(Ôn thi Toán vào 10) Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai

Trang trước Trang sau

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

- Bộ đề thi Toán vào 10 năm 2025 có đầy đủ lời giải chi tiết:

Xem thử Bộ đề thi thử vào 10 Toán 2025 Xem thử Bộ đề thi vào 10 Toán 2025 Xem thử Chuyên đề Toán ôn vào 10

- Bộ đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng gồm 8 đề thi CHÍNH THỨC từ năm 2015 → 2024 có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu ôn thi Toán vào 10 Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng:

Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

(Ôn thi Toán vào 10) Phương trình không chứa tham số

I. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Phương trình bậc ba nhẩm được một nghiệm

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4 = 0.$

Phân tích: Phương trình này ta nhẩm được một nghiệm $x = 2$ (có thể dùng máy tính) nên ta sẽ tách được nhân tử $x - 2.$

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

$x^{3} - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4 = 0$

$x^{2} (x - 2) - 2 x (x - 2) - 2 (x - 2) = 0$

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Suy ra $x - 2 = 0$ hoặc $x^{2} - 2 x - 2 = 0$

$x = 2$ hoặc ${(x - 1)}^{2} = 3$

$x = 2$ hoặc $x = 1 + \sqrt{3}$ hoặc $x = 1 - \sqrt{3} .$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {2; 1 + \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3}} .$

Cách 2. Đặt phép chia đa thức $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ cho đa thức $x - 2$ ta được thương là $x^{2} - 2 x - 2$ nên ta có:

$x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4 = (x - 2) (x^{2} - 2 x - 2) .$

Do đó $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Suy ra $(x - 2) (x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Tương tự Cách 1, ta giải được $x \in {2; 1 + \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3}} .$

➣ Chú ý: Trong Cách 1, có thể có nhiều cách tách nhóm hạng tử khác.

Dạng 2. Phương trình trùng phương $a x^{4} + b x^{2} + c = 0 (a \neq 0)$

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^{4} - 9 x^{2} + 20 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Đặt $t = x^{2} (t \geq 0),$ khi đó (1) trở thành $t^{2} - 9 t + 20 = 0,$ suy ra $t = 4$ hoặc $t = 5$ (thoả mãn).

⦁ Với $t = 5$ ta có $x^{2} = 5,$ suy ra $x = \sqrt{5}$ hoặc $x = - \sqrt{5};$

⦁ Với $t = 4$ ta có $x^{2} = 4,$ suy ra $x = 2$ hoặc $x = - 2.$

Vậy $S = {- \sqrt{5}; - 2; 2; \sqrt{5}} .$

Ví dụ 3. Giải phương trình ${(x^{2} - 2 x)}^{2} + {(x - 1)}^{2} - 13 = 0.$

Phân tích:

Phương trình là phương trình bậc bốn nhưng nếu triển khai ra không phải dạng trùng phương. Ta tìm cách biến đổi để xuất hiện biểu thức có dạng trùng phương.

Hướng dẫn giải:

${(x^{2} - 2 x)}^{2} + {(x - 1)}^{2} - 13 = 0$

${(x^{2} - 2 x + 1 - 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2} - 13 = 0$

${[{(x - 1)}^{2} - 1]}^{2} + {(x + 1)}^{2} - 13 = 0$

${(x - 1)}^{4} - 2 {(x - 1)}^{2} + 1 + {(x - 1)}^{2} - 13 = 0$

${(x - 1)}^{4} - {(x - 1)}^{2} - 12 = 0.$

Đặt ${(x - 1)}^{2} = t (t \geq 0),$ khi đó ta có:

$t^{2} - t - 12 = 0$ nên $(t + 3) (t - 4) = 0,$ suy ra $t = - 3$ (không thỏa mãn) hoặc $t = 4$ (thỏa mãn).

Với $t = 4$ ta có ${(x - 1)}^{2} = 4$ nên $x - 1 = 2$ hoặc $x - 1 = - 2$

Suy ra $x = 3$ hoặc $x = - 1.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {- 1; 3} .$

Dạng 3. Phương trình bậc bốn dạng $(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m$ với $a + c = b + d = α$

Ví dụ 4. Giải phương trình $(x - 1) (x + 5) (x - 3) (x + 7) = 297.$

Hướng dẫn giải:

$(x - 1) (x + 5) (x - 3) (x + 7) = 297$

$[(x - 1) (x + 5)] [(x - 3) (x + 7)] = 297$

$(x^{2} + 4 x - 5) (x^{2} + 4 x - 21) = 297.$

Đặt $t = x^{2} + 4 x - 5,$ phương trình trên trở thành:

