(Ôn thi Toán vào 10) Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các bài toán liên quan

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các bài toán liên quan nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}y=c^{\text{'}}\end{array}\right.$

Các số $a,b,c,a^{\text{'}},b^{\text{'}},c^{\text{'}}$ là các số thực cho trước và hai ẩn số là x và y. Khi các số $a,b,c,a^{\text{'}},b^{\text{'}},c^{\text{'}}$ không phải là các con số cụ thể, ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phụ thuộc tham số.

Khi đó ta có các điều kiện sau:

⦁ Hệ có nghiệm duy nhất khi $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}.$

⦁ Hệ vô nghiệm khi $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}\ne \frac{c}{c^{\text{'}}}.$

⦁ Hệ vô số nghiệm khi $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{c}{c^{\text{'}}}.$

2. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng $Ax+B=0$

⦁ Nếu $A=0,B=0$ thì phương trình có vô số nghiệm.

⦁ Nếu $A=0,B\ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.

⦁ Nếu $A\ne 0$ phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{B}{A}.$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Tìm giá trị tham số để hệ chứa tham số có nghiệm là $\left(x;y\right)=\left(x_0;y_0\right)$

Ví dụ 1. Xác định tham số m để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+3y=1\\ x+\left(m+4\right)y=-2\end{array}\right.$ nhận cặp số $\left(-2;3\right)$ là nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Để hệ phương trình nhận cặp số $\left(-2;3\right)$  là nghiệm thì khi thay $x=-2$ và $y=3$ vào hệ phương trình phải thỏa mãn, do đó:

Vậy không có giá trị của m để hệ nhận cặp số $\left(-2;3\right)$ là nghiệm.

Ví dụ 2. Xác định tham số a; b để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+by=-4\\ bx-ay=-5\end{array}\right.$ nhận cặp số $\left(1;-2\right)$ là nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Để hệ phương trình nhận cặp số $\left(1;-2\right)$ là nghiệm thì khi thay x = 1 và y = -2 vào hệ phương trình phải thỏa mãn, do đó: $\left\{\begin{array}{l}2\cdot 1+b\cdot \left(-2\right)=-4\\ b\cdot 1-a\cdot \left(-2\right)=-5\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{ll}-2b=-6& \left(1\right)\\ 2a+b=-5& \hspace{0.17em}\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình $\left(1\right):-2b=-6,$ suy ra b = 3

Thế b = 3 vào phương trình (2), ta được: 2a + 3 = -5 suy ra 2a = -8 nên a = -4

Vậy $a=-4$ và $b=3.$

Dạng 2. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 3. Biện luận số nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=2m-3\\ 2x+my=m+2.\end{array}\right.$

Phân tích:

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}mx+y=2m-3& \left(1\right)\\ 2x+my=m+2& \left(2\right)\end{array}\right.$

Thưc hiện Bước 1. Rút x hoặc y ở một trong hai phương trình của hệ.

⦁ Nếu từ (2) rút x ta được $x=\frac{m+2-my}{2},$ nếu rút y ta được $y=\frac{m+2-2x}{m}.$

Như vậy rút ẩn x hoặc ẩn y từ (2) ra cồng kềnh và phải biện luận trường hợp $m=0$ nếu rút y.

⦁Nếu từ (1) rút x ta được $x=\frac{2m-3-y}{m},$ ta cũng phải biện luận trường hợp $m=0$

Nếu rút y thì $y=2m-3-mx,$ biểu thức này đơn giản hơn.

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}mx+y=2m-3& \left(1\right)\\ 2x+my=m+2& \left(2\right)\end{array}\right.$.

Từ phương trình (1) ta có $y=2m-3-mx\left(**\right).$

Thay $y=2m-3-mx$ vào phương trình (2) ta được:

        $2x+m\left(2m-3-mx\right)=m+2$

        $2x+2m^2-3m-m^{2}x=m+2$

       $\left(2-m^2\right)x=-2m^2+4m+2$

       $\left(m^2-2\right)x=2m^2-4m-2\left(*\right)$

Trường hợp 1. Xét $m^2-2=0,$ hay $m=\sqrt{2}$ hoặc $m=-\sqrt{2}.$

⦁ Với $m=\sqrt{2}$ thì phương trình $\left(*\right)$  trở thành:  $0x=2\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot \left(\sqrt{2}\right)-2$

Suy ra $0x=-4\sqrt{2},$ phương trình này vô nghiệm.

