(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chuyển động

Bài toán chuyển động nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

I. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Chuyển động có vận tốc thay đổi trên đoạn đường

Phương pháp giải: Để giải các bài toán chuyển động, ta thực hiện như sau: − Đọc và tóm tắt bằng sơ đồ, biểu đồ hay lập bảng (nếu có thể). − Phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian đã biết với các đại lượng cần xác định để chọn ẩn thích hợp. − Thiết lập các phương trình. − Giải phương trình hoặc hệ phương trình. − Kiểm tra và kết luận.

a. Bài toán lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1. Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi quãng đường.

Phân tích:

Trả lời:

•Mối liên hệ trực tiếp: $t_{BC}-t_{AB}=0,5$ (giờ).

•Mối liên hệ với các dữ kiện khác:

+) Quãng đường AB có độ dài xác định theo công thức: $S_{AB}=t_{AB}\cdot 50\left(\text{km}\right)\text{.}$

+) Quãng đường $BC$ có độ dài xác định theo công thức: $S_{BC}=t_{BC}\cdot 45\left(\text{km}\right)\text{.}$

Tổng quãng đường AB và $BC$ bằng tổng quãng đường $AC$  và bằng 165 km .

Kết quả được tổng hợp dưới dạng bảng:

Như vậy, việc lập bảng là kết quả của quá trình phân tích đề bài. Ta có thể căn cứ vào bảng để kiểm tra lại các mối liên hệ và tính chính xác của các phương trình thiết lập.

Hướng dẫn giải:

Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian đi quãng đường AB và quãng đường $BC$ $\left(x>0;y>0\right)$.

Theo đề bài ta có: $x+0,5=y\left(1\right).$

Chiều dài quãng đường $AB$ là: $50x\left(\text{km}\right)$.

Chiều dài quãng đường $BC$ là: $45y\left(\text{km}\right)$.

Chiều dài quãng đường $AC$ là: $50x+45y\left(\text{km}\right)\text{.}$

Theo đề bài, tổng cộng quãng đường là 165 km nên ta có: $50x+45y=165\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}50x+45y=165\\ x+0,5=y\end{array}\right.$.

Giải hệ phương trình ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1,5\\ y=2\end{array}\right.$.

Vậy thời gian đi quãng đường $AB$ là 1,5 giờ, thời gian đi quãng đường $BC$ là 2 giờ.

Ví dụ 2. Xe máy thứ nhất đi trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai $3\text{ km}.$ Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình.

Phân tích:

Đổi: 3 giờ 20 phút $=\frac{10}{3}$ giờ; 3 giờ 40 phút $=\frac{11}{3}$ giờ.

Đề bài yêu cầu xác định 3 yếu tố: vận tốc xe máy thứ nhất; vận tốc xe máy thứ hai; quãng đường Hà Nội đến Thái Bình.

Theo đề bài ta có:

• "Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km" nên nếu biết vận tốc xe này sẽ biết vận tốc xe kia.

•"Xe máy thứ nhất đi trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút" nên nếu biết vận tốc xe thứ nhất sẽ tính được quãng đường Hà Nội đến Thái Bình và ngược lại.

•"Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút" nên nếu biết vận tốc xe thứ hai sẽ tính được quãng đường Hà Nội đến Thái Bình và ngược lại.

Vậy ta chỉ cần chọn hai ẩn số trong ba đại lượng đề bài yêu cầu.

Ta có bảng sau:

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc xe máy thứ nhất, xe máy thứ hai lần lượt là a và b $\left(a>3,b>0;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km/h}\right)$.

Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km nên ta có phương trình: $a-b=3\left(\text{km}\right)$.

Xe máy thứ nhất đi quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình xác định: $\frac{10}{3}\cdot a\left(\text{km}\right)$.

Xe máy thứ hai đi quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình xác định: $\frac{11}{3}\cdot b\left(\text{km}\right)$.

Ta có phương trình: $\frac{10}{3}\cdot a=\frac{11}{3}\cdot b$ hay $10a-11b=0.$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a-b=3\\ 10a-11b=0\end{array}\right.$.

Giải hệ phương trình ta được $\left\{\begin{array}{l}a=33\\ b=30\end{array}\right.$(TMĐK).

Vậy vận tốc xe máy thứ nhất là 33km/h, vận tốc xe máy thứ hai là 30km/h;

Quãng đường Hà Nội đến Thái Bình dài là: $33\cdot \frac{10}{3}=110\left(\text{km}\right).$

b. Bài toán lập phương trình bậc hai

Ví dụ 3. Bạn Hà dự định đi từ A đến B  cách nhau 120 km trong một thời gian đã định. Sau khi đi 1 giờ, Hà nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn Hà phải tăng vận tốc thêm $6\text{ km/h}.$ Tính vận tốc lúc đầu của Hà.

