(Ôn thi Toán vào 10) Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá

Trang trước Trang sau

Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Đưa phương trình về tổng các bình phương $A_{x}^{2} + B_{x}^{2} = 0 (*) .$

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^{2} + 4 x + 5 = 2 \sqrt{2 x + 3}$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \geq \frac{- 3}{2}$ .

Khi đó: $x^{2} + 4 x + 5 = 2 \sqrt{2 x + 3}$

$x^{2} + 4 x + 5 - 2 \sqrt{2 x + 3} = 0$

$x^{2} + 2 x + 1 + (2 x + 3) - 2 \sqrt{2 x + 3} + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} + {(\sqrt{2 x + 3} - 1)}^{2} = 0$ .

Vì ${(x + 1)}^{2} \geq 0; {(\sqrt{2 x + 3} - 1)}^{2} = 0$ nên phương trình xảy ra khi $\{\begin{cases} {(x + 1)}^{2} = 0 \\ {(\sqrt{2 x + 3} - 1)}^{2} = 0 \end{cases} .$

Khi đó ta có $\{\begin{cases} x + 1 = 0 \\ \sqrt{2 x + 3} - 1 = 0 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} x = - 1 \\ 2 x + 3 = 1 \end{cases}$ nên $x = - 1 (TM)$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 1$ .

Ví dụ 2. Giải phương trình $3 x + 7 = 4 \sqrt{x + 3} + 2 \sqrt{2 x - 1}$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $\{\begin{cases} x \geq - 3 \\ x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$ nên $x \geq \frac{1}{2}$ , khi đó cả hai vế của phương trình đều không âm.

Ta có: $3 x + 7 = 4 \sqrt{x + 3} + 2 \sqrt{2 x - 1}$

$3 x + 7 - 4 \sqrt{x + 3} - 2 \sqrt{2 x - 1} = 0$

$[(x + 3) - 4 \sqrt{x + 3} + 4] + [(2 x - 1) - 2 \sqrt{2 x - 1} + 1] = 0$

${(\sqrt{x + 3} - 2)}^{2} + {(\sqrt{2 x - 1} - 1)}^{2} = 0$ .

Vì ${(\sqrt{x + 3} - 2)}^{2} \geq 0; {(\sqrt{2 x - 1} - 1)}^{2} \geq 0$ nên phương trình xảy ra khi $\{\begin{cases} \sqrt{x + 3} - 2 = 0 \\ \sqrt{2 x - 1} - 1 = 0 \end{cases} .$

Khi đó ta có $\{\begin{cases} \sqrt{x + 3} = 2 \\ \sqrt{2 x - 1} = 1 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} x + 3 = 4 \\ 2 x - 1 = 1 \end{cases}$ nên $x = 1$ (TM).

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

Dạng 2. Giải phương trình $F (x) = G (x)$ bằng cách đánh giá dựa vào bất đẳng thức

Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 4 x + 5} + \sqrt{2 x^{2} - 8 x + 9} = - x^{4} + 8 x^{2} - 14.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\sqrt{x^{2} - 4 x + 5} + \sqrt{2 x^{2} - 8 x + 9} = - x^{4} + 8 x^{2} - 14$

$\sqrt{{(x - 2)}^{2} + 1} + \sqrt{2 {(x - 2)}^{2} + 1} = 2 - {(x^{2} - 4)}^{2} (*)$

Do đó $\{\begin{cases} \sqrt{{(x - 2)}^{2} + 1} \geq \sqrt{1} = 1 \\ \sqrt{2 {(x - 2)}^{2} + 1} \geq \sqrt{1} = 1 \end{cases}$
Do đó $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + 1} + \sqrt{2 {(x - 2)}^{2} + 1} \geq 2. (1)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x - 2 = 0$ hay $x = 2$ .

Mặt khác $2 - {(x^{2} - 4)}^{2} \leq 2 (2)$ , dấu $" = "$ xảy ra khi $(x^{2} - 4) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$ .

Suy ra $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + 1} + \sqrt{2 {(x - 2)}^{2} + 1} \geq 2 \geq 2 - {(x^{2} - 4)}^{2}$ .

Do đó để $(*)$ xảy ra thì dấu $" = "$ ở $(1), (2)$ đồng thời xảy ra hay $x = 2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

Ví dụ 4. Giải phương trình $\sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} = x^{2} - 6 x + 13 (*)$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $- 1 \leq x \leq 7$ .

Ta có $x^{2} - 6 x + 13 = {(x - 3)}^{2} + 4 \geq 4 (1),$ dấu $" = "$ xảy ra khi $x = 3.$

Ta chứng minh $\sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} \leq 16 (2) .$

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

Khi đó $\sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} \leq 4.$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\sqrt{x + 1} = \sqrt{7 - x}$ nên $x + 1 = 7 - x$ hay $x = 3.$

Suy ra $\sqrt{x + 1} + \sqrt{7 - x} \leq 4 \leq x^{2} - 6 x + 13$ .

Do đó để có $(*)$ thì $(1), (2)$ có dấu $" = "$ xảy ra đồng thời nên $x = 3.$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình $(*)$ có nghiệm $x = 3.$ .

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học