Như vậy, với  hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

⦁Với $m=\sqrt{2},$ thì phương trình $\left(*\right)$ trở thành: $0x=2\cdot {\left(-\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot \left(-\sqrt{2}\right)-2$

Suy ra $0x=4\sqrt{2},$ phương trình này vô nghiệm.

Như vậy, với $m=-\sqrt{2},$ hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. Xét $m^2-2\ne 0,$ hay $m\ne \sqrt{2}$ và $m\ne -\sqrt{2}.$

 Khi đó phương trình $\left(*\right)$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{2m^2-4m-2}{m^2-2}.$

Thay vào $\left(**\right)$ ta có:

Kết luận: Nếu $m=\sqrt{2}$ hoặc $m=-\sqrt{2}$ thì hệ phương trình vô nghiệm.

Nếu $m\ne \pm \sqrt{2}$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

$\left(x;y\right)=\left(\frac{m^2-4m-2}{m^2-2};\frac{m^2-2m+6}{m^2-2}\right).$

Dạng 3. Tìm tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn tính chất, hoặc chứng minh tính chất nào đó của nghiệm

Phương pháp giải: Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo các bước: Bước 1.Tìm tham số để hệ có nghiệm. Bước 2. Tìm tham số để nghiệm thỏa mãn tính chất theo yêu cầu. Bước 3. Đối chiếu điều kiện hệ có nghiệm. Bước 4. Kết luận giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+ay=2\\ ax-2y=1\end{array}\right.$. Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện $x>0,y<0.$

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}x+ay=2& \left(1\right)\\ ax-2y=1& \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) ta có $x=2-ay\left(3\right),$ thay vào (2) ta được:

$a\left(2-ay\right)-2y=1$ hay $2a-a^{2}y-2y=1$ nên $\left(a^2+2\right)y=2a-1\left(4\right)$

Với mọi a ta có $a^2+2\ge 2$ nên  $a^2+2\ne 0.$

Do đó phương trình (4) có nghiệm duy nhất $y=\frac{2a-1}{a^2+2}$ với mọi giá trị của tham số a

Thay $y=\frac{2a-1}{a^2+2}$  vào (3), ta được

$x=2-a\cdot \frac{2a-1}{a^2+2}=\frac{2a^2+4-2a^2+a}{a^2+2}=\frac{a+4}{a^2+2}.$

Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{4+a}{a^2+2};\frac{2a-1}{a^2+2}\right).$

Theo bài, $x>0,y>0$ tức là $\left\{\begin{array}{l}\frac{4+a}{a^2+2}>0\\ \frac{2a-1}{a^2+2}>0\end{array}\right.$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}4+a>0\\ 2a-1<0\end{array}\right.$ (do $a^2+2>0)$

 Hay $\left\{\begin{array}{l}a>-4\\ a<\frac{1}{2}\end{array}\right.$  nên $-4<a<\frac{1}{2}.$

Vậy để hệ phương trình có nghiệm $x>0,y>0$ thì $-4<a<\frac{1}{2}$.

Ví dụ 5. Tìm giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1\end{array}\right.$có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{ll}mx+2y=m+1& \left(1\right)\\ 2x+my=2m-1& \left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) ta có $y=\frac{m+1-mx}{2}\left(3\right),$ thay vào (2) ta được:

                $2x+m\cdot \frac{m+1-mx}{2}=2m-1$

                $4x+m^2+m-m^{2}x=4m-2$

                $\left(4-m^2\right)x+m^2+m=4m-2$

                $\left(m^2-4\right)x=m^2-3m+2 \left(4\right)$

Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình $\left(4\right)$ phải có nghiệm duy nhất, tức là hay $m^2-4\ne 0,$ hay $m\ne 2$ và $m\ne -2.$

Khi đó phương trình (4) có nghiệm duy nhất:

