(Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Đường thẳng và Parabol

Bài tập tổng hợp Đường thẳng và Parabol nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. BÀI TẬP

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $\left(d\right):y=mx+5.$

a) Chứng minh đường thẳng $\left(d\right)$ luôn đi qua điểm $A\left(0;5\right)$ với mọi giá trị của $m.$

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $\left(d\right)$ cắt parabol $\left(P\right):y=x^2$ có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$ (với $x_1<x_2)$ sao cho $\left|x_1\right|>\left|x_2\right|.$

Bài 2. Cho Parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=\left(m-1\right)x+m+4.$

a) Với $m=2,$ tìm tọa độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right).$

b) Tìm $m$ để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Bài 3. Cho đường thẳng  $\left(\Delta \right):y=\left(m-1\right)x+m^2-4$ $(m$ là tham số khác 1).

a) Tìm $m$ để đường thẳng $\left(\Delta \right)$ song song với đường thẳng $\left(d\right):y=2x+5.$

b) Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $\left(\Delta \right)$ với trục $Ox$ và $Oy.$ Xác định tọa độ điểm $A,B$ và tìm $m$ để $3OA=OB.$

Bài 4. Cho parabol $\left(P\right):y=2x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=-2mx-m^2+2.$ Tìm $m$ để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ giao điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $A=|2x_1{x}_2+x_1+x_2-4|$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5. Cho parabol $\left(P\right):y=2x^2$  và đường thẳng $\left(d\right):y=\left(2m+5\right)x-2m-1,$ $m$ là tham số.

a) Tìm $m$ để đường thẳng $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt nằm ở bên phải trục tung.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho biểu thức $P=|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\left(d\right):y=2mx-m^2+1$ và parabol $\left(P\right):y=x^2.$

a) Chứng minh $\left(d\right)$ luôn cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để $\left(d\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-2}{x_1{x}_2}+1.$

Bài 7. Vẽ đồ thị của các hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và $y=x-4$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Gọi $A$ và $B$ là các giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB,$ với $O$ là gốc tọa độ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là centimét).

Bài 8. Cho hàm số $y=\left(m-4\right)x+m+4$  $(m$ là tham số) có đồ thị là đường thẳng $\left(d\right).$

a) Tìm $m$ để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì đồ thị hàm số đã cho luôn cắt parabol $\left(P\right):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $x_1,x_2$ là hoành độ các giao điểm, tìm $m$ sao cho $x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)=18.$

c) Chứng minh khoảng cách từ điểm $O\left(0;0\right)$ đến $\left(d\right)$ không lớn hơn $\sqrt{65}.$

Bài 9. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2.$

a) Vẽ đồ thị $\left(P\right).$

b) Trên $\left(P\right)$ lấy điểm $A$ có hoành độ $x_A=-2.$ Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho $|MA-MB|$ đạt giá trị lớn nhất, biết rằng $B\left(1;1\right).$

Bài 10. Cho parabol $\left(P\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=-x+m$ $(x$  là ẩn, $m$ là tham số).

a) Tìm tọa độ giao điểm của parabol $\left(P\right)$ với đường thẳng $\left(d\right)$ khi $m=4.$

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left(d\right)$ cắt parabol $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1,y_1\right)$ và $B\left(x_2,y_2\right)$ thỏa mãn $x_1{x}_2+y_1{y}_2=5.$

Bài 11. Cho parabol $\left(P\right):y=-x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=2mx-1$ với $m$ là tham số.

a) Tìm tọa độ giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(P\right)$ khi $m=1.$

b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của $m$, $\left(d\right)$  luôn cắt $\left(P\right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B.$ Gọi $y_1,y_2$ là tung độ của $A,B.$ Tìm $m$ sao cho $|y_1^2+y_2^2|=3\sqrt{5}.$

Bài 12. Một công ty địa ốc sau 2 năm thay đổi đã bán được 200 căn nhà và sau 7 năm thì bán được 275 căn nhà. Số lượng nhà bán được của công ty địa ốc sau khi thay đổi được cho bởi công thức: $y=ax+b$ (trong đó: $y$ là số lượng nhà bán được; $x$ là số năm bán) và có đồ thị như hình dưới đây.

a) Xác định hệ số $a$ và $b.$

b) Em hãy cho biết sau 10 năm công ty đó bán được bao nhiêu căn nhà?

b) Tính số tiền vốn và lãi ở tháng thứ tư.

Bài 14. Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 100 m. Quãng đường vật chuyển động s (mét) của vật rơi phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) bởi công thức $s=4t^2.$

a) Sau 2 giây, vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Hỏi sau bao lâu vật này tiếp đất?

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Hàm số bậc nhất và đồ thị

• (Ôn thi Toán vào 10) Hàm số bậc hai y = ax² và đồ thị

• (Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---