(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Trang trước Trang sau

Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Xét parabol $(P) : y = a x^{2} (a \neq 0)$ và đường thẳng $(d) : y = b x + c .$

$(x_{0}; y_{0})$ là tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P),$ khi đó ta có:

$y_{0} = a x_{0}^{2}$ và $y_{0} = - b x_{0} + c .$

Suy ra $a x_{0}^{2} = - b x_{0} + c$ hay $a x_{0}^{2} - b x_{0} - c = 0.$

Như vậy, số giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(P)$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: $a x^{2} - b x - c = 0 (*)$

Phương trình $(*)$ có $Δ = b^{2} - 4 a c .$

⦁ Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $(Δ > 0)$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

⦁ Phương trình $(*)$ có nghiệm kép $(Δ = 0)$ thì $(d)$ tiếp xúc $(P)$

⦁ Phương trình $(*)$ vô nghiệm $(Δ < 0)$ thì $(d)$ không cắt $(P)$

(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Xác định số giao điểm của parabol $(P) : y = a x^{2} (a \neq 0)$ và đường thẳng $(d) : y = b x + c,$ khi đó tìm tọa độ giao điểm nếu có

Ví dụ 1. Cho parabol $(P) : y = \frac{1}{4} x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = \frac{5}{4} x - 1.$ Tìm số giaođiểm của $(P)$ và $(d)$ khi đó tìm tọa độ giao điểm nếu có.

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x_{0}; y_{0})$ là tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$ khi đó ta có:

$y_{0} = \frac{1}{4} x_{0}^{2}$ và $y_{0} = \frac{5}{4} x_{0} - 1.$

Suy ra $\frac{1}{4} x_{0}^{2} = \frac{5}{4} x_{0} - 1$ hay $x_{0}^{2} - 5 x_{0} + 4 = 0.$

Số giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là số nghiệm của phương trình $x_{0}^{2} - 5 x_{0} + 4 = 0. (1)$

Ta có: $Δ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 > 0$ nên $(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt và hoành độ của 2 điểm $A; B$ là nghiệm của phương trình $(1) .$

Khi đó phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt là $x_{0} = 4$ hoặc $x_{0} = 1.$

⦁ Với $x_{0} = 4$ thay vào $(P) : y = \frac{1}{4} x^{2},$ ta có $y_{0} = \frac{1}{4} \cdot 4^{2} = 4.$ Suy ra $A (4; 4) .$

⦁ Với $x_{0} = 1$ thay vào $(P) : y = \frac{1}{4} x^{2},$ ta có $y_{0} = \frac{1}{4} \cdot 1^{2} = \frac{1}{4} .$ Suy ra $B (1; \frac{1}{4}) .$

Ví dụ 2. Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 2 (m + 3) x - m^{2} + 3.$ Tìm $m$ để $(d)$ tiếp xúc $(P),$ khi đó tìm tọa độ tiếp điểm.

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x_{0}; y_{0})$ là tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$ khi đó ta có:

$y_{0} = x_{0}^{2}$ và $y_{0} = 2 (m + 3) x_{0} - m^{2} + 3.$

Suy ra $x_{0}^{2} = 2 (m + 3) x_{0} - m^{2} + 3$ hay $x_{0}^{2} - 2 (m + 3) x_{0} + m^{2} - 3 = 0. (*)$

Ta có $Δ^{'} = {(m + 3)}^{2} - (m^{2} - 3)$ $= m^{2} + 6 m + 9 - m^{2} + 3$ $= 6 m + 12.$

Đường thẳng $(d)$ tiếp xúc $(P)$ khi và chỉ khi $(*)$ có nghiệm kép hay $Δ^{'} = 0,$ tức là $6 m + 12 = 0,$ suy ra $m = - 2.$

Khi đó ta có $x_{0} = \frac{m + 3}{1} = \frac{- 2 + 3}{1} = 1.$

Thay $x_{0} = 1$ vào $y = x^{2}$ ta được $y_{0} = x_{0}^{2} = 1.$

Vậy $m = - 2$ thì $(d)$ tiếp xúc $(P)$ tại tiếp điểm $M (1; 1) .$

Dạng 2. Tìm tham số để đường thẳng $(d) : y = m x + n$ và parabol $(P) :$ $y = a x^{2} (a \neq 0)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A; B$ thỏa mãn biểu thức đối xứng đối với $x_{A}$ và $x_{B}$

