(Ôn thi Toán vào 10) Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Độ dài cung tròn

3. Diện tích hình vành khuyên

$S=\pi \left(R^2-r^2\right).$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Tính độ dài của đường tròn, cung tròn và các yếu tố liên quan

Ví dụ 1. Tính độ dài cung $135°$ của một đường tròn có bán kính $9\text{cm.}$ (Lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Cung $135°$,bán kính $R=9\text{cm}$có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}\approx \frac{3,14\cdot 9\cdot 135}{180}=21,195\left(\text{cm}\right).$

Ví dụ 2. Hãy điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (lấy số $\pi \approx 3,14$, đơn vị độ dài là cm, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Hướng dẫn giải:

Công thức tính chu vi của đường tròn bán kính $R,$ đường kính $d$ là: $C=\pi d=2\pi R.$

Từ đó suy ra $d=2R=\frac{C}{\pi }$ và $R=\frac{d}{2}=\frac{C}{2\pi }.$

Ta hoàn thành được bảng sau:

Ví dụ 3. Hãy điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (lấy số $\pi \approx 3,14,$ đơn vị độ dài là cm, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Hướng dẫn giải:

Trong một đường tròn bán kính $R,$ độ dài $l$ của cung tròn có số đo $n°$ là: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

Từ đó suy ra $R=\frac{180l}{\pi n}$ và $n=\frac{180l}{\pi R}.$

Ta hoàn thành được bảng sau:

Dạng 2. Tính diện tích của hình tròn, hình quạt tròn và các yếu tố liên quan

Ví dụ 4. Tính diện tích hình quạt tròn có bán kính $R=15\text{cm,}$ ứng với cung $60°$ (lấy $\pi$ theo máy tính và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của ${\text{cm}}^{\text{2}}).$

Hướng dẫn giải:

Hình quạt tròn có bán kính $R=15\text{cm,}$ ứng với cung $60°$ có diện tích là:

$\text{S}=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot {15}^2\cdot 60}{360}=37,5\pi \approx 117,81\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

Ví dụ 5. Hãy điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (lấy số $\pi \approx 3,14,$ đơn vị độ dài là cm, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai và làm tròn kết quả đến độ):

Hướng dẫn giải:

– Diện tích của hình tròn bán kính $R$ là $S=\pi R^2.$ Từ đó suy ra $R=\sqrt{\frac{S}{\pi }}$ (do R > 0).

– Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung có số đo $n°,$ độ dài $l$ là: $S_{hq}=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{lR}{2}.$

Từ đó suy ra $R=\sqrt{\frac{360S_{hq}}{\pi n}}=\frac{2S_{hq}}{l};$ $n=\frac{360S_{hq}}{\pi R^2}$ và $l=\frac{2S_{hq}}{R}.$

Ta hoàn thành được bảng sau:

Ví dụ 6. Tính diện tích hình được giới hạn bởi cung $MN$ và dây cung $MN$ của đường tròn $\left(O;12\text{cm}\right),$ biết góc ở tâm $\widehat{MON}=90°$ (lấy $\pi$ theo máy tính và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của ${\text{cm}}^{\text{2}}).$

Xét $\Delta OMH$ vuông tại $H,$ ta có:

$OH=OM\cdot \cos \widehat{MOH}=12\cdot \cos 45°=6\sqrt{2}\text{(cm);}$

$MH=OM\cdot \sin \widehat{MOH}=12\cdot \sin 45°=6\sqrt{2}\text{(cm).}$

Do đó $MN=2\cdot 6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\text{(cm).}$

Diện tích tam giác $OMN$ là:

$S_{\Delta OMN}=\frac{1}{2}OH\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\sqrt{2}=18\sqrt{2}{\text{(cm}}^2\text{).}$

Góc ở tâm $\widehat{MON}=90°$ nên cung $MN$ có số đo là $90°.$

Diện tích hình quạt tròn $OMN$ là: ${\text{S}}_{\text{hình quạt}OMN}$$=\frac{\pi \cdot {12}^2\cdot 90}{360}=36\pi {\text{(cm}}^2\text{).}$

Diện tích hình được giới hạn bởi cung $MN$ và dây cung $MN$ của $\left(O\right)$ là:

$\text{S}={\text{S}}_{\text{hình quạt}OMN}-{\text{S}}_{\Delta OMN}$$=36\pi -18\sqrt{2}\approx 87,64{\text{(cm}}^2\text{).}$

Dạng 3. Tính diện tích hình vành khuyên và các yếu tố liên quan

Ví dụ 7. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn $\left(O;12\text{cm}\right)$và $\left(O;9\text{cm}\right)$(lấy $\pi$ theo máy tính và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của ${\text{cm}}^{\text{2}}).$

Hướng dẫn giải:

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn $\left(O;12\text{cm}\right)$và $\left(O;9\text{cm}\right)$là

$S=\pi \left(R^2-r^2\right)=\pi \left({12}^2-9^2\right)=63\pi \approx 197,92\left({\text{cm}}^{\text{2}}\right).$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Chu vi của một đường tròn là $220\text{cm,}$ cung $AB$ của đường tròn đó có độ dài $20\text{cm.}$ Tính góc ở tâm $AOB$ (làm tròn kết quả đến phút).

Bài 2. Cho $\left(O;3\text{cm}\right)$ và $AB=3\sqrt{3}\text{cm}.$

a) Tính độ dài cung nhỏ $AB.$

b) Tính diện tích hình quạt nằm trong góc ở tâm $AOB.$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Tổng hợp kiến thức hình học cơ bản

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán về đường cao và phân giác của tam giác nội tiếp đường tròn

• (Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán về cực trị hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác trong Hình học phẳng

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Hình học phẳng

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---