(Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa biến

Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa biến nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ (Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa biến theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

• a - x = $\left(\sqrt{a}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{x}\right)$ với a; x ≥ 0.                   

• $b^3-x\sqrt{x}=b^3-{\left(\sqrt{x}\right)}^3=\left(b-\sqrt{x}\right)\left(b^2+b\sqrt{x}+x\right)$ với x ≥ 0.

• $\frac{m}{a-b\sqrt{c}}=\frac{m\left(a+b\sqrt{c}\right)}{\left(a-b\sqrt{c}\right)\left(a+b\sqrt{c}\right)}=\frac{m\left(a+b\sqrt{c}\right)}{a^2-b^2\cdot c}$ (m, a, b, c ∈ ℤ; c ≥ 0; a² ≠ b²c).

• $\frac{m}{a+b\sqrt{c}}=\frac{m\left(a-b\sqrt{c}\right)}{\left(a+b\sqrt{c}\right)\left(a-b\sqrt{c}\right)}=\frac{m\left(a-b\sqrt{c}\right)}{a^2-b^2\cdot c}$ (m, a, b, c ∈ ℤ; c ≥ 0; a² ≠ b²c).

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải: Bước 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức • $\sqrt{f\left(x\right)},\sqrt[4]{f\left(x\right)}$: điều kiện xác định là f(x) ≥ 0. • A = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$: điều kiện xác định là g(x) ≠ 0. • A = $\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{g\left(x\right)}}$: điều kiện xác định là g(x) > 0. • A = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}:\frac{m\left(x\right)}{n\left(x\right)}$: điều kiện xác định là g(x) ≠ 0, n(x) ≠ 0, m(x) ≠ 0. Bước 2. Quy đồng và rút gọn • Phân tích các mẫu số từng phân thức thành nhân tử (nếu mẫu số có thể phân tích). • Trong từng phân thức đơn lẻ, ta nên chú ý xem tử số có thể phân tích thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu số hay không.

Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A = $\frac{x+5}{\sqrt{x}-3}:\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}-3\ne 0\\ \sqrt{x}+3\ne 0\\ \sqrt{x}-1\ne 0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne 3\\ \sqrt{x}\ne -3\\ \sqrt{x}\ne 1\end{array}\right.$, do đó $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ne 9\\ x\ne 1\end{array}\right.$.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 1.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:

P = $\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$ với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9.

Hướng dẫn giải:

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có

Ví dụ 3. Rút gọn A = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{3x+4}{x-4}\left(x\ge \mathrm{0,}x\ne 4\right)$.

Hướng dẫn giải:

Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có:

A = $\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{3x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

   = $\frac{2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

   = $\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

Ví dụ 4. Rút gọn A = $\frac{\frac{{\left(a-b\right)}^3}{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}$ (với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b).

Hướng dẫn giải:

Với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b, ta có

Dạng 2. Tính giá trị biểu thức khi x = m là số hoặc biểu thức chứa căn)

Phương pháp giải: Bước 1. Nếu x = m là biểu thức chứa căn thì phải xem có thể rút gọn được m trước hay không (đối chiếu x với tập xác định). Bước 2. Thay x vào biểu thức và rút gọn, nếu mẫu số có chứa căn thức phải trục căn thức ở mẫu.

Ví dụ 5. Tính giá trị biểu thức $A=\frac{2}{x+2}$ tại $x=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ (với điều kiện cho ban đầu $x\ge \mathrm{0,}x\ne 4$).

Hướng dẫn giải:

Cách kiểm tra kết quả tính giá trị biểu thức bằng máy Casio

Dạng 3. Tìm x biết giá trị biểu thức A = k (k là hằng số hoặc biểu thức)

Phương pháp giải: Để tìm x khi biết giá trị của biểu thức A = k, ta thực hiện: • Giải phương trình A = k hay A - k = 0. • Sau khi tìm được x, cần phải đối chiếu với điều kiện xác định.

