(Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp rút gọn biểu thức

Trang trước Trang sau

Bài tập tổng hợp rút gọn biểu thức nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. BÀI TẬP

Bài 1. Cho hai biểu thức $P = (\frac{x - 6 \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}) : \frac{x + 4}{1 - x}$ và $Q = \frac{\sqrt{x}}{x + 4}$ (với $x \geq 0; x \neq 1) .$

a) Tính giá tri biểu thức $Q$ với $x = 4.$

b) Chứng minh rằng $P = 4 Q .$

c) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P$ nhận giá trị là các số nguyên.

Bài 2. Cho biểu thức $A = \frac{x \sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}$ (với $x \geq 0; x \neq 1) .$

a) Rút gọn biểu thức $A .$

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên.

Bài 3. Cho hai biểu thức:

$A = \frac{5 \sqrt{a} + 4}{\sqrt{a} - 1}$ và $B = (\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{1 - \sqrt{a}}) \cdot \frac{\sqrt{a} - a}{\sqrt{a} - 2},$ với $a > 0, a \neq 1, a \neq 4.$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $a = 16.$

b) Rút gọn biểu thức $B .$

c) Tìm các giá trị nguyên của $a$ để $A \cdot B < 0.$

Bài 4. Cho hai biểu thức $A = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ và $B = \frac{x + 4}{x - 4} - \frac{2}{\sqrt{x} - 2}$ với $x \geq 0, x \neq 4.$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9.$

b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} .$

c) Tìm số nguyên dương $x$ lớn nhất thỏa mãn $A - B < \frac{3}{2} .$

Bài 5.Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 5}{x - 1}$ với $x \geq 0; x \neq 1.$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4.$

b) Chứng minh $B = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} .$

c) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức $P = 2 A B + \sqrt{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6. Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25},$ với $x \geq 0, x \neq 25.$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 9.$

b) Tìm $x$ để $A = B \cdot | x - 4 | .$

Bài 7. Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 7}$ và $B = \frac{2 - 3 \sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2},$ với $x \geq 0, x \neq 4.$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 3 - 2 \sqrt{2} .$

b) Cho biểu thức $P = \frac{A}{B} .$ Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $\sqrt{P} < \frac{1}{2} .$

Bài 8. Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2 - 5 \sqrt{x}}{4 - x}$ với $x \geq 0, x \neq 4.$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = \frac{2}{2 - \sqrt{3}} .$

b) Tìm $x$ để $| A | > A .$

Bài 9. Cho biểu thức $A = \frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}}$ và $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{2}$ với $x \geq 0, x \neq 1.$

a) Tính giá trị biểu thức $B$ với $x = 7 - 4 \sqrt{3}$ .

b) Rút gọn $P = \frac{A}{B}$

c) Với $x > 1$ tìm giá trị của m để $\frac{1}{P} > m + \sqrt{x}$ .

Bài 10. Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 4}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 4} - \frac{5 \sqrt{x} + 12}{16 - x}$ với $x \geq 0, x \neq 1.$

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 2 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2 - \sqrt{3}} .$

b) Tìm m để phương trình $\frac{A}{B} = m + 1$ có nghiệm.

Bài 11. Để tính toán thời gian đong đưa của một dây đu, người ta sử dụng công thức $T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$ (thời gian đong đưa dây đu được tính từ lúc dây đu bắt đầu được đưa lên cao đến khi dừng hẳn). Trong đó, $T$ là thời gian một chu kỳ đong đưa $(s), L$ là chiều dài của dây đu $(m), g = 9, 81 {m/s}^{2}$ (lấy $π = 3, 14) .$

a) Một sợi dây đu có chiều dài $3, 5 m$ thì có chu kỳ đong đưa dài bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?

b) Một ngưòi muốn thiết kế một dây đu sao cho một chu kỳ đong đưa kéo dài 4 giây. Hỏi người đó phải làm một sợi dây đu dài bao nhiêu?

Bài 12. Sau những vụ va chạm giữa các xe trên đường, cảnh sát thường sử dụng công thức $v = \sqrt{30 f d}$ để ước lượng tốc độ v (đơn vị: dặm/giờ) của xe từ vết trượt trên mặt đường sau khi thắng đột ngột. Trong đó, d là chiều dài vết trượt của bánh xe trên nền đuờng tính bằng feet (ft), $f$ là hệ số ma sát giữa bánh xe và mặt đường (là thước đo sự “trơn trượt” của mặt đuờng).

a) Cho biết vận tốc của một chiếc xe hơi là 54 dặm/giờ, và hệ số ma sát $f = 0, 8,$ tính chiều dài vết trượt của bánh xe trên nền đường khi xe thắng gấp.

b) Đường Cao tốc Pháp Vân – Cầu Giẽ có tốc độ giới hạn là $100 km/h .$ Sau một vụ va chạm giữa hai xe, cảnh sát đo được vết trượt của một xe là $d = 169$ ft và hệ số ma sát mặt đường tại thời điểm đó là $f = 0, 7.$ Chủ xe đó nói xe của ông không chạy quá tốc độ. Hãy áp dụng công thức trên để ước lượng tốc độ chiếc xe đó rồi cho biết lời nói của nguời chủ xe đúng hay sai? (Biết 1 dặm = $1 609 m) .$

Bài 13. Thuyền buồm là một loại thuyền chạy bằng sức gió nhờ vào một bộ phận gọi là buồm được gắn trên một cột trụ gọi là cột buồm. Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc v của gió, tức là $F = a v^{2}$ $(a$ là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng $9 m/s$ thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 2 430 N (Niutơn).

a) Tính hằng số a.

b) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12 000 N. Hỏi con thuyền có thể đi được trong gió với vận tốc gió $54 km/h$ hay không?

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học