$x=\frac{m^2-3m+2}{m^2-4}=\frac{\left(m-1\right)\left(m-2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}=\frac{m-1}{m+2}.$

Thay vào (3) ta được:

$y=\frac{m+1-mx}{2}$$=\frac{m+1-m\cdot \frac{m-1}{m+2}}{2}$$=\frac{m^2+3m+2-m^2+m}{2\left(m+2\right)}=\frac{4m+2}{2\left(m+2\right)}=\frac{2m+1}{m+2}.$

Vậy khi $m\ne 2$ và $m\ne -2.$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(\frac{m-1}{m+2};\frac{2m+1}{m+2}\right).$

Ta có: $x=\frac{m-1}{m+2}=\frac{m+2-3}{m+2}=1-\frac{3}{m+2};$

           $y=\frac{2m+1}{m+2}=\frac{2\left(m+2\right)-3}{m+2}=2-\frac{3}{m+2}.$

Để nghiệm nguyên thì $x\in \mathbb{Z}$ và $y\in \mathbb{Z},$  điều này xảy ra khi và chỉ khi $\frac{3}{m+2}\in \mathbb{Z}$

Suy ra $\left(m+2\right)\in$Ư $\left(3\right)=\{1;-1;3;-3\}.$

Ta có bảng sau:

Kết hợp với điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ là và  ta được  là các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 6. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=m+2\\ 3x+5y=2m\end{array}\right.$

Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn $|2x+y|=1.$

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}x+y=m+2& \left(1\right)\\ 3x+5y=2m& \left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3, ta được hệ phương trình mới là

$\left\{\begin{array}{ll}3x+3y=3m+6& \left(3\right)\\ 3x+5y=2m& \left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ hai vế của phương trình $\left(2\right)$ và phương trình $\left(3\right),$ ta được:

$2y=-m-6$ suy ra $y=-\frac{m+6}{2}.$

Thay $y=-\frac{m+6}{2}$ vào phương trình (1), ta được:

$x-\frac{m+6}{2}=m+2,$ suy ra $x=m+2+\frac{m+6}{2}$ hay $x=\frac{3m+10}{2}.$

Do đó với mọi m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

$\left(x;y\right)=\left(\frac{3m+10}{2};-\frac{m+6}{2}\right).$

Theo bài, $|2x+y|=1$  nên $|3m+10-\frac{m+6}{2}|=1,$ hay $\left|\frac{5m+14}{2}\right|=1$

Trường hợp 1. $\frac{5m+14}{2}=1$ nên $5m+14=2$ suy ra $m=-\frac{12}{5};$

Trường hợp 2. $\frac{5m+14}{2}=-1$ nên $5m+14=-2$ suy ra $m=-\frac{16}{5}.$

Vậy $m\in \{\frac{-12}{5};\frac{-16}{5}\}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 7. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2y-x=m+1\\ 2x-y=m-2\end{array}\right.$.  Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho biểu thức $P=x^2+y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}2y-x=m+1& \left(1\right)\\ 2x-y=m-2& \left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình $\left(1\right)$ với 2, ta được hệ phương trình mới $\left\{\begin{array}{l}-2x+4y=2m+2\\ 2x-y=m-2\end{array}\right.$

Cộng hai vế của hai phương trình trên của hệ phương trình mới, ta được:

$3y=3m,$ suy ra $y=m.$

Thay $y=m$ vào phương trình $\left(1\right)$, ta được $2m-x=m+1,$ suy ra $x=m-1.$

Do đó với mọi giá trị m, hệ phương trình nghiệm duy nhất là $\left(x;y\right)=\left(m-1;m\right).$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2=0$  hay $m=\frac{1}{2}.$

Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{2}$ khi $m=\frac{1}{2}.$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=n\\ 4x-ny=m+6\end{array}\right.$

Tìm m và n để hệ phương trình nhận cặp số $\left(-2;3\right)$ là nghiệm.

Bài 2. Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Giải hệ phương trình bậc nhất cơ bản

• (Ôn thi Toán vào 10) Biến đổi hệ phương trình về hệ cơ bản

• (Ôn thi Toán vào 10) Hệ phương trình hai ẩn mở rộng

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---