(Ôn thi Toán vào 10) Đa giác. Đa giác đều

Đa giác. Đa giác đều nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Đa giác, đa giác lồi

⦁Đa giác $A_1{A}_2\dots A_n\left(n\ge 3,n\in \mathbb{N}\right)$ là một hình gồm $n$ đoạn thẳng $A_1{A}_2,A_2{A}_3,\dots ,A_{n-1}{A}_n,$ $A_1,A_2,\dots ,A_n$ sao cho mỗi điểm $A_1,A_2,\dots ,A_n$ là điểm chung của hai đoạn thẳng và không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng. Trong đa giác $A_1{A}_2\dots A_n$ các điểm $A_1,A_2,\dots ,A_n$ là các đỉnh, các đoạn thẳng $A_1{A}_2,A_2{A}_3,\dots ,A_{n-1}{A}_n,A_n{A}_1,$ là các cạnh.

⦁Đa giác lồi là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác đó.

⦁Đa giác lồi có $n$ cạnh $\left(n\ge 3,n\in \mathbb{N}\right)$ cũng là đa giác lồi có $n$ góc. Khi $n$ lần lượt bằng $3;4;5;6;\dots$ ta có tam giác, tứ giác lồi, lục giác lồi,...

2. Đa giác đều

⦁Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

⦁Trong mỗi một đa giác đều có duy nhất một điểm $O$ cách đều tất cả các đỉnh của đa giác đó. Điểm $O$ được gọi là tâm của tam giác đều.

⦁Phần mặt phẳng giới hạn bởi đa giác đều được gọi là hình đa giác đều. Mỗi hình đa giác đều cũng là một phần của mặt phẳng nên hình đa giác đều còn gọi là hình phẳng đều.

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1. Góc của đa giác, đa giác đều

Ví dụ 1. Tính số đo mỗi góc trong ở mỗi đỉnh của lục giác đều.

Hướng dẫn giải:

Tổng các góc trong của lục giác đều là: $\left(6-2\right)\cdot 180°=720°.$

Tổng mỗi góc trong của lục giác đều là: $720°:6=120°.$

Ví dụ 2. Đa giác bao nhiêu cạnh thì có tổng các góc bằng $2340°?$

Hướng dẫn giải:

Gọi số cạnh của đa giác là $n$ Khi đó tổng số đo các góc của đa giác là:

$\left(n-2\right)\cdot 180°=2340°$ suy ra $n=15.$

Vậy đa giác 15 cạnh thì có tổng các góc bằng $2340°.$

Dạng 2. Cạnh của đa giác, đường chéo đa giác

Ví dụ 3. Tìm số cạnh của đa giác đều số đường chéo hơn số cạnh là 42.

Hướng dẫn giải:

Gọi số cạnh của đa giác là $n.$

Khi đó tổng số đường chéo của đa giác là $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ nên $\frac{n\left(n-3\right)}{2}-n=42.$

Do đó $n^2-5n-84=0$, suy ra $n=12.$

Vậy đa giác đều 12 cạnh có số đường chéo hơn số cạnh là 42.

Ví dụ 4. Chứng minh trong ngũ giác, tổng các đường chéo lớn hơn chu vi.

Hướng dẫn giải:

Cộng theo vế ta thấy vế trái lớn hơn chu vi của ngũ giác.

Mà vế phải lại nhỏ hơn tổng độ dài các đường chéo.

Dạng 3. Tính cạnh của tam giác đều, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều đó

Ví dụ 5. Cho lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$ bán kính $3\text{cm}.$ Tính độ dài cạnh của đa giác đều.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 6. Cho ngũ giác đều $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$. Tính độ dài cạnh của đa giác đều biết $OA=8\text{cm}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải:Hạ $OH\perp AB.$

Dạng 4. Chứng minh một đa giác là đa giác đều

Vì $ABCD$ là hình thoi $\widehat{ABC}=120°$ nên $\hat{A}=60°.$

Vì $\Delta AEH$ là tam giác đều (tam giác cân có một góc bằng $60°).$

Do đó $EH=AE=\frac{1}{2}AB$ nên $\widehat{BEH}=\widehat{EHD}=120°.$

Ta dễ dàng chứng minh được các cạnh của đa giác $EBFGDH$ đều bằng nhau và bằng $\frac{1}{2}AB,$ tất cả các góc đều bằng $120°.$

Khi đó đa giác $EBFGDH$ là lục giác đều.

Ví dụ 8. Cho lục giác đều $ABCDEF.$ Gọi $M,L,K$ lần lượt là trung điểm của $EF,DE,CD.$ Gọi giao điểm của $AK$ với $BL$ và $CM$ lần lượt là $P,Q.$ Gọi giao điểm của $CM$ và $BL$ lần lượt là $P,Q.$ Gọi giao điểm của $CM$ và $BL$ là $R.$ Chứng minh tam giác $PQR$ là tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Trong tam giác $CKQ$ có $\widehat{CQK}+\alpha +\beta =180°$ nên $\widehat{CQK}=60°.$

Từ đó suy ra $\widehat{RQP}=\widehat{RPQ}=60°.$ Vậy tam giác $PQR$ là tam giác đều.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tổng các góc trong của đa giác 20 cạnh là: $\left(20-2\right)\cdot 180°=3240°.$

Bài 2. Tổng các góc trong và góc ngoài của đa giác là $47058,5°.$ Đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Phép quay

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---