Phân tích: Bài toán yêu cầu xác định vận tốc dự định của Hà.

Các đại lượng xuất hiện trong bài toán chưa biết là:

• Thời gian Hà dự định đi từ A đến B.

• Vận tốc sau khi Hà nghỉ 10 phút.

• Vận tốc dự định của Hà.

• Quãng đường Hà đi được 1 giờ lúc đầu.

• Quãng đường còn lại sau khi Hà nghỉ 10 phút.

Trong đó:

• Vận tốc dự định của Hà và vận tốc sau khi Hà nghỉ 10 phút có mối liên hệ kém nhau $6\text{ km/h}.$

• Tổng quãng đường Hà đi được 1 giờ đầu và quãng đường còn lại sau khi Hà nghỉ 10 phút bằng 120 km.

Như vậy, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi lựa chọn hai ẩn số để lập hệ phương trình.

Tuy nhiên, nếu phân tích kỹ ta thấy nếu chọn ẩn số là vận tốc dự định của Hà thì tất cả các đại lượng cần xác định của bài toán đều có thể biểu diễn qua ẩn số này như bảng sau:

Hướng dẫn giải:

Đổi 10 phút $=\frac{1}{6}$ (giờ).

Gọi vận tốc lúc đầu của Hà là $x\left(\text{km/h}\right)$, điều kiện $x>0$.

Quãng đường đi trong 1 giờ đầu của Hà là $x\left(\text{km}\right)$.

Vì lúc sau Hà tăng tốc thêm 6 km/h nên vận tốc lúc sau của Hà là $x+6\left(\text{km/h}\right)$.

Quãng đường lúc sau của Hà là $120-x\left(\text{km}\right)$.

Thời gian đi lúc sau của Hà là $\frac{120-x}{x+6}$ (giờ).

Thời gian lúc đi thực tế bao gồm thời gian đi trong 1 giờ đầu, thời gian nghỉ $\frac{1}{6}$ giờ và thời gian đi quãng đường còn lại nên ta có thời gian đi thực tế là: $1+\frac{1}{6}+\frac{120-x}{x+6}$(giờ).

Theo đề bài thì thực tế Hà đến đúng hẹn tức thời gian dự định và thời gian đi thực tế bằng nhau nên ta có phương trình

$1+\frac{1}{6}+\frac{120-x}{x+6}=\frac{120}{x}$

$\frac{7x\left(x+6\right)}{6x\left(x+6\right)}+\frac{6x\left(120-x\right)}{6x\left(x+6\right)}=\frac{120\cdot 6\cdot \left(x+6\right)}{6x\left(x+6\right)}$

$\frac{7x^2+42x+720x-6x^2}{6x\left(x+6\right)}=\frac{720x+4320}{6x\left(x+6\right)}$

$\frac{x^2+762x}{6x\left(x+6\right)}=\frac{720x+4320}{6x\left(x+6\right)}$

$x^2+762x=720x+4320$

$x^2+42x-4320=0$

$x=48\text{ (TM)}$ hoặc $x=90$ (loại).

Vậy vận tốc lúc đầu của Hà là 48 km/h.

Ví dụ 4. Khoảng cách giữa 2 thành phố và là 180 km. Một ô tô đi từ $A$ đến $B$, nghỉ 90 phút ở $B$ rồi lại từ $B$ về $A$. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về $A$ là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.

Phân tích

Chuyển động của ô tô gồm hai hành trình lúc về và lúc đivới vận tốc khác nhau:"vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h".

Ta chọn ẩn số là vận tốc lúc đi thì các đại lượng xuất hiện trong bài toán đều được biểu diễn theo ẩn số này (vận tốc lúc về, thời gian đi, thời gian về).

Như vậy, ta có thể giải bài toán được bằng cách chọn mộtẩn số và lập phương trình.

Kết quả phân tích thể hiện ở bảng sau đây:

Hướng dẫn giải: Đổi: 90 phút $=\frac{3}{2}$ giờ.

Gọi vận tốc lúc đi của ô tô là $x\left(\text{km/h},x>5\right)$.

Thời gian lúc đi của ô tô trên quãng đường dài 180 km là $\frac{180}{x}\left(\text{h}\right)$.

Vận tốc lúc về của ô tô là $x-5\left(\text{km/h}\right)$.