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho Parabol $(P) : y = \frac{x^{2}}{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - m x + 3 - m$ $(m$ là tham số).

a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B .$

b) Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của hai điểm $A, B .$ Tìm $m$ để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 2 x_{1} x_{2} + 20.$

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$\frac{x^{2}}{2} = - m x + 3 - m$ hay $x^{2} + 2 m x + 2 m - 6 = 0 (*)$

Ta có $Δ^{'} = m^{2} - (2 m - 6) = {(m - 1)}^{2} + 5 > 0$ với mọi $m .$

Do đó $(*)$ có hai nghiệm phân biệt nên $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2}) .$

b) Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 m \\ x_{1} x_{2} = 2 m - 6 \end{cases}$

Ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 2 x_{1} x_{2} + 20$

${(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} - 20 = 0$

${(- 2 m)}^{2} - 4 (2 m - 6) - 20 = 0$

$4 m^{2} - 8 m + 4 = 0$

$4 {(m - 1)}^{2} = 0$

$m = 1.$

Vậy $m = 1.$

Ví dụ 4. Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 2 (m - 1) x - 2 m + 5.$ Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Gọi là tọa độ giao điểm của và nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = 2 (m - 1) x - 2 m + 5$ hay $x^{2} - 2 (m - 1) x + 2 m - 5 = 0 (*) .$

Ta có $Δ^{'} = {(m - 1)}^{2} - (2 m - 5)$ $= m^{2} - 2 m + 1 - 2 m + 5$ $= {(m - 2)}^{2} + 2 > 0$ với mọi $m .$

Do đó $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt nên $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2} .$

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m - 2 \\ x_{1} x_{2} = 2 m - 5. \end{cases}$

Khi đó $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $= {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

$= {(2 m - 2)}^{2} - 2 (2 m - 5)$ $= 4 m^{2} - 8 m + 4 - 4 m + 10$

$= 4 m^{2} - 12 m + 14$ $= {(2 m - 3)}^{2} + 5 \geq 5$ với mọi $m .$

Dấu $" = "$ xảy ra khi ${(2 m - 3)}^{2} = 0$ hay $m = \frac{3}{2} .$

Vậy $A_{\min} = 5$ khi $m = \frac{3}{2} .$

Ví dụ 5. Cho parabol $(P) : y = - x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = m x - 1.$

a) Chứng minh $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ thuộc hai phía của $O y .$

b) Chứng minh $| x_{A} - x_{B} | \geq 2.$

c) Giải sử $x_{A} < x_{B},$ tìm $m$ để $| x_{A} | > | x_{B} | .$

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$- x^{2} = m x - 1$ hay $x^{2} + m x - 1 = 0. (*)$

a) Do phương trình $(*)$ có $a c = - 1 < 0$ nên $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân trái dấu, hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B$ thuộc hai phía của trục $O y .$

b) Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = - m \\ x_{A} x_{B} = - 1. \end{cases}$

Ta có ${(| x_{A} - x_{B} |)}^{2} = x_{A}^{2} + x_{B}^{2} - 2 x_{A} x_{B}$ $= {(x_{A} + x_{B})}^{2} - 4 x_{A} x_{B}$

$= {(- m)}^{2} - 4 \cdot (- 1)$ $= m^{2} + 4 \geq 4$ với mọi $m$

Suy ra $| x_{A} - x_{B} | \geq 2.$

c) Ta có $| x_{A} | > | x_{B} |$ nên $x_{A}^{2} > x_{B}^{2}$ suy ra $(x_{A} - x_{B}) (x_{A} + x_{B}) > 0 (* *) .$

Mà $x_{A} < x_{B}$ nên $x_{A} - x_{B} < 0,$ do đó từ $(* *)$ ta có $x_{A} + x_{B} < 0.$ Tức là $- m < 0$ hay $m > 0.$

Vậy $m > 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 6. Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = m x - m - 2.$ Tìm m để $(d)$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $M = | x_{1} | + | x_{2} | = 5.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = m x - m - 2$ hay $x^{2} - m x + m + 2 = 0. (*)$

Để $(d)$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì $(*)$ có hai nghiệm phân biệt, hay $Δ > 0,$ tức là $m^{2} - 4 (m + 2) > 0$ suy ra $m^{2} - 4 m - 8 > 0,$ do đó $m > 2 + 2 \sqrt{3}$ hoặc $m < 2 - 2 \sqrt{3} .$

