^{2} = A M \cdot A N$ .

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 5. Cho hình vuông $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ . Gọi $P$ là một điểm trên cung nhỏ $C D$ . Chứng minh $P A + P C = \sqrt{2} \cdot P B .$

Phân tích: $P A + P C = \sqrt{2} \cdot P B$ hay $\frac{P A}{P B} + \frac{P C}{P B} = \sqrt{2} .$

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

Xét $Δ P A K$ và $Δ P B C$ có:

$\hat{P A K} = \hat{P B C}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $C P);$

$\hat{A P K} = \hat{C P B}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Do đó $Δ P A K ∽ Δ P B C (g.g)$ . Suy ra $\frac{P A}{P B} = \frac{A K}{B C} (2) .$

Cộng vế theo vế $(1)$ và $(2)$ , ta được:

$\frac{P A}{P B} + \frac{P C}{P B} = \frac{A K}{B C} + \frac{C K}{A B} = \frac{A K + C K}{A B} = \frac{A C}{A B} = \sqrt{2} .$

Hay: $P A + P C = \sqrt{2} \cdot P B .$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H (H \in B C) .$

a) Cho BC = 12; CH = 9. Tính số đo $\hat{A B C}$ .

b) Lấy điểm $D$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C .$ Kẻ $A K ⊥ B D .$

Chứng minh rằng $B K \cdot B D = B H \cdot B C .$

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác $B A D$ vuông cân tại $B, A C F$ vuông cân tại $C .$ Gọi $H$ là giao điểm của $A B$ và $D C, K$ là giao điểm của $A C$ và $B F .$ Chứng minh:

a) $A H = A K;$

b) $A H^{2} = A K^{2} = H B \cdot K C .$

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học