(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

Trang trước Trang sau

Rút gọn biểu thức không chứa biến nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ (Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa biến theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Các hằng đẳng thức

Các hằng đẳng thức đã học:

• a² + 2ab + b² = (a + b)²;

• a² - 2ab + b² = (a - b)²

• (a - b)(a + b) = a² - b²

• ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ = $(a^{3} + b^{3}) + 3 a b (a + b)$

• ${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ = $(a^{3} - b^{3}) - 3 a b (a - b)$

• $\sqrt{A^{2}} = |A| = \{\begin{cases} A khi A \geq 0 \\ - A khi A < 0 \end{cases}$

2. So sánh hai căn

Với A > B ≥ 0 thì ta có $\sqrt{A} > \sqrt{B}$ .

3. Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương

• Khai phương của một tích: $\sqrt{A . B} = |A| \cdot \sqrt{B} (A \geq 0, B \geq 0)$ . Đặc biệt ${(\sqrt{A})}^{2} = A$ .

• Khai phương của một thương: $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} (A \geq 0, B > 0)$ .

4. Đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn

Với A, B, C ta có:

(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

5. Trục căn thức ở mẫu

Với A, B, C là các biểu thức và các biểu thức có nghĩa

(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Biểu thức chứa căn bậc hai A = $\sqrt{a \pm 2 b \sqrt{c}}$ (c ≥ 0).

Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng bình phương.

$a \pm 2 b \sqrt{c} = {(m \pm n \sqrt{c})}^{2}$ suy ra $\sqrt{a \pm 2 b \sqrt{c}} = |m \pm n \sqrt{c}|$ .

Ví dụ 1. Rút gọn M = $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có $4 + 2 \sqrt{3} = 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} = {(1 + \sqrt{3})}^{2}$ .

Do đó $\sqrt{{(1 + \sqrt{3})}^{2}} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$ .

Vậy M = $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$ .

Ví dụ 2. Rút gọn N = $\sqrt{21 - 12 \sqrt{3}}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có $21 - 12 \sqrt{3}$ = $3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{3} + {(2 \sqrt{3})}^{2}$ = ${(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}$ .

Do đó $\sqrt{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}} = |3 - 2 \sqrt{3}| = 2 \sqrt{3} - 3$ .

Vậy N = $\sqrt{21 - 12 \sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} - 3$ .

Biểu thức có dạng A = $\sqrt{a + b \sqrt{c}} \pm \sqrt{a - b \sqrt{c}}$ (b lẻ)

Ví dụ 3. Rút gọn E = $\sqrt{7 + 3 \sqrt{5}} \pm \sqrt{7 - 3 \sqrt{5}}$ .

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Nhân hai vế với $\sqrt{2}$ và đưa về Dạng 1.

Ta có $E \sqrt{2}$ = $\sqrt{14 + 2 \cdot 3 \sqrt{5}} + \sqrt{14 - 2 \cdot 3 \sqrt{5}}$

= $\sqrt{3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + {(5)}^{2}} + \sqrt{3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + {(5)}^{2}}$

= $\sqrt{{(3 + \sqrt{5})}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}}$

= $|3 + \sqrt{5}| + |3 - \sqrt{5}|$

= $3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}$ = 6.

Khi đó $E \sqrt{2}$ = 6 nên E = $3 \sqrt{2}$ .

Cách 2: Bình phương hai vế và rút gọn.

Ta có A² = $7 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{(7 + 3 \sqrt{5}) (7 - 3 \sqrt{5})} + 7 - 3 \sqrt{5}$ .

Vì A > 0 nên A = $\sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ .

Dạng 2. Biểu thức chứa căn bậc b, dạng A = $\sqrt[3]{a + b \sqrt{c}} \pm \sqrt[3]{a - b \sqrt{c}}$

Phương pháp 1. Vận dụng hằng đẳng thức bậc 3 để đưa $a + b \sqrt{c}$ và $a - b \sqrt{c}$ về luỹ thừa bậc 3. Khi đó A = $\sqrt[3]{{(m + n \sqrt{c})}^{3}} \pm \sqrt[3]{{(m - n \sqrt{c})}^{3}}$ = $(m + n \sqrt{c}) \pm (m - n \sqrt{c})$ .

Ví dụ 5. Rút gọn A = $\sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có ${(\sqrt{2} - 1)}^{3} = 2 \sqrt{2} - 1 - 3. \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) = 5 \sqrt{2} - 7$ .

Do đó A = $\sqrt[3]{{(\sqrt{2} - 1)}^{3}} - \sqrt[3]{{(\sqrt{2} + 1)}^{3}}$ = $(\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1)$ = -2.

⮚ Chú ý: Để kiểm tra $a + b \sqrt{c} = {(m + n \sqrt{c})}^{3}$ đúng hay chưa, ta có thể thử chiều ngược lại, thông thường nên thử với n = 1.

Phương pháp 2. Mũ ba hai vế và đưa về giải phương trình bậc ba

Vẫn với ví dụ trên, rút gọn: A = $\sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7}$ .

Ta có: A³ = $(5 \sqrt{2} - 7)$ - $(5 \sqrt{2} + 7)$ - $3 \cdot \sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} \cdot \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7}$ . $(\sqrt[3]{5 \sqrt{2} - 7} - \sqrt[3]{5 \sqrt{2} + 7})$

= -14 - $3 \cdot \sqrt[3]{50 - 49} \cdot A$ ⇔ A³ + 3A + 14 = 0

Suy ra (A + 2)(A² - 2A + 7) = 0 hay (A + 2)[(A - 1)² + 6] = 0.

Do đó A + 2 = 0 (vì (A - 1)² + 6 > 0 nên A = -2.

⮚ Chú ý: Từ Phương pháp 2, ta chứng minh một biểu thức dạng $x = \sqrt{a + b \sqrt{c}} + \sqrt{a - b \sqrt{c}}$ hay $x = \sqrt[3]{a + b \sqrt{c}} \pm \sqrt[3]{a - b \sqrt{c}}$ là nghiệm của một phương trình bậc hai hay bậc ba (cách làm là luỹ thừa bậc hai hay bậc ba như trên ta có phương trình của đề bài).

Ví dụ 6. Chứng minh $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ .

Suy ra x³ = $9 + 4 \sqrt{5} + 9 - 4 \sqrt{5}$ + $3 \sqrt[3]{(9 + 4 \sqrt{5}) (9 - 4 \sqrt{5})}$ $(\sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}})$

= $18 + 3 \sqrt[3]{81 - 80} \cdot x$ = 18 + 3x.

Do đó x³ - 3x - 18 = 0 nên $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ .

Vậy $x = \sqrt[3]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{9 - 4 \sqrt{5}}$ là nghiệm của phương trình x³ - 3x - 18 = 0.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tính x = $\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ .

Bài 2. Rút gọn A = $\sqrt{5 - \sqrt{13 + 4 \sqrt{3}}}$ .

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học