(Ôn thi Toán vào 10) Biến đổi hệ phương trình về hệ cơ bản

Trang trước Trang sau

Biến đổi hệ phương trình về hệ cơ bản nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Dùng phương pháp giải đặt ẩn để đưa về hệ phương trình cơ bản

Phương pháp giải: Từ việc đánh giá cấu tạo của hệ phương trình, từ đó có các giải pháp biến đổi hoặc đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình cơ bản.

➣ Chú ý: Không được quên đặt điều kiện cho các ẩn ban đầu và các ẩn mới.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{6}{x} - \frac{2}{y} = 1 \end{cases}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x, y \neq 0$ . Đặt $u = \frac{1}{x}; v = \frac{1}{y}$ .

Khi đó hệ phương trình trở thành: $\{\begin{cases} 2 u - v = 2 & (1) \\ 6 u - 2 v = 1 & (2) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình $(1)$ với 2, ta được hệ phương trình: $\{\begin{cases} 4 u - 2 v = 4 & (3) \\ 6 u - 2 v = 1 & (4) \end{cases} .$

Cộng từng vế hai phương trình $(3)$ và phương trình $(4)$ , ta được: $10 u = 5$ hay $u = \frac{1}{2} .$

Khi đó $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ nên $x = 2$ .

Thế $x = 2$ vào phương trình $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 2$ , ta có $1 + \frac{1}{y} = 2.$ Khi đó $y = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (2; 1)$ .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{7}{\sqrt{x - 7}} - \frac{4}{\sqrt{y + 6}} = \frac{5}{3} \\ \frac{5}{\sqrt{x - 7}} - \frac{3}{\sqrt{y + 6}} = 2 \frac{1}{6} \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x > 7; y > - 6$ . Đặt $\frac{1}{\sqrt{x - 7}} = a; \frac{1}{\sqrt{y + 6}} = b (a, b > 0) .$

Hệ phương trình đã cho trở thành $\{\begin{cases} 7 a - 4 b = \frac{5}{3} & (1) \\ 5 a - 3 b = \frac{13}{6} & (2) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 18, phương trình (2) với 24,ta được hệ phương trình: $\{\begin{cases} 21 a - 12 b = 5 & (3) \\ 30 a - 18 b = 13 & (4) \end{cases}$

Cộng từng vế hai phương trình (3)và phương trình (4), ta được: 246a=82 hay $a = \frac{1}{3}$ .

Khi đó $\frac{1}{\sqrt{x - 7}} = \frac{1}{3}$ nên x = 16.

Thế x = 16 vào phương trình $\frac{7}{\sqrt{x - 7}} - \frac{4}{\sqrt{y + 6}} = \frac{5}{3}$ , ta có $\frac{7}{3} - \frac{4}{\sqrt{y + 6}} = \frac{5}{3}$

Khi đó $\sqrt{y + 6} = 6$ nên y = 30.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (16; 30)$ .

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{6 x - 3}{y - 1} - \frac{2 y}{x + 1} = 5 \\ \frac{4 x - 2}{y - 1} - \frac{4 y}{x + 1} = 2 \end{cases}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x \neq - 1; y \neq 1$ . Đặt $u = \frac{2 x - 1}{y - 1}; v = \frac{y}{x + 1}$ .

Hệ phương trình đã cho trở thành $\{\begin{cases} 3 u - 2 v = 5 \\ 2 u - 4 v = 2 \end{cases} (1)$

Giải hệ phương trình (1) ta tìm được $\{\begin{cases} u = 2 \\ v = \frac{1}{2} \end{cases}$ .

Từ đó, ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{2 x - 1}{y - 1} = 2 \\ \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{2} \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} 2 x - 2 y = - 1 \\ x - 2 y = - 1 \end{cases} (2)$

Giải hệ phương trình (1) ta tìm được $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = \frac{1}{2} \end{cases} (TM) .$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (0; \frac{1}{2})$ .

Dạng 2. Dùng phương pháp thu gọn từng phương trình để đưa về hệ cơ bản

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} (x + 2) (y - 2) = x y \\ (x + 4) (y - 3) = x y + 6 \end{cases}$

Hướng dẫn giải

(Ôn thi Toán vào 10) Biến đổi hệ phương trình về hệ cơ bản

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3, ta được hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 3 x - 3 y = - 6 & (3) \\ 3 x - 4 y = - 18 & (4) \end{cases}$

Trừ từng vế hai phương trình (3) cho phương trình (4), ta được y = 12.

Thế y = 12 vào phương trình (1), ta có $x - 12 = - 2.$ Khi đó $x = 10$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (10; 12)$ .