Thời gian lúc về của ô tô trên quãng đường dài 180 km là $\frac{180}{x-5}\left(h\right)$.

Thời gian từ lúc đi đến lúc về của ô tô gồm thời gian đi từ A đến B, thời gian nghỉ $\frac{3}{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}h}$ và thời gian lúc về đi từ B đến A nên ta có phương trình:

$\frac{180}{x}+\frac{180}{x-5}+\frac{3}{2}=10$.

Giải phương trình ta được $x=45\text{ (TM)}$ hoặc $x=\frac{40}{17}$ (loại).

Vậy vận tốc lúc đi của ôtô là 45 km/h.

Dạng 2. Chuyển động có dòng nước

Phương pháp giải: Để giải các bài toán chuyển động có dòng nước, ta thực hiện: − Đọc và tóm tắt bằng sơ đồ hay lập bảng (nếu có thể). − Phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng, xét bài toán chuyển động xuôi dòng hay ngược dòng. − Thiết lập các phương trình. − Giải phương trình hoặc hệ phương trình. − Kiểm tra và kết luận.

a. Bài toán lập hệ phương trình bậc nhất haiẩn

Ví dụ 5. Một ca nô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc là $20\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km/h}$, sau đó lại xuôi từ bến B trở về bến A. Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nô xuôi dòng từ B về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết vận tốc dòng nước là $5\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km/h}$, vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bằng nhau.

Phân tích

Đề bài cho vận tốc khi ngược dòng là $20\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km/h}$ và vận tốc dòng nước là $5\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}km/h}$ nên vân tốc khi xuôi dòng là: $V_x=V_{ng}+2V_n=20+2\cdot 5=30\left(\text{km/h}\right)$.

Như vậy đã biết vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng, cần xác định thời gian xuôi hoặc thời gian ngược.

"Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nô xuôi dòng từ B về A là 2 giờ 40 phút" nên ta được một liên hệ giữa hai đại lượng này.

Vì quãng đường xuôi từ B đến A cũng bằng quãng đường ngược dòng từ A về B nên ta được một liên hệ theo hệ thức:$S=V_x\cdot t_x=V_{ng}\cdot t_{ng}$.

Do đó, ẩn mà chúng ta chọn ở bài toán này là thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng.

Quá trình phân tích được thể hiện trong bảng sau:

Hướng dẫn giải:

Đổi: 2 giờ 40 phút $=\frac{8}{3}$ giờ.

Gọi thời gian ca nô xuôi dòng là x (giờ, $x>\frac{8}{3}$).

Gọi thời gian ca nô ngược dòng là y (giờ,$y>0$).

Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nô xuôi dòng từ B về A là 2 giờ 40 phút nên ta có: $x-y=\frac{8}{3}\left(1\right)$.

Quãng đường ca nô xuôi dòng là $20x$ (km).

Quãng đường ca nô ngược dòng là $30y$ (km).

Do quãng đường xuôi và ngược đều bằng nhau nên ta có: $20x=30y\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}20x=30y\\ x-y=\frac{8}{3}\end{array}\right.$.

Giải hệ phương trình ta được $\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=\frac{16}{3}\end{array}\right.$.

Khoảng cách giữa hai bến A và B là $8\cdot 20=160$ (km).

b. Bài toán lập phương trình bậc hai

Ví dụ 6. Một khúc sông từ bến $A$ đến bến $B$ dài 45 km. Một canô đi xuôi dòng từ $A$ đến rồi ngược dòng từ $B$ về $A$ hết tất cả 6 giờ 15 phút (không tính thời gian nghỉ). Biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h. Tính vận tốc của canô khi nước lặng.

Phân tích:

Hướng dẫn giải

Đổi: 6 giờ 15 phút $=\frac{25}{4}$ giờ.

Gọi vận tốc của ca nô khi nước lặng là $x\left(\text{km/h},x>3\right)$.

Vận tốc khi xuôi dòng là $x+3\left(\text{km/h}\right)$.

Thời gian canô đi xuôi dòng từ $A$ đến $B$ là $\frac{45}{x+3}$(giờ).

Vận tốc khi ngược dòng là $x-3\left(\text{km/h}\right)$.

Thời gian canô đi ngược dòng từ $B$ đến $A$ là $\frac{45}{x-3}$(giờ).