$t (t - 16) = 297$ hay $t^{2} - 16 t - 297 = 0$ suy ra $t = 27$ hoặc $t = - 11.$

⦁ Nếu $t = 27$ ta có $x^{2} + 4 x - 5 = 27$ hay $x^{2} + 4 x - 32 = 0$ suy ra $x = 4$ hoặc $x = - 8.$

⦁ Nếu $t = - 11$ ta có $x^{2} + 4 x - 5 = - 11$ hay $x^{2} + 4 x + 6 = 0.$

Phương trình có $Δ^{'} = 2^{2} - 1 \cdot 6 = 4 - 6 = - 2 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {- 4; 8} .$

Ví dụ 5. Giải phương trình $(2 x + 1) {(x + 1)}^{2} (2 x + 3) = 18.$

Hướng dẫn giải:

$(2 x + 1) {(x + 1)}^{2} (2 x + 3) = 18$

$(x^{2} + 2 x + 1) [(2 x + 1) (2 x + 3)] = 18$

$(x^{2} + 2 x + 1) (4 x^{2} + 8 x + 3) = 18$

$(4 x^{2} + 8 x + 4) (4 x^{2} + 8 x + 3) = 72.$

Đặt $4 x^{2} + 8 x + 4 = t (t \geq 0) .$

Khi đó phương trình trên trở thành:

$t (t - 1) = 72$ hay $t^{2} - t - 72 = 0,$ suy ra $t = 9$ (thỏa mãn) hoặc $t = - 8$ (không thỏa mãn).

Với $t = 9$ ta có $4 x^{2} + 8 x + 4 = 9$ hay $4 x^{2} + 8 x - 5 = 0$ suy ra $x = \frac{- 5}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{2} .$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {\frac{- 5}{2}; \frac{1}{2}} .$

Dạng 4. Phương trình bậc bốn dạng ${(x + a)}^{4} + {(x + b)}^{4} = c$

Ví dụ 6. Giải phương trình ${(x - 1)}^{4} + {(x - 3)}^{4} = 16.$

Hướng dẫn giải:

Đặt $t = x - 2,$ khi đó phương trình đã cho trở thành:

${(t + 1)}^{4} + {(t - 1)}^{4} = 16$

$(t^{4} + 4 t^{3} + 6 t^{2} + 4 t + 1) + (t^{4} - 4 t^{3} + 6 t^{2} - 4 t + 1) = 16$

$2 t^{4} + 12 t^{2} + 2 = 16$

$t^{4} + 6 t^{2} - 7 = 0 (1)$

Đặt $t^{2} = k (k \geq 0),$ khi đó phương trình (1) trở thành:

$k^{2} + 6 k - 7 = 0,$ suy ra $k = 1$ (thỏa mãn) hoặc $k = - 7$ (không thỏa mãn).

Với $k = 1$ ta có $t^{2} = 1$ suy ra $t = 1$ hoặc $t = - 1.$

⦁ Với $t = 1$ ta có $x - 2 = 1$ suy ra $x = 3.$

⦁Với $t = - 1$ ta có $x - 2 = - 1$ suy ra $x = 1.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {3; 1} .$

Dạng 5. Phương trình bậc bốn dạng $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} \pm b x + a = 0$

Ví dụ 7. Giải phương trình $3 x^{4} - 16 x^{3} + 26 x^{2} - 16 x + 3 = 0.$

Hướng dẫn giải:

Trường hợp 1. Xét $x = 0$ thay vào phương trình ta được: $3 = 0$ (vô lí).

Do đó $x = 0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Trường hợp 2. Xét $x \neq 0,$ chia hai vế của phương trình cho $x^{2}$ ta được:

$3 x^{2} - 16 x + 26 - \frac{16}{x} + \frac{3}{x^{2}} = 0$ hay $3 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 16 (x + \frac{1}{x}) + 26 = 0$

Đặt $x + \frac{1}{x} = t,$ ta có $t^{2} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2.$

Suy ra $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2.$

Khi đó ta có phương trình:

$3 (t^{2} - 2) - 16 t + 26 = 0$ hay $3 t^{2} - 16 t + 20 = 0$ suy ra $t = \frac{10}{3}$ hoặc $t = 2.$

⦁ Nếu $t = 2$ thì $x + \frac{1}{x} = 2$ suy ra $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ hay ${(x - 1)}^{2} = 0,$ suy ra $x = 1.$

⦁ Nếu $t = \frac{10}{3}$ thì $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ suy ra $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0,$ suy ra $x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = 3.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {\frac{1}{3}; 1; 3} .$

