(Ôn thi Toán vào 10) Phương trình chứa tham số (Phương trình quy về phương trình bậc hai)

Trang trước Trang sau

Phương trình chứa tham số (Phương trình quy về phương trình bậc hai) nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Phương trình bậc ba đưa được về dạng tích $(x - a) (a x^{2} + b x + c) = 0$

Ví dụ 1. Cho phương trình $x^{3} - 3 x^{2} + 3 m x + 3 m + 4 = 0.$ Tìm m để phương trình đã cho:

a) Có ba nghiệm phân biệt.

b) Có đúng hai nghiệm phân biệt.

c) Có đúng một nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $x^{3} - 3 x^{2} + 3 m x + 3 m + 4 = 0 (1)$

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 + 3 m (x + 1) = 0$

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) + 3 m (x + 1) = 0$

$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4 + 3 m) = 0$

Suy ra $x + 1 = 0$ hoặc $x^{2} - 4 x + 4 + 3 m = 0$

Do đó $x = - 1$ hoặc $x^{2} - 4 x + 4 + 3 m = 0. (2)$

Phương trình $(2)$ có $Δ^{'} = {(- 2)}^{2} - (4 + 3 m) = - 3 m .$

a) Phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt khác $- 1,$ tức là cần hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:

⦁ $Δ^{'} > 0,$ tức là $- 3 m > 0,$ suy ra $m < 0;$

⦁ ${(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) + 4 + 3 m \neq 0$ hay $9 + 3 m \neq 0$ suy ra $m \neq - 3.$

Vậy $m < 0, m \neq - 3$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. Phương trình $(2)$ có nghiệm kép khác $- 1.$

Để phương trình $(2)$ có nghiệm kép thì $Δ^{'} = 0,$ tức là $- 3 m = 0,$ suy ra $m = 0.$

Khi đó, nghiệm kép đó là $x = - \frac{- 4}{1} = 4 \neq - 1$ (luôn đúng).

Do đó với $m = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2. Phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm $x = - 1,$ tức là cần hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:

⦁ $Δ^{'} > 0,$ tức là $- 3 m > 0,$ suy ra $m < 0;$

⦁ ${(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) + 4 + 3 m = 0$ hay $9 + 3 m = 0,$ suy ra $m = - 3.$

Trong trường hợp này, ta được kết quả $m = - 3$ .

Vậy $m \in {0; - 3}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Phương trình $(1)$ có đúng một nghiệm, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. Phương trình $(2)$ vô nghiệm khi và chỉ khi $Δ^{'} < 0,$ tức là $- 3 m < 0,$ suy ra $m > 0.$

Trường hợp 2. Phương trình $(2)$ có nghiệm kép bằng $- 1.$

Tuy nhiên, theo Trường hợp 1 của câu b, thì trường hợp này không xảy ra bởi nếu phương trình $(2)$ có nghiệm kép thì nghiệm kép này luôn khác $- 1.$

Vậy $m > 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Dạng 2. Phương trình trùng phương

Xét bài toán: Tìm m để phương trình $a x^{4} + b x^{2} + c = 0 (a \neq 0) (1)$

a) Có bốn nghiệm phân biệt.

b) Có đúng ba nghiệm phân biệt.

c) Có đúng hai nghiệm phân biệt.

d) Có đúng một nghiệm.

e) Vô nghiệm.

Ví dụ 2. Cho phương trình $x^{4} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m - 2 = 0.$ Tìm $m$ để phương trình đã cho:

a) Có bốn nghiệm phân biệt.

b) Có đúng ba nghiệm phân biệt.

c) Có đúng hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Đặt $t = x^{2} (t \geq 0) .$ Phương trình đã cho $x^{4} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m - 2 = 0 (1)$ trở thành:

$t^{2} - (2 m - 1) t + 2 m - 2 = 0 (2)$

Ta có $Δ = {[- (2 m - 1)]}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 m - 2)$ $= 4 m^{2} - 4 m + 1 - 8 m + 8$

$= 4 m^{2} - 12 m + 9 = {(2 m - 3)}^{2} \geq 0$ với mọi $m$ .

Khi đó phương trình $(2)$ có nghiệm $t_{1}, t_{2}$ với mọi $m$ .