Dạng 3. Giải hệ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải:

Đối với hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta xét các trường hợp sau:

− Nếu hệ phương trình đặt được ẩn phụ để đưa về hệ cơ bản thì ta thực hiện biến đổi về hệ cơ bản rồi giải phương trình.

− Nếu hệ phương trình đặt được ẩn phụ để đưa về hệ cơ bản thì ta xét các trường hợp của ẩn để phá dấu giá trị tuyệt đối và đưa về hệ cơ bản.

➣ Chú ý: Khi xét cấu tạo của hệ phương trình, ta có thể khử được các ẩn để đưa về hệ đơn giản hơn.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x - | y | = 1 \\ 5 x + 3 y = 11 \end{cases}$

Phân tích: Hệ không đặt được ẩn phụ để đưa về hệ cơ bản tuy nhiên cấu tạo hệ phương trình đơn giản vì chỉ chứa dấu giá trị tuyệt đối ở một phương trình. Do đó, chúng ta chỉ cần xét các trường hợp của y để phá dấu giá trị tuyệt đối và đưa về hệ cơ bản.

Hướng dẫn giải

Ta xét hai trường hợp sau:

•TH1: $y \geq 0$ hay |y| = y. Khi đó hệ phương trình trở thành $\{\begin{cases} 3 x - y = 1 \\ 5 x + 3 y = 11 \end{cases}$

Giải hệ phương trình, ta được $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$ (thỏa mãn).

•TH2: y <0 hay $| y | = - y$ . Khi đó hệ phương trình trở thành $\{\begin{cases} 3 x + y = 1 \\ 5 x + 3 y = 11 \end{cases}$

Giải hệ phương trình, ta được $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 7 \end{cases}$ (không thỏa mãn).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (1; 2)$ .

Ví dụ 6. Giải các hệ phương trình $\{\begin{cases} | x - 1 | - | y - 2 | = 1 \\ | x - 1 | + 3 y = 3 \end{cases}$ .

Phân tích: Hệ phương trình không đặt được ẩn phụ để đưa về hệ cơ bản và có chứa dấu giá trị tuyệt đối ở cả hai phương trình của hệ nên nếu xét các trường hợp của và để bỏ dấu giá trị tuyệt đối sẽ rất phức tạp (chú ý để cấu tạo của hệ phương trình có thể khử ngay được $| x - 1 |)$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\{\begin{cases} | x - 1 | - | y - 2 | = 1 \\ | x - 1 | + 3 y = 3 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} 3 - 3 y - | y - 2 | = 1 & (1) \\ | x - 1 | + 3 y = 3 & (2) \end{cases}$ .

Giải phương trình (1):

•Với $y \geq 2$ , ta có: $1 - 2 y = 1$ nên $2 y = 0$ hay $y = 0$ (loại).

•Với $y < 2$ , ta có: $5 - 4 y = 1$ nên $4 y = 4$ hay $y = 1$ (TM).

Thay $y = 1$ vào phương trình (2) ta được $x = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x; y) = (1; 1)$ .

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} | x - y | + | - 2 x + 3 y | = 2 \\ | x - y | - | - 2 x + 3 y | = 0 \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải

Đặt $u = | x - y |; v = | - 2 x + 3 y | (u, v \geq 0)$ .

Hệ phương trình đã cho trở thành $\{\begin{cases} u + v = 2 \\ u - v = 0 \end{cases}$ nên $\{\begin{cases} u + v = 2 \\ 2 v = 2 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} u = 1 \\ v = 1 \end{cases}$ .

Với $u = 1; v = 1$ , ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} | x - y | = 1 \\ | - 2 x + 3 y | = 1 \end{cases}$ .

Ta xét các trường hợp sau:

•TH1: $\{\begin{cases} x - y = 1 \\ - 2 x + 3 y = 1 \end{cases}$ . Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$ .

•TH2: $\{\begin{cases} x - y = - 1 \\ - 2 x + 3 y = 1 \end{cases}$ . Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 1 \end{cases}$ .

•TH3: $\{\begin{cases} x - y = 1 \\ - 2 x + 3 y = - 1 \end{cases}$ . Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ .

•TH4: $\{\begin{cases} x - y = - 1 \\ - 2 x + 3 y = - 1 \end{cases}$ . Giải hệ phương trình ta được $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases}$ .

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là $S = {(4; 3); (- 2;)$ $- 1; (2; 1); (- 4; - 3)}$ .

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 12 \\ \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = 19 \end{cases}$ .

Bài 2. Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \frac{3 x}{x - 1} + \frac{2}{y + 2} = 4 \\ \frac{2 x}{x - 1} - \frac{1}{y + 2} = 5 \end{cases}$ .

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học