(Ôn thi Toán vào 10) Chuyên đề Hệ phương trình

Trang trước Trang sau

Chuyên đề Hệ phương trình nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

- Bộ đề thi Toán vào 10 năm 2025 có đầy đủ lời giải chi tiết:

Xem thử Bộ đề thi thử vào 10 Toán 2025 Xem thử Bộ đề thi vào 10 Toán 2025 Xem thử Chuyên đề Toán ôn vào 10

- Bộ đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng gồm 8 đề thi CHÍNH THỨC từ năm 2015 → 2024 có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu ôn thi Toán vào 10 Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng:

Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

(Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: (Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

•Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung $(x_{0}; y_{0})$ thì $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là một nghiệm của hệ (I).

•Nếu hai phương trình trên không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.

Giải hệ phương trình là tìm tập hợp nghiệm của nó.

Tập hợp nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng $(d_{1}) : a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ và $(d_{2}) : a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ .

• Nếu $(d_{1})$ cắt $(d_{2})$ thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

•Nếu $(d_{2}) // (d_{2})$ thì hệ (I) vô nghiệm.

•Nếu $(d_{1})$ trùng $(d_{2})$ thì hệ (I) có vô số nghiệm.

(Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

2. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Phép biến đổi tương đương các phương trình của hệ phương trình thu được một hệ phương trình tương đương.

Các phép biến đổi tương đương phương trình:

•Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với một biểu thức.

•Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một biểu thức khác 0 .

•Lũy thừa bậc lẻ hai vế của phương trình.

•Lũy thừa bậc chẵn hai vế của phương trình nếu hai vế cùng dấu.

3. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bản chất của giải hệ phương trình là biến đổi mỗi phương trình trong hệ, trong đó một trong hai phương trình của hệ chỉ còn một ẩn và thực hiện giải các phương trình đó.

a. Phương pháp cộng đại số

Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng Phương pháp cộng đại số, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. (Làm cho hai hệ số của ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. (Đưa về phương trình một ẩn) Cộng hay trừ từng vế hai phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

(Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế của phương trình $(2)$ với -2 , ta được hệ:

(Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

Trừ từng vế phương trình $(3)$ và $(4)$ ta được: 7y = 7 , tức là $y = 1.$

Thế y = 1 vào phương trình $(3)$ ta có: $- 2 x + 1 = 5$

$- 2 x = 4$

$x = - 2$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(- 2; 1)$ .

b. Phương pháp thế

Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng Phương pháp thế, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.

Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó vào Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị còn lại. Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 2.Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

(Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

Hướng dẫn giải

Từ phương trình $(1)$ ta có $y = 2 x + 5 (3)$

Thay $(3)$ vào phương trình $(2)$ , ta được: $x + 3 (5 + 2 x) = 1 (4)$

Giải phương trình $(4)$ : $x + 3 (5 + 2 x) = 1$

$x + 6 x + 15 = 1$

$7 x = - 14$

$x = - 2$

Thay $x = - 2$ vào phương trình $(3)$ ta có: $y = 2 \cdot (- 2) + 5 = 1.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(- 2; 1)$ .

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Các hệ số $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ là các số nguyên

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình (Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

Hướng dẫn giải

(Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

Dạng 2. Các hệ số $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ là các số hữu tỉ, vô tỉ

Phương pháp giải: Đối với hệ phương trình có các hệ số là các số hữu tỉ, vô tỉ; ta có thể làm trực tiếp bằng Phương pháp thế hoặc Phương pháp cộng đại số. Tuy nhiên, khi xuất hiện phân số làm quá trình thực hiện khó khăn hơn. Vì vậy, ta nên biến đổi để đưa về trình tương đương với hệ số nguyên để quá trình thực hiện dễ dàng hơn.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản