(Ôn thi Toán vào 10) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

– Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta chứng minh $A\le M$ và $A=M$ khi $x=x_0$ thuộc tập xác định, khi đó:

$A_{max}=M$ khi $x=x_0.$

– Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta chứng minh $A\ge m$ và $A=m$ khi $x=x_0$ thuộc tập xác định, khi đó:

$A_{\min }=m$ khi $x=x_0.$

➢ Chú ý:   ⦁ $A\ge B$ nên $-A\le -B$ và $A+m\ge B+m;$

⦁ $f\left(x\right)\ge 0$ nên $f\left(x\right)+m\ge m;$

⦁ $f\left(x\right)\le 0$ nên $f\left(x\right)+m\le m;$

⦁ $\left|A\right|\ge 0;A^2\ge 0;\sqrt{A}\ge 0$ (với $A\ge 0).$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Biểu thức đại số đơn giản có chứa giá trị tuyệt đối, bình phương và căn bậc hai

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f\left(x\right)=|x-3|-5.$

Hướng dẫn giải:

Với mọi x, ta có $|x-3|\ge 0.$ Suy ra $|x-3|-5\ge -5.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $|x-3|=0,$ tức là x=3.

Vậy $f{\left(x\right)}_{\min }=-5$ khi x = 3.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $f\left(x\right)=-x^2+4x+6.$

Hướng dẫn giải:

Với mọi x, ta có $f\left(x\right)=-x^2+4x+6=-{\left(x-2\right)}^2+10\le 10.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-2\right)}^2=0,$ tức là  $x=2.$

Vậy $f{\left(x\right)}_{max}=10$ khi $x=2.$

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f\left(x\right)=x-2\sqrt{x}-3.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\ge 0.$

Với mọi $x\ge 0,$ ta có $f\left(x\right)=x-2\sqrt{x}-3={\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}+1-4={\left(\sqrt{x}-1\right)}^2-4\ge -4.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}-1=0,$ tức là x=1 (thỏa mãn điều kiện).

Vây $f{\left(x\right)}_{\min }=-4$ khi x=1.

Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-3x+2}-5.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: $x^2-3x+2\ge 0$hay $\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge 0,$do đó $x\ge 2$ hoặc $x\le 1.$

Với điều kiện trên ta có $\sqrt{x^2-3x+2}\ge 0$ nên $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-3x+2}-5\ge -5.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^2-3x+2=0,$ tức là x = 1 hoặc x = 2 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $f{\left(x\right)}_{\min }=-5$ khi $x\in \{1;2\}.$

Dạng 2. Dựa vào $x\ge 0$ để

+ tìm giá trị lớn nhất của $A=a+\frac{b}{\sqrt{x}+c}\left(b,c>0\right);$

+ tìm giá trị nhỏ nhất của $B=a-\frac{b}{\sqrt{x}+c}\left(b,c>0\right).$

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{3}{\sqrt{x}+2}.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\ge 0.$  Với mọi $x\ge 0,$  ta có:

⦁ $\sqrt{x}+2\ge 2>0$  nên $A=\frac{3}{\sqrt{x}+2}\le \frac{3}{2}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}+2=2$  hay $\sqrt{x}=0$  tức là $x=0.$

Vậy $A_{\text{max}}=\frac{3}{2}$  khi $x=0.$

⦁ $\sqrt{x}+2>0$  nên để có $A_{\min }$  thì $\sqrt{x}+2$  phải lớn nhất, tức là x  lớn nhất.

Do x  không bị chặn trên, nên không tồn tại $A_{\min }$.

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng $A=\frac{a\sqrt{x}+b}{c\sqrt{x}+d}$  (với $a,b,c,d\in \mathbb{N})$

Ví dụ 6. Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}.$

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P  khi $x\in \mathbb{N},x>8.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\ge 0.$  Ta có $P=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-3}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}.$

a) Với mọi $x\ge 0,$  ta có: $\sqrt{x}\ge 0$  nên $\sqrt{x}+1\ge 1,$  suy ra $\frac{3}{\sqrt{x}+1}\le \frac{3}{1}$

Do đó $-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge -3$  nên $1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge 1-3$  hay $P\ge -2.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0  (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $\text{Min}P=-2$  khi x = 0

b) Khi $x\in \mathbb{N},x>8$  ta có $x\ge 9$  nên $\sqrt{x}\ge 3,$suy ra $\sqrt{x}+1\ge 4$nên $\frac{3}{\sqrt{x}+1}\le \frac{3}{4}$

Do đó $-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge -\frac{3}{4}$  nên $1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}\ge 1-\frac{3}{4}$  hay $P\ge \frac{1}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 9  (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $x\in \mathbb{N},x>8$  thì $\text{Min}P=\frac{1}{4}$  khi x = 9.

