(Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

Trang trước Trang sau

Tìm x để biểu thức A nguyên nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

$A = \frac{m}{n} (m, n \in ℤ; n \neq 0)$ là số nguyên thì n là ước của m

✍ Chú ý:

$A = \frac{m}{n} (m \in ℤ; n \neq 0)$ nguyên thì chưa chắc suy ra được n nguyên.

Ví dụ: $\frac{2}{\frac{1}{4}} = 8$ là số nguyên nhưng $\frac{1}{4}$ không nguyên.

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Tìm giá trị nguyên của biến x để $A = \frac{a}{c \sqrt{x} + d} (a, c, d \in ℤ)$ có giá trị là số nguyên

Ví dụ 1. Biểu thức $A$ sau khi rút gọn có dạng $A = \frac{3}{\sqrt{x} - 2}$ (với điều kiện ban đầu: $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9) .$ Tìm x nguyên để A có giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải:

Vì $x \in ℤ, x \geq 0, x \neq 4$ nên $\sqrt{x}$ là số tự nhiên hoặc là số vô tỉ.

Trường hợp 1. Xét $x \in ℤ, x \geq 0$ nhưng $\sqrt{x}$ là số vô tỉ.

Khi đó $\sqrt{x} - 2$ là số vô tỉ nên $A = \frac{3}{\sqrt{x} - 2}$ cũng là số vô tỉ (loại).

Trường hợp 2. Xét $x \in ℤ, x \geq 0$ và $\sqrt{x}$ là số tự nhiên.

Khi đó $A \in ℤ$ khi $(\sqrt{x} - 2) \in$ Ư $(3) .$

Mà Ư (3)={1;-1;3;-3} và $\sqrt{x} - 2 \geq - 2$ nên $\sqrt{x} - 2 \in$ {-1;1;3}.

Ta có bảng sau:

(Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

Kết hợp điều kiện $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$ ta được x∈{1;25}.

Dạng 2. Tìm giá trị nguyên của biến $x$ để $A = \frac{a \sqrt{x} + b}{c \sqrt{x} + d} (a, b, c, d \in ℤ)$ có giá trị là số nguyên

Ví dụ 2. Tìm $x$ nguyên để $M = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3}$ có giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định $x \geq 0; x \neq 9.$

Ta có $M = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} = \frac{\sqrt{x} - 3 + 6}{\sqrt{x} - 3} = 1 + \frac{6}{\sqrt{x} - 3} .$

Vì $x \in ℤ, x \geq 0, x \neq 9$ nên $\sqrt{x}$ là số tự nhiên hoặc là số vô tỉ.

Trường hợp 1. Xét $x \in ℤ, x \geq 0$ nhưng $\sqrt{x}$ là số vô tỉ.

Khi đó $\sqrt{x} - 3$ là số vô tỉ nên $\frac{6}{\sqrt{x} - 3}$ là số vô tỉ.

Do đó $M = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} = 1 + \frac{6}{\sqrt{x} - 3}$ cũng là số vô tỉ (loại).

Trường hợp 2. Xét $x \in ℤ, x \geq 0$ và $\sqrt{x}$ là số tự nhiên.

Khi đó $M \in ℤ$ khi $(\sqrt{x} - 3) \in$ Ư $(6) .$

Mà Ư $(6) = {1; - 1; 2; - 2; 3; - 3; 6; - 6}$ và $\sqrt{x} - 3 \geq - 3$

Nên $x \in {1; - 1; 2; - 2; 3; - 3; 6} .$

Ta có bảng sau:

(Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

Kết hợp điều kiện $x \geq 0; x \neq 9$ ta được $x \in {0; 1; 4; 16; 25; 36; 81} .$

Dạng 3. Tìm giá trị nguyên của biến x để $A = \frac{x - a}{\sqrt{x} - b} (a \in ℕ; b \in ℤ)$ có giá trị là số nguyên

(Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

Ví dụ 3. Tìm x nguyên để $A = \frac{x - 2}{\sqrt{x} - 3}$ nguyên.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq 0, x \neq 9.$

Ta có $A = \frac{x - 2}{\sqrt{x} - 3} = \frac{x - 9 + 7}{\sqrt{x} - 3} = \sqrt{x} + 3 + \frac{7}{\sqrt{x} - 3} .$

Trường hợp 1. Xét $x = 2$ (thỏa mãn điều kiện), ta có $A = 0 \in ℤ .$

Trường hợp 2. Xét $x \neq 2.$

Vì $x \in ℤ, x \geq 0$ nên $\sqrt{x}$ là số tự nhiên hoặc là số vô tỉ.