Dạng 6. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở Bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 8. Giải phương trình: $\frac{x - 2}{x + 8} + \frac{1}{x} = \frac{8}{x (x + 8)} .$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: $x \neq 0, x \neq - 8.$

$\frac{x (x - 2)}{x (x + 8)} + \frac{x + 8}{x (x + 8)} = \frac{8}{x (x + 8)}$

$x (x - 2) + x + 8 = 8$

$x^{2} - 2 x + x + 8 = 8$

$x^{2} - x = 0$

$x (x - 1) = 0$

Suy ra $x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = 1$ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {1} .$

Ví dụ 9. Giải phương trình: $\frac{21}{x^{2} - 4 x + 10} = x^{2} - 4 x + 6.$

Hướng dẫn giải:

Đặt $x^{2} - 4 x + 10 = t (t \geq 6),$ khi đó phương trình đã cho trở thành:

$\frac{21}{t} = t - 4$

$t^{2} - 4 t - 21 = 0$

$(t - 7) (t + 3) = 0$

Suy ra $t = 7$ (thỏa mãn) hoặc $t = - 3$ (không thỏa mãn)

Với $t = 7$ có $x^{2} - 4 x + 10 = 7$ hay $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Suy ra $(x - 1) (x - 3) = 0$ nên $x = 1$ hoặc $x = 3.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {1; 3} .$

Dạng 7. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 10. Giải phương trình $| x^{2} - 2 x - 2 | = | x^{2} + 2 x | .$

Hướng dẫn giải:

Giải phương trình: $| x^{2} - 2 x - 2 | = | x^{2} + 2 x |$

(Ôn thi Toán vào 10) Phương trình không chứa tham số

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {- \frac{1}{2}; - 1; 1} .$

Ví dụ 11. Giải phương trình $| x^{2} + x | = - x^{2} + x + 2.$

Hướng dẫn giải:

⦁ Đặt điều kiện $- x^{2} + x + 2 \geq 0,$

$x^{2} - x - 2 \leq 0$

$(x - 2) (x + 1) \leq 0$

(Ôn thi Toán vào 10) Phương trình không chứa tham số

⦁ Khi đó ta xét hai trường hợp:

(Ôn thi Toán vào 10) Phương trình không chứa tham số

Từ hai trường hợp trên ta có kết quả $x \in {- 1; 1},$ các giá trị này của $x$ thỏa mãn điều kiện $(*) .$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = (- 1; 1) .$

Dạng 8. Phương trình chứa căn

Ví dụ 12. Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + 3} = 5 - 3 x .$

Hướng dẫn giải:

Đặt điều kiện $5 - 3 x \geq 0$ hay $x \leq \frac{5}{3},$ khi đó ta bình phương hai vế của phương trình:

$x^{2} + 3 = {(5 - 3 x)}^{2}$

$x^{2} + 3 = 25 - 30 x + 9 x^{2}$

$4 x^{2} - 15 x + 11 = 0$

Suy ra $x = 1$ (thỏa mãn $x \leq \frac{5}{3}),$ hoặc $x = \frac{11}{4}$ (không thỏa mãn $x \leq \frac{5}{3}) .$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

Ví dụ 13. Giải phương trình $3 x^{2} + 21 x + 18 + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = 2.$

Phân tích: Đây là dạng $a f (x) + b \sqrt{f (x)} + c = 0.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $x^{2} + 7 x + 7 \geq 0.$

Ta có $3 x^{2} + 21 x + 18 + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = 2$ suy ra $3 (x^{2} + 7 x + 7) + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 7} - 5 = 0.$

Đặt $\sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = t (t \geq 0),$ phương trình trở thành: $3 t^{2} + 2 t - 5 = 0.$

Suy ra $t = 1$ (thỏa mãn) hoặc $t = - \frac{5}{3}$ (không thỏa mãn).

Với $t = 1$ ta có: $\sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = 1$ nên $x^{2} + 7 x + 7 = 1$ hay $x^{2} + 7 x + 6 = 0$

Suy ra $x = - 1$ (thoả mãn) hoặc $x = - 6$ (thoả mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {- 6; - 1} .$

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải phương trình $4 x^{4} - 5 x^{2} - 9 = 0.$

Bài 2. Giải phương trình ${(x^{2} + 2 x)}^{2} - 6 x^{2} - 12 x + 9 = 0.$

................................

Xem thử Bộ đề thi thử vào 10 Toán 2025 Xem thử Bộ đề thi vào 10 Toán 2025 Xem thử Chuyên đề Toán ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học