(Ôn thi Toán vào 10) Ứng dụng hằng đẳng thức và phép nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ

Trang trước Trang sau

Ứng dụng hằng đẳng thức và phép nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Các hằng đẳng thức

2. Biểu thức liên hợp

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ là $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

Ta có $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$ .

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt{a} - b$ là $\sqrt{a} + b$ .

Ta có $(\sqrt{a} - b) (\sqrt{a} + b) = a - b^{2}$ .

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{a} - b$ là ${\sqrt[3]{a}}^{2} + \sqrt[3]{a} \cdot b + b^{2}$ .

Ta có $(\sqrt[3]{a} - b) ({\sqrt[3]{a}}^{2} + \sqrt[3]{a} \cdot b + b^{2}) = a - b^{3}$ .

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{a} + b$ là ${\sqrt[3]{a}}^{2} - \sqrt[3]{a} \cdot b + b^{2}$ .

Ta có $(\sqrt[3]{a} + b) ({\sqrt[3]{a}}^{2} - \sqrt[3]{a} \cdot b + b^{2}) = a + b^{3}$ .

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Nâng lên luỹ thừa để phá căn

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt{x - 1} + \sqrt{3 x - 2} = \sqrt{5 x - 1} (1)$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq 1; x \geq \frac{2}{3}; x \geq \frac{1}{5}$ nên $x \geq 1.$

Do hai vế đề không âm nên bình phương hai vế nên từ $(1)$ ta có:

$4 x - 3 + 2 \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{3 x - 2} = 5 x - 1$

$2 \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{3 x - 2} = x + 2 (*)$

Từ điều kiện xác định ra có $x + 2 > 0$ , nên bình phương hai vế của $(*)$ ta có

$4 (x - 1) (3 x - 2) = {(x + 2)}^{2}$

$11 x^{2} - 24 x + 4 = 0$

$(x - 2) (11 x - 2) = 0$

$x = 2 (TM)$ hoặc $x = \frac{2}{11}$ (loại)

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2.$

Ví dụ 2.Giải phương trình $\sqrt[3]{x + 6} - \sqrt[3]{x - 1} = 1 (2)$

Hướng dẫn giải:

Lập phương hai vế của phương trình, ta có

$x + 6 - (x - 1) - 3 \sqrt[3]{x + 6} \cdot \sqrt[3]{x - 1} \cdot (\sqrt[3]{x + 6} - \sqrt[3]{x - 1}) = 1 (*)$

$x + 6 - (x - 1) - 3 \sqrt[3]{x + 6} \cdot \sqrt[3]{x - 1} \cdot 1 = 1$

$\sqrt[3]{x + 6} \cdot \sqrt[3]{x - 1} = 2$

$(x + 6) (x - 1) = 8$

$x^{2} + 5 x - 14 = 0$

$(x - 2) (x + 7) = 0$

$x - 2 = 0$ hoặc $x + 7 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = - 7$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = {- 7; 2}$ .

Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt{3 x + 1} + \sqrt{x + 2} = \sqrt{6 x - 4} + \sqrt{4 x - 3} (3)$

Phân tích:Kiểm tra các biểu thức trong căn, ta thấy $(3 x + 1) + (4 x - 3) = (x + 2) + (6 x - 4)$ nên ta thực hiện chuyển vế như dưới sau đó bình phương. Khi đó sẽ triệt tiêu được các hạng tử chứa x bên ngoài căn.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $x \geq \frac{- 1}{3}; x \geq - 2; x \geq \frac{4}{6}; x \geq \frac{3}{4}$ nên $x \geq \frac{3}{4}$ .

Từ phương trình $(3)$ ta có $\sqrt{3 x + 1} - \sqrt{4 x - 3} = \sqrt{6 x - 4} - \sqrt{x + 2} (4)$

${(\sqrt{3 x + 1} - \sqrt{4 x - 3})}^{2} = {(\sqrt{6 x - 4} - \sqrt{x + 2})}^{2} (5)$

$7 x - 2 - 2 \sqrt{(3 x - 1) (4 x - 3)} = 7 x - 2 - 2 \sqrt{(6 x - 4) (x + 2)}$

$\sqrt{3 x + 1} - \sqrt{4 x - 3} = \sqrt{6 x - 4} - \sqrt{x + 2}$

$12 x^{2} - 5 x - 3 = 6 x^{2} + 8 x - 8$

$6 x^{2} - 13 x + 5 = 0$

$x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = \frac{5}{3}$ .

Đối chiếu điều kiện, ta có $x = \frac{5}{3}$ ; thử lại thấy $x = \frac{5}{3}$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{5}{3}$ .

Nhận xét: Do từ $(4)$ đến $(5)$ không phải biến đổi tương đương nên khi giải ra kết quả, ngoài đối chiếu điều kiện ta phải thử lại ở phương trình ban đầu.

Dạng 2. Ghép thích hợp đưa về phương trình tích

Phương pháp giải: Kiểm tra phương trình ban đầu xem có thể tách rồi đặt nhân tử chung và đưa phương trình về phương trình tích hay không (Chú ý tới một số hằng đẳng thức có thể xuất hiệntrong các biểu thức).

Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x^{3} + 1} - 4 = 2 \sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}$ .

Hướng dẫn giải:

Do $x^{2} - x + 1 = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi x và $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

Nên ta có điều kiện: $x \geq - 1$ .