⦁ Xét $x \in ℤ, x \geq 0; x \neq 9; x \neq 2$ nhưng $\sqrt{x}$ là số vô tỉ. Khi đó $\sqrt{x} - 3$ là số vô tỉ.

Mà $x - 2$ là số nguyên khác 0 nên $A = \frac{x - 2}{\sqrt{x} - 3}$ cũng là số vô tỉ (loại).

⦁ Xét $x \in ℤ, x \geq 0; x \neq 9; x \neq 2$ và $\sqrt{x}$ là số tự nhiên.

Khi đó $A \in ℤ$ khi $(\sqrt{x} - 3) \in$ Ư $(7) .$

Mà Ư $(7) = {1; - 1; 7; - 7}$ và $\sqrt{x} - 3 \geq - 3$ nên $\sqrt{x} - 3 \in {- 1; 1; 7} .$

Ta có bảng sau:

(Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

Kết hợp điều kiện $x \geq 0; x \neq 9; x \neq 2$ ta được $x \in {4; 16; 100} .$

Kết hợp hai trường hợp ta được: $x \in {2; 4; 16; 100}$ thì A có giá trị là một số nguyên.

Dạng 4. Tìm giá trị thực của biến x để $A = \frac{a}{b \sqrt{x} + c} (a, b, c \in ℕ *)$ có giá trị là số nguyên

Ví dụ 4. Tìm x để $A = \frac{3 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ nguyên, với điều kiện ban đầu $x \geq 0, x \neq 9.$

Hướng dẫn giải:

+ Do $\sqrt{x} \geq 0$ nên $3 \sqrt{x} + 1 > 0$ và $\sqrt{x} + 2 > 0$ nên $A > 0.$

+ Ta có $A = \frac{3 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} = 3 - \frac{5}{\sqrt{x} + 2} < 3$ (do $\frac{5}{\sqrt{x} + 2} > 0) .$

Do đó $0 < A < 3.$ Mà $A \in ℤ$ nên $A \in {1; 2} .$

⦁ $A = 1$ ta có $\frac{3 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} = 1$ nên $3 \sqrt{x} + 1 = \sqrt{x} + 2$

Suy ra $\sqrt{x} = \frac{1}{2},$ do đó $x = \frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

⦁ $A = 2$ ta có $\frac{3 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} = 2$ nên $3 \sqrt{x} + 1 = 2 (\sqrt{x} + 2)$

Suy ra $\sqrt{x} = 3,$ do đó $x = 9$ (không thỏa mãn).

Vậy $x = \frac{1}{4}$ thì A có giá trị là một số nguyên.

Ví dụ 5. Tìm các giá trị của x để $P = \frac{3}{x - \sqrt{x} + 3}$ là số nguyên.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq 0.$

Ta có: $x - \sqrt{x} + 3 = {(\sqrt{x} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{11}{4} \geq \frac{11}{4} > 0$ với mọi $x \geq 0.$ Do đó:

⦁ $P = \frac{3}{x - \sqrt{x} + 3} > 0.$

⦁ $P = \frac{3}{x - \sqrt{x} + 3} \leq \frac{3}{\frac{11}{4}} = \frac{12}{11} .$

Suy ra $0 < P < \frac{12}{11} .$ Mà $P \in ℤ$ nên $P = 1.$

Khi đó $\frac{3}{x - \sqrt{x} + 3} = 1$ suy ra $x - \sqrt{x} = 0$ hay $\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) = 0$ do đó $x = 0$ hoặc $x = 1.$

Các giá trị của x tìm được ở trên đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy $x \in {0; 1}$ thì A nhận giá trị nguyên.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm $P = \frac{7}{\sqrt{x} + 3}$ để (với $x \geq 0)$ có giá trị là số nguyên

Bài 2. Tìm $x \in ℤ$ để $P = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$ có giá trị là số nguyên.

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học