Dạng 4. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng $A=\frac{B_2}{B_1}$ với biến là $\sqrt{x}$ (Chẳng hạn $A=\frac{ax+b\sqrt{x}+c}{m\sqrt{x}+n})$

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}$ với $x\ge 0.$

Hướng dẫn giải:

Cách 1.Với $x\ge 0,$ ta có:

$A=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\frac{x-9+16}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6.$

Do $x\ge 0$ nên $\sqrt{x}+3$ và $\frac{16}{\sqrt{x}+3}$ là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số trên ta được:

$\left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}\ge 2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\frac{16}{\sqrt{x}+3}}=8$

Suy ra $\left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6\ge 2$ hay $A\ge 2.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x}+3=\frac{16}{\sqrt{x}+3}$ nên $|\sqrt{x}+3|=4,$ suy ra $\sqrt{x}+3=4$ do đó $x=1$ (do $x\ge 0).$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2 khi $x=1$.

Cách 2.Với $x\ge 0$ đặt $\sqrt{x}=t\left(t\ge 0\right)$ ta có $A=\frac{t^2+7}{t+3}$

Suy ra $t^2+7=At+3A$ hay $t^2-At-3A+7=0\left(*\right).$

Phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t có:

$\Delta ={\left(-A\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3A+7\right)=A^2+12A-28.$

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của A tại một giá trị $x\ge 0$ thì cũng phải tồn tại giá trị $t\ge 0.$

Điều này có nghĩa phương trình $\left(*\right)$ phải có nghiệm t không âm, tức là

Khi đó A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2, khi $\Delta =0,$ tức là $t=\frac{A}{2}=\frac{2}{2}=1$

Với $t=1$ ta có $\sqrt{x}=1$ nên $x=1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2 khi $x=1.$

Ví dụ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{2x-\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}.$

Hướng dẫn giải:

Cách 1.Điều kiện $x\ge 0.$ Khi đó, ta có:

  $A=\frac{2x-\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-3\left(\sqrt{x}+1\right)+8}{\sqrt{x}+1}$

$=2\sqrt{x}-3+\frac{8}{\sqrt{x}+1}=2\left(\sqrt{x}+1\right)+\left(\frac{8}{\sqrt{x}+1}\right)-5.$

Do $x\ge 0$ nên $2\left(\sqrt{x}+1\right)$ và $\frac{8}{\sqrt{x}+1}$ là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $2\left(\sqrt{x}+1\right)$ và $\frac{8}{\sqrt{x}+1}$ ta có:

$2\left(\sqrt{x}+1\right)+\left(\frac{8}{\sqrt{x}+1}\right)\ge 2\sqrt{2\left(\sqrt{x}+1\right).\left(\frac{8}{\sqrt{x}+1}\right)}=8$

Suy ra $2\left(\sqrt{x}+1\right)+\left(\frac{8}{\sqrt{x}+1}\right)-5\ge 8-5$ hay $A\ge 3.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2\left(\sqrt{x}+1\right)=\frac{8}{\sqrt{x}+1}$ hay ${\left(\sqrt{x}+1\right)}^2=4$ nên $\sqrt{x}+1=2$ (do $\sqrt{x}+1>0$ với mọi $x\ge 0$ do đó $x=1$ (thỏa mãn).

Vậy $A_{\min }=3$ khi $x=1.$

Cách 2.Với $x\ge 0,$ đặt $\sqrt{x}=t\left(t\ge 0\right)$ ta có $A=\frac{2t^2-t+5}{t+1}.$

Suy ra $2t^2-t+5=At+A$hay $2t^2-\left(A+1\right)t-A+5=0\left(*\right).$

Phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t có:

$\Delta ={[-\left(A+1\right)]}^2-4\cdot 2\cdot \left(-A+5\right)=A^2+2A+1+8A-40=A^2+10A-39.$

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của A tại một giá trị $x\ge 0,$ thì cũng phải tồn tại giá trị $t\ge 0.$

Điều này có nghĩa phương trình $\left(*\right)$  phải có nghiệm t  không âm, tức là

Khi đó A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2, khi $\Delta =0,$ tức là $t=\frac{A}{2}=\frac{2}{2}=1$

Với $t=1$ ta có $\sqrt{x}=1$ nên $x=1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi $x=1$

Ví dụ 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{-9x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}.$

Hướng dẫn giải:

Cách 1.