Ví dụ 6. Cho $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$ (với điều kiện ban đầu $x\ge \mathrm{0,}x\ne 4$).

a) Tìm x biết $A=\frac{3}{4}$.

b) Tìm x biết $A=\frac{2\sqrt{x}-2}{3\sqrt{x}-4}$.

Hướng dẫn giải:

⮚ Chú ý: Với phương trình có chứa giá trị tuyệt đối:

⦁ $\left|A\right|=\left\{\begin{array}{l}A\text{ khi }A\ge 0\\ -A\text{ khi }A<0\end{array}\right.$.

⦁ Nếu |f(x)| = g(x) thì $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=\pm g\left(x\right)\end{array}\right.$, giải ra x và đối chiếu điều kiện.

Ví dụ 7. Cho $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$, $\hspace{0.17em}B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$. Tìm x để A = B.|x - 1|.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\ge \mathrm{0,}x\ne 25$.

Ta có A = B.|x - 1| hay $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}\cdot \left|x-1\right|$, do đó $\left|x-1\right|=\sqrt{x}+1$ (1)

Cách 1: Vì $\sqrt{x}+1\ge 1>0\forall x$ với mọi giá trị của x nên ta có

$x-1=\sqrt{x}+1$ hoặc $x-1=-\sqrt{x}-1$

$x-\sqrt{x}-2=0$ hoặc $x+\sqrt{x}=0$

$\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)=0$ hoặc $\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=0$

x = 0 hoặc x = 4.

Vậy để A = B.|x - 1| thì x = 0 hoặc x = 4.

Cách 2: Do x ≥ 0 nên $\left|x-1\right|=\left|\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\right|$ = $\left|\sqrt{x}-1\right|\cdot \left(\sqrt{x}+1\right)$.

Khi đó $\left|\sqrt{x}-1\right|=1$

$\sqrt{x}-1=1$ hoặc $\sqrt{x}-1=-1$

$\sqrt{x}=2$ hoặc $\sqrt{x}=0$

x = 0 (TM) hoặc x = 4 (TM).

Ví dụ 8. Cho $A=\frac{x-3}{\sqrt{x}-1}$, $\hspace{0.17em}B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$. Tìm x để $A=B\left|\sqrt{x}-3\right|$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\ge \mathrm{0,}x\ne 1$, ta có $A=B\left|\sqrt{x}-3\right|$ hay $\frac{x-3}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left|\sqrt{x}-3\right|}{\sqrt{x}-1}$ nên $\left|\sqrt{x}-3\right|=x-\text{3}$ (1)

Điều kiện để (1) có nghiệm thì x - 3 ≥ 0 hay x ≥ 0

Khi đó $\sqrt{x}-3=x-3$ hoặc $\sqrt{x}-3=-x+3$

$\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}\right)=0$ hoặc $\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=0$

$\sqrt{x}=0$ hoặc $\sqrt{x-1}=0$ hoặc $\sqrt{x}-2=0$ hoặc $\sqrt{x}+3=0$

x = 0 hoặc x - 1 = 0 hoặc $\sqrt{x}=2$

x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = 4.

Kết hợp các điều kiện, ta có x = 4.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2}{x-1}$.

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

c) Tìm x để $A=\frac{1}{2}$.

Bài 2. Cho biểu thức $P=\left(\frac{2}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+2}$.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Cho $x=3+2\sqrt{2}$. Tìm P.

c) Tìm x biết $\left|P\right|=\frac{x}{2x-2}$.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Rút gọn biểu thức không chứa biến

• (Ôn thi Toán vào 10) So sánh biểu thức A với k (k là số hoặc biểu thức)

• (Ôn thi Toán vào 10) Tìm x để biểu thức A nguyên

• (Ôn thi Toán vào 10) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán thực tế ứng dụng căn bậc hai, căn bậc ba

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---