Theo định lí Viète ta có: $t_{1} + t_{2} = 2 m - 1$ và

a) Phương trình $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(2)$ có hai nghiệm dương phân biệt $t_{1} > 0$ và $t_{2} > 0,$ suy ra $\{\begin{cases} Δ > 0 \\ t_{1} + t_{2} > 0 \\ t_{1} t_{2} > 0 \end{cases}$ tức là $\{\begin{cases} {(2 m - 3)}^{2} > 0 \\ 2 m - 1 > 0 \\ 2 m - 2 > 0 \end{cases}$

Do đó $\{\begin{cases} {(2 m - 3)}^{2} \neq 0 \\ m > \frac{1}{2} \\ m > 1 \end{cases}$ nên $\{\begin{cases} m \neq \frac{3}{2} \\ m > 1. \end{cases}$

Vậy $m > 1, m \neq \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Phương trình $(1)$ có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt $t_{1} = 0$ và $t_{2} > 0.$

⦁ Theo câu a, phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt $t_{1}, t_{2}$ khi $Δ > 0$ tức $m \neq \frac{3}{2} .$

⦁ Phương trình $(2)$ có hai nghiệm $t_{1} = 0$ và $t_{2} > 0$ khi $\{\begin{cases} 0^{2} - (2 m - 1) \cdot 0 + 2 m - 2 = 0 \\ t_{1} + t_{2} = 2 m - 1 > 0 \end{cases}$

Hay $\{\begin{cases} m = 1 \\ m > \frac{1}{2} \end{cases}$ nên $m = 1$ (thoả mãn $m \neq \frac{3}{2}) .$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Phương trình $(1)$ có đúng hai nghiệm phân biệt xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1. Phương trình $(2)$ có nghiệm kép $t_{1} = t_{2} > 0.$

Để phương trình $(2)$ có nghiệm kép thì $Δ = 0,$ tức là ${(2 m - 3)}^{2} = 0$ hay $m = \frac{3}{2} .$

Khi đó, phương trình $(2)$ có nghiệm kép là $t_{1} = t_{2} = 2 m - 1.$

Do đó, $t_{1} = t_{2} > 0$ tức là $2 m - 1 > 0$ hay $m > \frac{1}{2} .$

Trong trường hợp này, ta có kết quả là $m = \frac{3}{2} .$

Trường hợp 2. Phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt thoả mãn $t_{1} < 0 < t_{2},$ tức là hai nghiệm trái dấu, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\frac{c}{a} = 2 m - 2 < 0$ hay $m < 1.$

Vậy $m = \frac{3}{2}$ hoặc $m < 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Cách 2. (Đưa về phương trình tích)

Xét phương trình $x^{4} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m - 2 = 0 (1) .$

$x^{4} - 2 m x^{2} + x^{2} + 2 m - 2 = 0$

$x^{4} + x^{2} - 2 - 2 m x^{2} + 2 m = 0$

$(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) - 2 m (x^{2} - 1) = 0$

$(x^{2} - 1) (x^{2} + 2 - 2 m) = 0$

Suy ra $x^{2} - 1 = 0$ hoặc $x^{2} + 2 - 2 m = 0$

$x = 1$ hoặc $x = - 1$ hoặc $x^{2} = 2 m - 2. (2)$

a) Vì phương trình $(1)$ đã có hai nghiệm phân biệt là $x = \pm 1$ nên để phương trình $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1,$ điều này xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} 2 m - 2 > 0 \\ 2 m - 2 \neq 1^{2} \\ 2 m - 2 \neq {(- 1)}^{2} \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} m > 1 \\ m \neq \frac{3}{2} \\ m \neq \frac{3}{2} \end{cases}$ nên $\{\begin{cases} m > 1 \\ m \neq \frac{3}{2} . \end{cases}$

Vậy $m > 1, m \neq \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Vì phương trình $(1)$ đã có hai nghiệm phân biệt là $x = \pm 1$ nên để phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ phải có đúng một nghiệm $x = 0,$ tức là $2 m - 2 = 0$ hay $m = 1.$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

c) Vì phương trình $(1)$ đã có hai nghiệm phân biệt là $x = \pm 1$ nên để phương trình $(1)$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm là $x = \pm 1$ .