Nhận xét: Với hệ số bậc cao nhất là số âm, một số em sẽ gặp khó khăn. Vì vậy nếu không quen dấu “” chỉ cần đổi dấu của biểu thức là đưa về hệ số bậc cao nhất dương:

→ Để tìm $\text{max}A$ ta tìm $\min \left(-A\right),$ từ $A\le m$ ta có $-A\ge -m.$

Điều kiện $x>0.$ Khi đó ta có:

$-A=\frac{9x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=9\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}=9\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1.$

Do $x>0$ nên hai số $9\sqrt{x}$ và $\frac{1}{\sqrt{x}}$ là hai số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $9\sqrt{x}$ và $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ta được:

$9\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{9\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}=6$

Suy ra $9\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\ge 6-1$ hay $-A\ge 5$ nên $A\le -5.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $9\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ hay $9x=1$ nên $x=\frac{1}{9}$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng -5 khi $x=\frac{1}{9}$

Cách 2. Điều kiện $x>0,$ đặt $\sqrt{x}=t>0$ khi đó ta có:

$A=\frac{-9t^2+t-1}{t}$ suy ra $-9t^2+t-1=At$ hay $9t^2+\left(A-1\right)t+1=0\left(*\right).$

Phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t có:

$\Delta ={\left(A-1\right)}^2-4\cdot 9\cdot 1=A^2-2A+1-36=A^2-2A-35.$

Để tồn tại giá trị nhỏ nhất của A tại một giá trị $x>0,$ thì cũng phải tồn tại giá trị $t>0.$

Điều này có nghĩa phương trình $\left(*\right)$ phải có nghiệm t dương, tức là

Khi đó A đạt giá trị lớn nhất bằng -5, khi $\Delta =0,$ tức là $t=-\frac{A-1}{18}=-\frac{-5-1}{18}=\frac{1}{3}.$

Với $t=\frac{1}{3}$ ta có $\sqrt{x}=\frac{1}{3}$ nên $x=\frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng -5 khi $x=\frac{1}{9}$

Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng $A=\frac{1}{\sqrt{x}-m}\left(m\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ khi $x\in \mathbb{N}$

Ví dụ 10. Cho $x\in \mathbb{N},$ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{2}{\sqrt{x}-2}.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\in \mathbb{N},x\ne 4.$

Ta thấy: ⦁ nếu $\sqrt{x}-2>0$ thì $A>0;$

⦁ nếu $\sqrt{x}-2<0$ thì $A<0.$

+) Tìm giá trị lớn nhất của A:

$A_{max}$ xảy ra trong trường hợp $\sqrt{x}-2>0$ hay $\sqrt{x}>2,$ nên x > 4.

Mà $x\in \mathbb{N}$ nên $x\ge 5,$ suy ra $\sqrt{x}\ge \sqrt{5},$ do đó $\sqrt{x}-2\ge \sqrt{5}-2>0$

Khi đó, ta có $\frac{2}{\sqrt{x}-2}\le \frac{2}{\sqrt{5}-2}$ hay $A\le \frac{2\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}=4+2\sqrt{5}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=5$ (thỏa mãn).

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A:

$A_{\min }$ xảy ra trong trường hợp $\sqrt{x}-2<0$ hay $\sqrt{x}<2$ nên $0\le x<4.$

Mà $x\in \mathbb{N}$ nên $0\le x\le 3$ hay$x\in \{0;1;2;3\}.$

Ta có bảng sau: 

Từ bảng trên ta thấy $A_{\min }=-4-2\sqrt{3}$ khi $x=3$ (thỏa mãn).

Vậy $A_{\min }=-4-2\sqrt{3}$ khi $x=3$ và $A_{max}=4+2\sqrt{5}$ khi $x=5.$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) $A=\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x}.$

b) $B=\frac{1}{2-3|x+5|}.$

Bài 2.

a) Tìm giá trị lớn nhất của $A=\sqrt{x}-x+1.$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $B=\frac{x}{\sqrt{x-1}}.$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

• (Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa biến

• (Ôn thi Toán vào 10) So sánh biểu thức A với k (k là số hoặc biểu thức)

• (Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán thực tế ứng dụng căn bậc hai, căn bậc ba

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---