Tổng thời gian đi xuôi dòng và thời gian đi ngược dòng là $\frac{25}{4}$ giờ nên có phương trình:

$\frac{45}{x+3}+\frac{45}{x-3}=\frac{25}{4}$

$\frac{9}{x+3}+\frac{9}{x-3}=\frac{5}{4}$

$36\left(x-3\right)+36\left(x+3\right)=5\left(x+3\right)\left(x-3\right)$

$5x^2-72x-45=0$

$x=15\text{ (TM)}$ hoặc $x=-\frac{3}{5}$ (loại).

Vậy vận tốc của canô khi nước lặng là 15 km/h.

Dạng 3. Chuyển động cùng chiều, ngược chiều

a. Chuyển động ngược chiều gặp nhau

Phương pháp giải:  Khi hai xe xuất phát cùng thời điểm và ngược chiều thì tại thời điểm hai xe gặp nhau, khoảng thời gian chúng đi được là bằng nhau và tổng quãng đường đi bằng khoảng cách giữa hai vị trí đó. Từ đó, ta thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Ví dụ 7. Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi.

Hướng dẫn giải

Tóm tắt bằng sơ đồ:

Đổi: 4 giờ 30 phút $=4,5$ giờ.

Gọi $x,y\left(\text{km/h}\right)$ lần lượt là vận tốc của xe ô tô và xe máy $\left(x,y>0\right)$.

Quãng đường ô tô đi từ C đến B là $2x\left(\text{km}\right).$

Quãng đường xe máy đi từ C đến A là $4,5y\left(\text{km}\right)$.

Khi hai xe gặp nhau thì tổng quãng đường đi bằng khoảng cách hai điểm A và B nên

$2x+4,5y=180\left(1\right)$

Thời gian ô tô đi từ A đến B là $\frac{180}{x}$(giờ).

Thời gian ô tô đi từ A đến C là $\frac{180}{x}-2$(giờ).

Thời gian xe máy đi từ B đến A là $\frac{180}{y}$(giờ).

Thời gian xe máy đi từ B đến C là $\frac{180}{y}-4,5$(giờ).

Khi hai xe gặp nhau thì thời gian chung đi là bằng nhau nên $\frac{180}{x}-2=\frac{180}{y}-4,5\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+4,5y=180\\ \frac{180}{x}-2=\frac{180}{y}-4,5\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình ta được $\left\{\begin{array}{l}x=36\\ y=24\end{array}\right.$.

Vậy vận tốc ô tô, xe máy lần lượt là 36 km/h và 24 km/h.

b. Chuyển động cùng chiều đuổi kịp nhau

Phương pháp giải: Khi hai xe gặp nhau thì thời gian chúng đi là bằng nhau và hiệu quãng đường đi bằng khoảng cách hai điểm. Ta sử dụng điều này để định hướng đi thiết lập hệ phương trình.

Ví dụ 8. Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút nguời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

Hướng dẫn giải

Thời gian đi từ A đến B của xe đạp là $\frac{50}{x}\left(\text{h}\right)$.

Thời gian đi từ A đến B của xe máy là $\frac{50}{2,5x}\left(\text{h}\right)$.

Ta có bảng sau:

Vì xe máy khởi hành chậm hơn xe đạp $1,5\text{ h}$ và đến sớm hơn xe đạp 1 h nên thời gian đi quãng đường AB của xe đạp nhiều hơn xe máy là:$1+1,5=2,5\left(\text{h}\right)$.

Ta có phương trình $\frac{50}{x}-\frac{50}{2,5x}=2,5$.

Giải phương trình ta được $x=12\left(\text{TM}\right).$

Khi đó, vận tốc của xe máy là $2,5\cdot 12=30\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(km)}$.

Vậy vận tốc của xe đạp là 12 km/h, vận tốc của xe máy là $30\text{ km/h}.$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Quãng đường từ nhà An đến nhà Bình dài 3 km. Buổi sáng, An đi bộ từ nhà An đến nhà Bình. Buổi chiều cùng ngày, An đạp xe từ nhà Bình về nhà An trên cùng quãng đường đó với vận tốc lớn hơn vận tốc đi bộ của An là 9 km/h. Tính vận tốc đi bộ của An biết thời gian đi buổi chiều ít hơn thời gian đi buổi sáng là 45 phút. (Giả định An đi bộ với vận tốc không đổi trên toàn bộ quãng đường đó).

Bài 2. Một người đi xe máy từ A đến B cách A $60\text{ km}.$Khi từ B trở về A, do trời mưa nên người đó giảm vận tốc bé hơn vận tốc khi đi là $10km/h$ do đó thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán năng suất

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán có nội dung hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán cấu tạo số

• (Ôn thi Toán vào 10) Các dạng Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình khác

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---