(Ôn thi Toán vào 10) Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Trang trước Trang sau

Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Đặt một ẩn phụ

Ví dụ 1.Giải phương trình $2 x^{2} + 6 x + 12 + \sqrt{x^{2} + 3 x + 2} = 9. (1)$

Phân tích:

Biểu thức trong căn và ngoài căn có mối liên hệ $2 x^{2} + 6 x + 12 = 2 (x^{2} + 3 x + 2) + 8.$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x^{2} + 3 x + 2 \geq 0$ nên $x \geq - 1$ hoặc $x \leq - 2$ .

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 3 x + 2} \geq 0$ .Khi đóphương trình $(1)$ trở thành

$2 t^{2} + 8 + t = 9$

$2 t^{2} + t - 1 = 0$

$(t + 1) (2 t - 1) = 0$

$t = - 1$ (loại) hoặc $t = \frac{1}{2} (TM)$

Khi đó $x^{2} + 3 x + 2 = \frac{1}{2}$ hay $2 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ .

Do đó $x = - 3 - \sqrt{3} (TM)$ hoặc $x = - 3 + \sqrt{3}$ (loại).

Vậy phương trình có nghiệm $x = - 3 - \sqrt{3}$ .

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^{2} + x + 6 \sqrt{x + 2} = 18 (2)$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq - 2$ .Đặt $t = \sqrt{x + 2} (t \geq 0)$ nên $x = t^{2} - 2$ .

Phương trình $(2)$ trở thành $t^{4} - 4 t^{2} + 4 + t^{2} - 2 + 6 t - 18 = 0$

$t^{4} - 3 t^{2} + 6 t - 16 = 0$

$(t - 2) (t^{3} + 2 t^{2} + t + 8) = 0$

$t = 2$ (vì $t^{3} + 2 t^{2} + t + 8 > 0$ khi $t \geq 0$ )

Khi đó $\sqrt{x + 2} = 2$ nên $x = 4$ (TMĐK).

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt[4]{x + \sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt[4]{x - \sqrt{x^{2} - 1}} = 2. (3)$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $\{\begin{cases} x^{2} - 1 \geq 0 \\ x - \sqrt{x^{2} - 1} \geq 0 \end{cases} (*)$ . Đặt $t = \sqrt[4]{x - \sqrt{x^{2} - 1}} > 0$ nên $\sqrt[4]{x + \sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{t}$ .

Phương trình $(3)$ trở thành $\frac{1}{t} + t - 2 = 0$ nên ${(t - 1)}^{2} = 0$ , do đó $t = 1$ .

Khi đó ta có $x - \sqrt{x^{2} - 1} = 1$ hay $x - 1 = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Do đó $\{\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 1 \end{cases}$ nên $\{\begin{cases} x \geq 1 \\ 2 x = 2 \end{cases}$ hay $x = 1$ (thỏa mãn $(*)$ ).

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ .

Ví dụ 4. Giải phương trình $\sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - x} + \sqrt{(x + 2) (5 - x)} = 4. (4)$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $- 2 \leq x \leq 5.$ Đặt $t = \sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - x} > 0$ .

Khi đó $t^{2} = 7 + 2 \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{5 - x}$ nên $\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{5 - x} = \frac{t^{2} - 7}{2}$ .

Phương trình $(1)$ trở thành $t^{2} + \frac{t^{2} - 7}{2} = 4$

$(t - 3) (t + 5) = 0$

$t = 3$ (vì $t + 5 > 0$ )

Từ đó ta có $\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{5 - x} = \frac{3^{2} - 7}{2} = 1$

$(x + 2) (5 - x) = 1$

$x^{2} - 3 x - 9 = 0$

$x = \frac{3 - 3 \sqrt{5}}{2} (TM)$ hoặc $x = \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2} (TM)$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \frac{3 - 3 \sqrt{5}}{2}$ ; $x = \frac{3 + 3 \sqrt{5}}{2}$ .

Dạng 2. Đặt hai ẩn phụ, đưa về giải hệ phương trình

Ví dụ 5.Giải phương trình $\sqrt[3]{2 - x} + \sqrt{x - 1} = 1. (5)$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq 1$ , đặt $u = \sqrt[3]{2 - x}; v = \sqrt{x - 1} \geq 0$ . Do đó $u^{3} + v^{2} = 1.$

Từ $(5)$ ta có $\{\begin{cases} u + v = 1 \\ u^{3} + v^{2} = 1 \end{cases}$ nên $\{\begin{cases} v = 1 - u \\ u^{3} + {(1 - u)}^{2} = 1 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} v = 1 - u \\ u^{3} + u^{2} - 2 u = 0 \end{cases}$ .

Ta có $u^{3} + u^{2} - 2 u = 0$ hay $u (u^{2} + u - 2) = 0$

$u = 0$ hoặc $u^{2} + u - 2 = 0$

$u = 0$ hoặc $u = 1$ hoặc $u = - 2$

Do đó $v = 1$ (TM) hoặc $v = 0$ (TM) hoặc $v = 3$ (TM).

Khi đó tương ứng có $x = 2, x = 1, x = 10$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có ba nghiệm $x = 2, x = 1, x = 10$ .

Ví dụ 6. Giải phương trình $2 (x^{2} + 2) = 5 \sqrt{x^{3} + 1} . (6)$

Phân tích: $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ và $(x + 1) + (x^{2} - x + 1) = x^{2} + 2$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x \geq - 1$ .

Đặt $u = \sqrt{x + 1} > 0, v = \sqrt{x^{2} - x + 1}$ nên $u^{2} + v^{2} = x^{2} + 2$ .

Phương trình $(6)$ trở thành $2 (u^{2} + v^{2}) = 5 u v$ hay $2 u^{2} - 5 u v + 2 v^{2} = 0$

Khi đó $(2 u - v) (u - 2 v) = 0$ nên $u = \frac{v}{2}$ ; $u = 2 v$ .

⦁Với $u = \frac{v}{2}$ thì $x + 1 = \frac{x^{2} - x + 1}{4}$

$4 (x + 1) = x^{2} - x + 1$

$x^{2} - 5 x - 3 = 0$

$x = \frac{5 - \sqrt{37}}{2} (TM)$ hoặc $x_{2} = \frac{5 + \sqrt{37}}{2} (TM)$ .

⦁ Với $u = 2 v$ thì $x + 1 = 4 x^{2} - 4 x + 4$ hay $4 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ (phương trình vô nghiệm).

Vây phương trình có hai nghiệm $x_{1} = \frac{5 - \sqrt{37}}{2}; x_{2} = \frac{5 + \sqrt{37}}{2}$ .

Dạng 3. Đặt một ẩn phụ, kết hợp ẩn ban đầu đưa về phương trình tích hoặc giải hệ phương trình

Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt{2 - x} = 2 - x^{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $\{\begin{cases} 2 - x \geq 0 \\ 2 - x^{2} \geq 0 \end{cases}$ hay $- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ . Đặt $u = \sqrt{2 - x} \geq 0$ nên $x = 2 - u^{2}$ .

Do đó, ta có hệ $\{\begin{cases} u = 2 - x^{2} & (1) \\ x = 2 - u^{2} & (2) \end{cases}$ .

Trừ $(1)$ cho $(2)$ theo từng vế, được $u - x = u^{2} - x^{2}$ hay $(u - x) (u + x - 1) = 0$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$ và $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học