(Ôn thi Toán vào 10) Chuyên đề Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Trang trước Trang sau

Chuyên đề Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

- Bộ đề thi Toán vào 10 năm 2025 có đầy đủ lời giải chi tiết:

Xem thử Bộ đề thi thử vào 10 Toán 2025 Xem thử Bộ đề thi vào 10 Toán 2025 Xem thử Chuyên đề Toán ôn vào 10

- Bộ đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng gồm 8 đề thi CHÍNH THỨC từ năm 2015 → 2024 có lời giải chi tiết giúp Giáo viên có thêm tài liệu ôn thi Toán vào 10 Hà Nội, Tp.HCM, Đà Nẵng:

Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Các hằng đẳng thức

Các hằng đẳng thức đã học:

• a² + 2ab + b² = (a + b)²;

• a² - 2ab + b² = (a - b)²

• (a - b)(a + b) = a² - b²

• ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ = $(a^{3} + b^{3}) + 3 a b (a + b)$

• ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ = $(a^{3} - b^{3}) - 3 a b (a - b)$

• $\sqrt{A^{2}} = |A| = \{\begin{cases} A khi A \geq 0 \\ - A khi A < 0 \end{cases}$

2. So sánh hai căn

Với A > B ≥ 0 thì ta có $\sqrt{A} > \sqrt{B}$ .

3. Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

• Khai phương của một tích: $\sqrt{A . B} = |A| \cdot \sqrt{B} (A \geq 0, B \geq 0)$ . Đặc biệt ${(\sqrt{A})}^{2} = A$ .

• Khai phương của một thương: $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} (A \geq 0, B > 0)$ .

4. Đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn

Với A, B, C ta có:

(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

5. Trục căn thức ở mẫu

Với A, B, C là các biểu thức và các biểu thức có nghĩa

(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Biểu thức chứa căn bậc hai A = $\sqrt{a \pm 2 b \sqrt{c}}$ (c ≥ 0).

Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng bình phương.

$a \pm 2 b \sqrt{c} = {(m \pm n \sqrt{c})}^{2}$ suy ra $\sqrt{a \pm 2 b \sqrt{c}} = |m \pm n \sqrt{c}|$ .

Ví dụ 1. Rút gọn M = $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có $4 + 2 \sqrt{3} = 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} = {(1 + \sqrt{3})}^{2}$ .

Do đó $\sqrt{{(1 + \sqrt{3})}^{2}} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$ .

Vậy M = $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$ .

Ví dụ 2. Rút gọn N = $\sqrt{21 - 12 \sqrt{3}}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có $21 - 12 \sqrt{3}$ = $3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{3} + {(2 \sqrt{3})}^{2}$ = ${(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}$ .

Do đó $\sqrt{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}} = |3 - 2 \sqrt{3}| = 2 \sqrt{3} - 3$ .

Vậy N = $\sqrt{21 - 12 \sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} - 3$ .

Biểu thức có dạng A = $\sqrt{a + b \sqrt{c}} \pm \sqrt{a - b \sqrt{c}}$ (b lẻ)

Ví dụ 3. Rút gọn E = $\sqrt{7 + 3 \sqrt{5}} \pm \sqrt{7 - 3 \sqrt{5}}$ .

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Nhân hai vế với $\sqrt{2}$ và đưa về Dạng 1.

Ta có $E \sqrt{2}$ = $\sqrt{14 + 2 \cdot 3 \sqrt{5}} + \sqrt{14 - 2 \cdot 3 \sqrt{5}}$

= $\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + {(5)}^{2}} + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + {(5)}^{2}}$

= $\sqrt{{(3 + \sqrt{5})}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}}$

= $|3 + \sqrt{5}| + |3 - \sqrt{5}|$

= $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}$ = 6.

Khi đó $E \sqrt{2}$ = 6 nên E = $3 \sqrt{2}$ .

Cách 2: Bình phương hai vế và rút gọn.

Ta có A² = $7 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{(7 + 3 \sqrt{5}) (7 - 3 \sqrt{5})} + 7 - 3 \sqrt{5}$ .

Vì A > 0 nên A = $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ .

Dạng 2. Biểu thức chứa căn bậc b, dạng A = $\sqrt[3]{a + b \sqrt{c}} \pm \sqrt[3]{a - b \sqrt{c}}$

Phương pháp 1. Vận dụng hằng đẳng thức bậc 3 để đưa $a + b \sqrt{c}$ và $a - b \sqrt{c}$ về luỹ thừa bậc 3. Khi đó A = $\sqrt[3]{{(m + n \sqrt{c})}^{3}} \pm \sqrt[3]{{(m - n \sqrt{c})}^{3}}$ = $(m + n \sqrt{c}) \pm (m - n \sqrt{c})$ .

Ví dụ 5. Rút gọn A = $\sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có ${(\sqrt{2} - 1)}^{3} = 2 \sqrt{2} - 1 - 3. \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) = 5 \sqrt{2} - 7$ .

Do đó A = $\sqrt[3]{{(\sqrt{2} - 1)}^{3}} - \sqrt[3]{{(\sqrt{2} + 1)}^{3}}$ = $(\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1)$ = -2.

⮚ Chú ý: Để kiểm tra $a + b \sqrt{c} = {(m + n \sqrt{c})}^{3}$ đúng hay chưa, ta có thể thử chiều ngược lại, thông thường nên thử với n = 1.

Phương pháp 2. Mũ ba hai vế và đưa về giải phương trình bậc ba

Vẫn với ví dụ trên, rút gọn: A = $\sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7}$ .

Ta có: A³ = $(5 \sqrt{2} - 7)$ - $(5 \sqrt{2} + 7)$ - $3 \cdot \sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} \cdot \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7}$ . $(\sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7})$

= -14 - $3 \cdot \sqrt[3]{50 - 49} \cdot A$ ⇔ A³ + 3A + 14 = 0

Suy ra (A + 2)(A² - 2A + 7) = 0 hay (A + 2)[(A - 1)² + 6] = 0.

Do đó A + 2 = 0 (vì (A - 1)² + 6 > 0 nên A = -2.

⮚ Chú ý: Từ Phương pháp 2, ta chứng minh một biểu thức dạng $x = \sqrt{a + b \sqrt{c}} + \sqrt{a - b \sqrt{c}}$ hay $x = \sqrt[3]{a + b \sqrt{c}} \pm \sqrt[3]{a - b \sqrt{c}}$ là nghiệm của một phương trình bậc hai hay bậc ba (cách làm là luỹ thừa bậc hai hay bậc ba như trên ta có phương trình của đề bài).

Ví dụ 6. Chứng minh $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ .

Suy ra x³ = $9 + 4 \sqrt{5} + 9 - 4 \sqrt{5}$ + $3 \sqrt[3]{(9 + 4 \sqrt{5}) (9 - 4 \sqrt{5})}$ $(\sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}})$

= $18 + 3 \sqrt[3]{81 - 80} \cdot x$ = 18 + 3x.

Do đó x³ - 3x - 18 = 0 nên $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ .

Vậy $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tính x = $\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ .

Bài 2. Rút gọn A = $\sqrt{5 - \sqrt{13 + 4 \sqrt{3}}}$ .

................................

Xem thử Bộ đề thi thử vào 10 Toán 2025 Xem thử Bộ đề thi vào 10 Toán 2025 Xem thử Chuyên đề Toán ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học