Khi đó $\sqrt{x^{3} + 1} - 4 = 2 \sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 \sqrt{x + 1}$

$\sqrt{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 2 \sqrt{x + 1} - (2 \sqrt{x^{2} - x + 1} + 4) = 0$

$\sqrt{x + 1} (\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2) - 2 (\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2) = 0$

$(\sqrt{x + 1} - 2) (\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2) = 0$

$\sqrt{x + 1} - 2 = 0$ (vì $\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2 > 0)$

$x = 3$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ .

Dạng 3. Nhân liên hợp đưa về phương trình tích

Ví dụ 5. Giải phương trình $\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{3 x + 2} = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x + 3}$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq \frac{- 1}{2}$ .

Ta có $\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{3 x + 2} = \sqrt{x + 2} + \sqrt{2 x + 3}$

$(\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{x + 2}) + (\sqrt{3 x + 2} - \sqrt{2 x + 3}) = 0. (1)$

Vì $\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x + 2} \neq 0; \sqrt{3 x + 2} + \sqrt{2 x + 3} \neq 0$ nên

$\frac{(2 x + 1) - (x + 2)}{\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x + 2}} + \frac{(3 x + 2) - (2 x + 3)}{\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{2 x + 3}} = 0$

$\frac{x - 1}{\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x + 2}} + \frac{x - 1}{\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{2 x + 3}} = 0$

$(x - 1) (\frac{1}{\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x + 2}} + \frac{1}{\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{2 x + 3}}) = 0 (2)$

Ta có $\frac{1}{\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x + 2}} + \frac{1}{\sqrt{3 x + 2} + \sqrt{2 x + 3}} > 0$ với $x \geq \frac{- 1}{2}$ .

Khi đó $(2)$ trở thành $x - 1 = 0$ hay $x = 1$ (TM).

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

Dạng 4. Nhẩm nghiệm sau đó tách thích hợp để đưa về phương trình tích

Phương pháp giải:

Bước 1. Nhẩm xem phương trình có nghiệm nguyên là số nào, thường là các số khi thay vào có thể khai căn.

Bước 2. Tính giá trị của mỗi căn, khi đó ta biết giá trị cần thêm hay bớt tương ứng.

Bước 3. Kết hợp biểu thức liên hợp để phân tích thành nhân tử.

➣ Chú ý: Phương trình $f (x) = 0$ nếu có nghiệm $x = a$ thì $f (x) = (x - a) \cdot Q (x)$ .

Ví dụ 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{x - 1} + \sqrt{x + 2} = 3 (1)$

Phân tích: Nhẩm thấy $(1)$ có nghiệm $x = 2$ , khi đó phương trình sẽ chứa nhân tử $x - 2$ tương ứng $\sqrt[3]{x - 1} = 1; \sqrt{x + 2} = 2$ hay $\sqrt[3]{x - 1} - 1 = 0; \sqrt{x + 2} - 2 = 0$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq - 2$ .

Ta có

${\sqrt[3]{x - 1}}^{2} + \sqrt[3]{x - 1} + 1 = {(\sqrt[3]{x - 1} + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0;$ $\sqrt{x + 2} + 2 > 0$ .

Từ phương trình $(1)$ ta có $\sqrt[3]{x - 1} + \sqrt{x + 2} - 3 = 0$ nên

$\frac{(x - 1) - 1}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2} + \sqrt[3]{x - 1} + 1} + \frac{(x + 2) - 4}{\sqrt{x + 2} + 2} = 0$

$\frac{x - 2}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2} + \sqrt[3]{x - 1} + 1} + \frac{x - 2}{\sqrt{x + 2} + 2} = 0$

$(x - 2) (\frac{1}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2} + \sqrt[3]{x - 1} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2}) = 0$

$x - 2 = 0$ (vì $\frac{1}{{\sqrt[3]{x - 1}}^{2} + \sqrt[3]{x - 1} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} > 0$ ).

$x = 2$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt{x - 2} + \sqrt{7 - x} = 2 x^{2} - 5 x (2)$

Phân tích: Nhẩm thấy $(2)$ có nghiệm $x = 3$ , khi đó $\sqrt{x - 2} = 1; \sqrt{7 - x} = 2$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $2 \leq x \leq 7$ .Vì $\sqrt{x - 2} + 1 > 0; \sqrt{7 - x} + 2 > 0$ nên từ $(2)$ suy ra

$(\sqrt{x - 2} - 1) + (\sqrt{7 - x} - 2) - (2 x^{2} - 5 x + 3) = 0$

$\frac{x - 2 - 1}{\sqrt{x - 2} + 1} + \frac{7 - x - 4}{\sqrt{7 - x} + 2} - (x - 3) (2 x + 1) = 0$

$\frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} + 1} + \frac{3 - x}{\sqrt{7 - x} + 2} - (x - 3) (2 x + 1) = 0$

$(x - 3) (\frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{7 - x} + 2} - 2 x - 1) = 0$ .

• TH1: $x - 3 = 0$ hay $x = 3$ (TM).

• TH2: $x - 3 \neq 0$ hay $x \neq 3$ , ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{7 - x} + 2} - 2 x - 1 = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{7 - x} + 2} + 2 x + 1 (3)$ .

Nhận thấy với $2 \leq x \leq 7$ thì $\frac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} < 1 < \frac{1}{\sqrt{7 - x} + 2} + 2 x + 1$ nên $(3)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ .

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học