(Ôn thi Toán vào 10) Phép quay

Trang trước Trang sau

Phép quay nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Phép quay

➤ Chú ý: Phép quay $0 °$ và phép quay $360 °$ giữ nguyên mọi điểm.

– Khi đó ta có: $O A = O B .$

2. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

Cho hình đa giác đều $A_{1} A_{2} \dots A_{n} (n \geq 3, n \in ℕ)$ có tâm $O .$

Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ là phép quay tâm $O$ biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó.

➤ Chú ý: Hình đa giác đều $A_{1} A_{2} \dots A_{n} (n \geq 3, n \in ℕ)$ với tâm $O$ được giữ nguyên khi thực hiện phép quay thuận chiều $α °$ tâm $O$ và phép quay ngược chiều $α °$ tâm $O$ , với $α °$ lần lượt nhận các giá trị là:

$α_{1} ° = \frac{360 °}{n}; α_{2} ° = \frac{2 \cdot 360 °}{n}; \dots; α_{n} ° = \frac{n \cdot 360 °}{n} = 360 ° .$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Tìm ảnh của điểm khi thực hiện phép quay

Ví dụ 1. Cho hình vuông $M N P Q$ (các đỉnh theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ) nội tiếp đường tròn $(O) .$

a) Phép quay thuận chiều $180 °$ tâm $O$ biến các điểm $M, N$ thành những điểm nào?

b) Phép quay ngược chiều $90 °$ tâm $O$ biến các điểm $M, P$ thành những điểm nào?

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Phép quay

a) Hình vuông $M N P Q$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $O$ là tâm hình vuông, hay hai đường chéo $M P, N Q$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường. Do đó $O M = O N = O P = O Q .$

Như vậy: ⦁ Phép quay thuận chiều $180 °$ tâm $O$ biến điểm $M$ thành điểm $P .$

⦁ Phép quay thuận chiều $180 °$ tâm $O$ biến các điểm $N$ thành điểm $Q .$

b) Hình vuông $M N P Q$ có hai đường chéo vuông góc với nhau tại $O$ nên $\hat{M O Q} = \hat{P Q N} = 90 ° .$ Như vậy:

⦁ Phép quay ngược chiều $90 °$ tâm $O$ biến các điểm $M$ thành điểm $Q .$

⦁ Phép quay ngược chiều $90 °$ tâm $O$ biến các điểm $P$ thành điểm $N .$

Dạng 2. Xác định phép quay

Ví dụ 2. Cho ngũ giác đều $A B C D E$ nội tiếp đường tròn tâm $O .$ Hãy xác định phép quay biến điểm $E$ thành điểm $B$ theo chiều kim đồng hồ.

Hướng dẫn giải:

Vì $A B C D E$ là ngũ giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$ nên $O A = O B = O C = O D = O E .$

Vì $A B C D E$ là ngũ giác đều nên $A B = B C = C D = D E = E A .$

Xét $Δ O A B$ và $Δ O B C$ có: $O A = O B, O B = O C, A B = B C .$

Do đó $Δ O A B = Δ O B C$ (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có:

$Δ O A B = Δ O B C = Δ C O D = Δ D O E = Δ E O A .$

Suy ra $\hat{A O B} = \hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O A} .$

Mà $\hat{A O B} + \hat{B O C} + \hat{C O D} + \hat{D O E} + \hat{E O A} = 360 °$ hay $5 \hat{A O B} = 360 °$

Suy ra $\hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O A} = \hat{A O B} = \frac{360 °}{5} = 72 ° .$

(Ôn thi Toán vào 10) Phép quay

$α_{1} ° = \frac{360 °}{6} = 60 °;$ $α_{2} ° = \frac{2 \cdot 360 °}{6} = 120 °;$ $α_{3} ° = \frac{3 \cdot 360 °}{6} = 180 °;$

$α_{4} ° = \frac{4 \cdot 360 °}{6} = 240 °;$ $α_{5} ° = \frac{5 \cdot 360 °}{6} = 300 °;$ $α_{6} ° = \frac{6 \cdot 360 °}{6} = 360 ° .$

Dạng 3. Vận dụng phép quay để giải các bài toán liên quan

Ví dụ 4. Cho hình vuông $A B C D$ (các đỉnh theo thứ tự thuận chiều kim đồng hồ) có $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Phép quay thuận chiều $45 °$ tâm $O$ biến các điểm $A, B, C, D$ lần lượt thành điểm $M, N, P, Q .$ Chứng minh $A M B N C P D Q$ là đa giác đều.

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Phép quay

Ta có: $\hat{A O M} + \hat{M O B} = \hat{A O B} = 90 °,$ suy ra $\hat{M O B} = \hat{A O B} - \hat{A O M} = 90 ° - 45 ° = 45 ° .$

Vì $O A = O B$ và $O A = O M$ nên $O B = O M .$

Do đó $Δ B O M$ cân tại $O$ nên $\hat{B M O} = \hat{M B O} = 67, 5 ° .$

Ta chứng minh được $Δ A M O = Δ M B O$ (c.g.c), suy ra $A M = M B .$

Ta lại có: $\hat{A M B} = \hat{A M O} + \hat{O M B}$ $= 67, 5 ° + 67, 5 ° = 135 ° .$

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ $A M = M B = B N = N C$ $= C P$ $= P D = D Q = Q A;$

⦁ các góc ở đỉnh của đa giác $A M B N C P D Q$ đều bằng $135 ° .$

Khi đó $A M B N C P D Q$ là đa giác đều.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hình ngũ giác đều $A B C D E$ có tâm $O$ có các đỉnh theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.

a) Phép quay ngược chiều tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $C$ thì các điểm $B, C, D, E$ tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Chỉ ra các phép quay tâm $O$ giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho.

Bài 2. Ta thực hiện phép quay thuận chiều giữ nguyên hình đa giác đều $A B C D E F$ (các đỉnh theo thứ tự thuận chiều kim đồng hồ) và biến các điểm $A, B, C, D, E, F$ lần lượt thành các điểm $C, D, E, F, A, B .$ Phép quay đó là phép quay nào?

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

(Ôn thi Toán vào 10) Đa giác. Đa giác đều

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học