Khi đó theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} x_{2} = m + 2. \end{cases}$

Theo bài, $M = 5$ nên $m^{2} - 2 (m + 2) + 2 (m + 2) = 25. (2)$

⦁ Nếu $m + 2 \geq 0$ hay $m \geq - 2,$ kết hợp $(1)$ có $m > 2 + 2 \sqrt{3},$ thì $| m + 2 | = m + 2.$

Khi đó $(2)$ trở thành $m^{2} - 2 (m + 2) + 2 (m + 2) = 25$ hay $m^{2} = 25$

Suy ra $m = 5$ (thỏa mãn $m > 2 + 2 \sqrt{3})$ hoặc $m = - 5$ (không thỏa mãn $m > 2 + 2 \sqrt{3}) .$

⦁ Nếu $m + 2 < 0$ hay $m < - 2,$ kết hợp $(1)$ có $m < - 2,$ thì $| m + 2 | = - (m + 2) .$

Khi đó $(2)$ trở thành $m^{2} - 2 (m + 2) - 2 (m + 2) = 25$ hay $m^{2} - 4 m - 33 = 0$

Suy ra $m = 2 - \sqrt{37}$ (thỏa mãn $m < - 2)$ hoặc $m = 2 + \sqrt{37}$ (không thỏa mãn $m < - 2) .$

Vậy $m \in {5; 2 - \sqrt{37}}$ thì $M = | x_{1} | + | x_{2} | = 5.$

Dạng 3. Tìm tham số để đường thẳng $(d) : y = m x + n$ và parabol $(P) : y = a x^{2} (a \neq 0)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ thỏa mãn biểu thức không đối xứng đối với $x_{A}$ và $x_{B}$

Ví dụ 7. Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và $(d) : y = 6 - 5 m x .$ Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 2 x_{2} = 1.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = 6 - 5 m x$ hay $x^{2} + 5 m x - 6 = 0. (*)$

Vì $(*)$ có $a c = - 6 < 0$ nên $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ với mọi $m .$

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 m & (1) \\ x_{1} x_{2} = - 6 & (2) \end{cases}$

Theo bài, $x_{1} + 2 x_{2} = 1$ ta có $x_{1} = 1 - 2 x_{2},$ thay vào $(1)$ ta được:

$1 - 2 x_{2} + x_{2} = - 5 m$ hay $x_{2} = 5 m + 1.$

Từ đó suy ra $x_{1} = 1 - 2 (5 m + 1)$ $= 1 - 10 m - 2 = - 10 m - 1.$

Thay $x_{1} = - 10 m - 1$ và $x_{2} = 5 m + 1$ vào $(2)$ ta được:

$(- 10 m - 1) (5 m + 1) = - 6$

$- 50 m^{2} - 10 m - 5 m - 1 = - 6$

$50 m^{2} + 15 m - 5 = 0$

Suy ra $m = \frac{1}{5}$ hoặc $m = - \frac{1}{2} .$

Vậy $m \in {\frac{1}{5}; - \frac{1}{2}} .$

Ví dụ 8. Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = - 2 (m - 2) x + m^{2} .$ Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $(x_{1}; y_{1})$ và $(x_{2}; y_{2})$ với $x_{1} < x_{2},$ thỏa mãn $| x_{1} | - | x_{2} | = 6.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = - 2 (m - 2) x + m^{2}$ hay $x^{2} + 2 (m - 2) x - m^{2} = 0. (*)$

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1} < x_{2} .$

Theo định lí Viète ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 2 (m - 2) \\ x_{1} x_{2} = - m^{2} . \end{cases}$

Mà $- m^{2} \leq 0$ với mọi m nên $x_{1} x_{2} \leq 0$ nên $x_{1} \leq 0 \leq x_{2} .$ Do đó $| x_{1} | = - x_{1}; | x_{2} | = x_{2} .$

Khi đó: $| x_{1} | - | x_{2} | = - x_{1} - x_{2} = - (x_{1} + x_{2}) .$

Theo bài, $| x_{1} | - | x_{2} | = 6$ nên $- (x_{1} + x_{2}) = 6,$ suy ra $2 (m - 2) = 6$ nên $m = 5.$

Vậy $m = 5$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho đường thẳng $(d) : y = (m + 2) x + 3$ và parabol $(P) : y = x^{2} .$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = (m + 2) x + 3$ hay $x^{2} - (m + 2) x - 3 = 0. (*)$

Phương trình $(*)$ có $a c = - 3 < 0$ nên $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2} .$

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ x_{1} x_{2} = - 3. \end{cases}$

Theo bài, $x_{1} \in ℤ$ nên $x_{1} \in$ Ư $(- 3) = {1; - 1; 3; - 3} .$

Ta có bảng sau:

(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Vậy $m \in {- 4; 0} .$

Ví dụ 10. Cho Parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = 10 m x - 9 m .$ Tìm các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2} - (10 m - 1) x_{1} + 9 m - 9 x_{2} = 0.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = 10 m x - 9 m$ hay $x^{2} - 10 m x + 9 m = 0. (*)$

Ta có $Δ^{'} = {(- 5 m)}^{2} - 9 m > 0 = 25 m^{2} - 9 m .$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì $Δ^{'} > 0,$ tức là $25 m^{2} - 9 m > 0$ hay $m (25 m - 9) > 0$ nên $m > \frac{9}{25}$ hoặc $m < 0. (* *)$

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $(*) .$

Khi đó ta có $x_{1}^{2} - 10 m x_{1} + 9 m = 0$ hay $x_{1}^{2} = 10 m x_{1} - 9 m .$

Theo định lí Viète, ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 10 m & (1) \\ x_{1} x_{2} = 9 m & (2) \end{cases}$

Theo bài, $x_{1}^{2} - (10 m - 1) x_{1} + 9 m - 9 x_{2} = 0$ nên $x_{1} - 9 x_{2} = 0,$ suy ra $x_{1} = 9 x_{2} .$

Thay $x_{1} = 9 x_{2}$ vào $(1)$ ta được $9 x_{2} + x_{2} = 10 m$ hay $10 x_{2} = 10 m$ nên $x_{2} = m .$

Từ đó suy ra $x_{1} = 9 m .$

Thay $x_{1} = 9 m$ và $x_{2} = m$ vào $(2)$ ta được: $9 m \cdot m = 9 m$ hay $m (m - 1) = 0$

Suy ra $m = 0$ (không thỏa mãn (**)) hoặc (thỏa mãn (**)).

Vậy $m = 1.$

Dạng 4. Tìm tham số để đường thẳng $(d) : y = m x + n$ và parabol $(P) : y = a x^{2} (a \neq 0)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ thỏa mãn biểu thức có chứa $y_{A}$ và $y_{B}$

Ví dụ 11. Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = m x + m - 1.$ Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ sao cho $y_{1} + y_{2} + x_{1} x_{2} = 5.$

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = m x + m - 1$ hay $x^{2} - m x - m + 1 = 0 (*)$

Ta có $Δ = m^{2} - 4 (- m + 1) = m^{2} + 4 m - 4.$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ thì $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ hay $Δ > 0,$ nên $m^{2} + 4 m - 4 > 0$ $m > - 2 + 2 \sqrt{2}$ suy ra hoặc $m < - 2 - 2 \sqrt{2} (* *)$

Theo định lí Viète ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} x_{2} = - m + 1. \end{cases}$

Vì $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ thuộc $(P)$ nên ta có $y_{1} = x_{1}^{2}$ và $y_{2} = x_{2}^{2} .$

Khi đó $y_{1} + y_{2} + x_{1} x_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2}$

$= m^{2} - (- m + 1) = m^{2} + m - 1.$

Theo bài, $y_{1} + y_{2} + x_{1} x_{2} = 5$ nên ta có:

$m^{2} + m - 1 = 5$

$m^{2} + m - 6 = 0$

$(m - 2) (m + 3) = 0$

Suy ra $m = 2$ (thỏa mãn (**)) hoặc $m = - 3$ (không thỏa mãn (**)).

Vậy $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Dạng 5. Bài toán có yếu tố hình học (độ dài đoạn thẳng, diện tích tam giác, ...)

Ví dụ 12. Đường thẳng $(d) : y = - 3 x + 4$ cắt parabol $(P) : y = x^{2}$ tại $A, B .$

a) Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc cung $A B$ của parabol $(P)$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ lớn nhất.

b) Cho điểm $D (3; 0),$ tìm tọa độ điểm $E \in (P)$ sao cho độ dài $D E$ ngắn nhất.

Hướng dẫn giải:

Do $A B$ không đổi nên để $S_{A B C}$ lớn nhất thì khoảng cách từ $C$ đến $A B$ lớn nhất.

Khi đó $C$ là tiếp điểm của đường thẳng $(d^{'})$ với $(P)$ và $(d^{'})$ song song với $(d) .$

Giả sử đường thẳng $(d^{'})$ có hàm số là $y = a x + b .$ Do $(d^{'}) // (d)$ nên $a = - 3$ và $b \neq 4.$

Khi đó $(d^{'}) : y = - 3 x + b$ với $b \neq 4.$

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d^{'})$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = - 3 x + b$ hay $x^{2} + 3 x - b = 0.$

Ta có $Δ = 3^{2} - 4 \cdot (- b) = 9 + 4 b .$

Để $(d^{'})$ tiếp xúc với $(P)$ tại $C$ thì phương trình trên có nghiệm kép, điều này xảy ra khi và chỉ khi $Δ = 0$ hay $9 + 4 b = 0$ nên $b = - \frac{9}{4}$ (thỏa mãn).

Khi đó ta có $x_{C} = - \frac{3}{2} .$ Suy ra $y_{C} = \frac{9}{4} .$

Vậy $C (- \frac{3}{2}; \frac{9}{4})$ thì diện tích tam giác $A B C$ lớn nhất.

b) Do $E \in (P)$ nên ta có $y_{E} = x_{E}^{2} .$ Do đó $E (x_{E}; x_{E}^{2}) .$

Với $D (3; 0)$ và $E (x_{E}; x_{E}^{2})$ ta có:

(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi ${(x_{E}^{2} - 1)}^{2} = 0$ và ${(x_{E} - 1)}^{2} = 0$ hay $x_{E}^{2} - 1 = 0$ và $x_{E} - 1 = 0$ suy ra $x_{E} = 1.$

Khi đó $y_{E} = x_{E}^{2} = 1.$

Vậy $E (1; 1)$ thì $D E_{\min} = \sqrt{5} .$

➣ Chú ý: Cần chứng minh công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì như trong phần phương pháp khi sử dụng.

Ví dụ 13. Gọi $A, B$ là giao của parabol $(P) : y = x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = m x + 3.$

a) Tìm $m$ để $A B$ ngắn nhất.

b) Tính diện tích tam giác $O A B$ theo $m$

c) Tìm $m$ để tam giác $O A B$ vuông tại $O .$

Hướng dẫn giải:

Gọi $(x; y)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ nếu có. Khi đó, ta có:

$x^{2} = m x + 3$ hay $x^{2} - m x - 3 = 0. (*)$

Do $(*)$ có $a c = - 3 > 0$ nên $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt hay $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{A}; y_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}) .$

Do đó ta có $y_{A} = m x_{A} + 3$ và $y_{B} = m x_{B} + 3.$

Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = m \\ x_{A} x_{B} = - 3. \end{cases}$

(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Suy ra $A B \geq 2 \sqrt{3}$ (do $A B > 0) .$ Dấu $" = "$ xảy ra khi $m = 0.$

Vậy $m = 0$ thì $A B_{\min} = 2 \sqrt{3} .$

(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

$y_{I} = m x_{I} + 3$ đúng với mọi m

Hay $x_{I} m + (3 - y_{I}) = 0$ đúng với mọi m

Suy ra $x_{I} = 0$ và $3 - y_{I} = 0,$ hay $y_{I} = 3.$

Vậy $I (0; 3)$ là điểm cố định mà đường thẳng $(d) : y = m x + 3$ luôn đi qua với mọi giá trị của tham số $m .$

⦁ Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $H, K$ trên $O y .$

(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

c) Để tam giác $O A B$ vuông tại $O$ thì $O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}$ (định lí Pythagore)

(Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

Vậy không tồn tại $m$ để tam giác $O A B$ vuông tại $O$

➣ Chú ý: Cần chứng minh công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì như trong phần phương pháp khi sử dụng.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho parabol $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}$ và đường thẳng $(d) : y = m x - \frac{1}{2} m^{2} + m + 1.$ Tìm các giá trị của m để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ sao cho $| x_{1} - x_{2} | = 2.$

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho đường thẳng $(d) : y = 3 x + m^{2} - 1$ và parabol $(P) : y = x^{2} .$ Tìm m để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ sao cho $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 1.$

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học